Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Delimitación teórica para introducción a vectores
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Física: Vectores, Trabajo y Energía
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Semana 2. Introducción a vectores y vectores en el plano cartesiano
Познакомьтесь с преподавателями
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Hola bienvenidos a Introducción a Vectores.
Los voy a poner en una situación,
pensemos que estamos en la ciudad de Monterrey y que acaban de salir del
Museo de Arte Contemporáneo del Marco en la ciudad de
Monterrey y quieren ahora visitar el Museo de Historia Mexicana.
Entonces, no saben dónde está el Museo de Historia Mexicana.
Entonces preguntan y les dicen "Bueno lo único que tienes
que hacer es caminar 800 metros". ¿Qué hacen ustedes?
Caminan 800 metros.
800 metros pudieran estar en un lugar que es muy diferente al Museo de Historia Mexicana.
Si caminan en otro sentido,
vamos a pensar que vamos a caminar hacia el este,
pues terminaríamos en el río Santa Catarina;
No es un lugar que pueda estar el Museo de Historia Mexicana.
Tienen que caminar 800 metros hacia el norte
y ahora sí encontrar el Museo de Historia Mexicana.
Aquí lo importante es que necesitan
tener una dirección no solamente el número de 800 metros.
Se necesita un valor.
En efecto 800 metros tendrían que caminar pero también necesitan la dirección.
Entonces en este caso específico si queremos
irnos desde el Marco desde el Museo de Arte Contemporáneo
hasta el Museo de Historia lo que tendremos
que hacer es caminar 800 metros hacia el norte.
Entonces un vector tiene un valor que se le conoce como su magnitud.
En este caso 800 metros,
tiene una dirección que se puede indicar con ángulos.
En este caso era aproximadamente hacia el norte en lo que teníamos que caminar.
Se representan gráficamente por medio de flechas tal que el tamaño de la flecha es
proporcional a la magnitud del vector
y hacia dónde apunta la flecha es la dirección del vector.
Se representan en forma analítica para
manipulación algebraica por medio de diferentes maneras.
Por ejemplo, se puede representar por medio de una flecha,
una letra con una flecha arriba,
una letra en negritas podría ser una representación de un vector en forma analítica.
Se representa la magnitud de un vector por medio
del valor absoluto de las barras paralelas,
dirían el valor absoluto del vector tal lo que significaría es la magnitud del vector.
Esas serían sus representaciones.
Entonces podemos utilizar los puntos cardinales para representar un vector.
En el ejemplo que teníamos antes y eso hicimos tendríamos la Macroplaza en
donde veíamos que podíamos representar el vector de 800 metros hacia el norte.
En este caso represento a este vector que es un
vector digamos de 5 metros de magnitud con dirección hacia el Norte.
Ese es un vector muy específico.
Tenemos otro vector, que puede ser igual
de cinco metros pero en otra dirección y sería un vector diferente,
un vector desplazamiento de cinco metros,
en este caso hacia el Oeste.
O pudiera ser un vector que tenga una dirección que está entre el Este y el Norte.
Entonces para eso ¿qué necesitamos?
Necesitamos especificar cuál es la dirección por medio de un ángulo.
Por ejemplo en este caso por el ángulo que hace 50 grados el vector,
la dirección del vector hace 50 grados con el Este.
Entonces necesitamos magnitud y dirección y a veces ángulos.
Vamos a ponernos en la posición de estar
ahora en el Campus Monterrey del Tecnológico de Monterrey en Aulas 2,
y aquí les presento el mapa.
Estamos en Aulas 2 y queremos desplazarnos hacia Rectoría.
Rectoría está aquí y para poderse desplazar desde Aulas 2 hasta Rectoría.
Lo que tenemos que hacer es caminar un desplazamiento de 62
metros con un ángulo entre el Oeste y el Norte aproximadamente de 45 grados.
Eso tendríamos que hacer. Sin embargo,
vamos a pasar por el pasto y no
queremos estropear el pasto entonces ¿que tenemos que hacer?
Bueno, tenemos que hacer diferentes desplazamientos.
Pudiéramos hacer, por ejemplo,
un desplazamiento hacia el Norte de 44 metros.
Con eso nos encontraríamos ya cerca de Rectoría.
Posteriormente hacemos un desplazamiento de 43 metros hacia el Oeste
y con eso llegamos a Rectoría.
Esto significa que si nosotros sumamos el desplazamiento de 44 metros hacia el Norte
y el desplazamiento de 43 metros hacia el Oeste
lo que obtendríamos es el desplazamiento que queríamos hacer,
es decir, el desplazamiento desde Aulas 2 hasta Rectoría.
Aquí con esto vemos la necesidad de tener la suma de vectores tenemos que hacer una suma,
una operación suma, de los vectores y si llamamos a los vectores A y B
entonces tendríamos que el vector C es igual a A más B. Esta sería la operación.
Entonces, en forma vectorial tendríamos un triángulo que tendríamos que resolver.
Y en forma analítica tenemos la suma vectorial.
El vector C es igual al vector A más el vector B. Si se fijan en
esta representación vectorial por medio de este
triángulo podemos encontrar una regla para la suma de vectores.
Dice la regla "El vector suma será un vector que empieza en
el primer vector sumando y termina en la flecha del segundo vector sumando".
Como en este caso el vector C empieza en el inicio del vector A termina en
el final del vector B. Ese sería la suma de A más B. Entonces,
esto se le conoce como el método del triángulo,
le tendríamos que poner su nombre,
Método del triángulo nos especifica que el vector suma será
un vector que empieza en
el primer vector sumando y termina en la flecha del segundo vector sumando.
Por ejemplo si yo tengo el vector E y el vector G representados,
y yo quiero encontrar la suma G más E. Lo que
tengo que hacer es colocar el inicio del vector E al final del vector G,
como si fuera un vector de desplazamiento, y hacer la suma.
De acuerdo al Método el Triángulo sería desde el inicio del vector G hasta
el final del vector E. Esa sería la suma G más
E. Se fijan en que lo que nos queda es un triángulo otra vez.
Entonces para poder resolver esta suma
de vectores tenemos que hacer una solución de triángulos.
En el caso de que el triángulo sea un triángulo rectángulo,
utilizaríamos las reglas que hemos aprendido de seno,
coseno, tangente de los triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras.
En caso de que el triángulo no sea rectángulo,
como en este caso es un triángulo no rectángulo,
entonces tendríamos que hacer uso de Ley de Senos y Cosenos para estos triángulos.
Bueno, los vectores de desplazamiento como el que se muestra
de 44 metros hacia el Norte también puedo sumarlos entre sí.
Es decir, yo puedo hacer una suma
del vector A más el vector A el desplazamiento de 44 metros hacia el Norte,
más un segundo desplazamiento de 44 metros hacia el Norte.
Entonces lo que obtendría es un vector que es el vector A más el vector A,
nos da un vector que es dos veces el vector A.
Entonces M sería un vector que es dos veces el vector A,
sería un vector de 88 metros con dirección Norte.
A esto se le llama la multiplicación por un escalar.
Si yo tengo un vector C cualquiera y quisiera multiplicar ese vector C por un escalar.
Por ejemplo el escalar 3.
Si yo tengo el vector 3C el vector resultante de
esta multiplicación por escalar sería 3 veces el vector C es decir,
la magnitud del vector sería 3 veces la magnitud del vector C y la dirección es la misma.
Si yo tengo 0.5C este sería el escalar 0.5 el resultado sería
un vector cuya magnitud sea 0.5 veces
la magnitud del vector C y su dirección es la misma que el vector C. Entonces,
si el escalar es positivo lo que tenemos es que el resultado de la multiplicación es un
vector que tiene como magnitud n
veces la magnitud del vector original y su dirección no cambia.
Si tenemos por ejemplo,
una multiplicación por escalar negativo ahí tenemos alguna diferencia.
Por ejemplo, en el caso de multiplicar un vector.
En este caso el vector C por un -1 tendríamos el vector
-C. Pues este es un vector que tiene la misma magnitud que el vector C. Sin embargo,
su dirección es opuesta.
De la misma manera tenemos -1.5C
es la multiplicación del escalar menos -1.5 por el vector C.
En este caso la magnitud del este vector resultante
es 1.5 veces la magnitud del vector C y su dirección es opuesta.
Si el escalar entonces es negativo,
entonces la magnitud es igual que en el anterior caso cuando el escalar era positivo.
La magnitud es n veces la magnitud del vector original.
Sin embargo, la dirección de este vector resultante cambia, es opuesta.
Cuando tenemos la resta de vectores.
Si nosotros entendimos la suma de vectores y la multiplicación por
escalar entonces la resta de vectores queda sencilla ¿por qué?
Porque si yo tengo la resta G menos E, por ejemplo.
Lo que tengo que hacer es una suma en realidad.
Si yo sumo al vector G el vector menos E lo que obtengo la resta.
G menos E. Es lo que vamos a hacer en este ejemplo.
Una operación suma entonces entre el vector y el negativo del segundo vector.
En este caso G menos E. Si yo tengo G menos E,
lo que obtengo es primeramente el menos E. Para poder
sumarle posteriormente el G. Entonces hago la suma del G,
del vector G y el vector menos E. Para eso pongo,
recuerden, el vector menos E,
el inicio del vector menos E en
el final del vector G. Y la suma será desde el inicio del vector G hasta
el final del vector menos E. De tal manera que
este vector sería el vector resta de los vectores G y E. Bueno,
pensemos ahora que tenemos una caja.
Si alguien ejerce una fuerza hacia la derecha ¿qué va a suceder?.
Pues muy probablemente la caja se vaya a mover hacia la derecha.
Si tenemos, en lugar de una fuerza hacia la derecha,
la fuerza es hacia arriba.
Probablemente esta caja se movería hacia arriba.
Pero ¿qué pasaría si ejercemos dos fuerzas?
Una fuerza hacia la derecha y una fuerza hacia arriba.
Esta caja muy probablemente se mueva en forma diagonal.
Esto nos da la concepción
de otro método de suma de vectores cuando tenemos vectores fuerza es muy fácil
pensar que las fuerzas se aplican sobre un mismo objeto entonces
podemos obtener vectores que se suman desde un mismo origen.
Y lo que tenemos entonces es el método del paralelogramo.
Si yo tengo que voy a sumar dos vectores A más B,
lo que hago es juntar los dos vectores A y B en un mismo inicio.
Después, lo que tengo que hacer es graficar rectas paralelas al vector
B al final del vector A. Y recta paralela al vector A al final del vector B.
De tal manera que la suma de
A más B sería desde el inicio de los dos vectores
hasta donde se cruza las dos rectas paralelas.
Este sería el Método del Paralelogramo.
El Método del Paralelogramo o el Método del Triángulo nos tiene
que dar exactamente el mismo resultado.
Nada más que las conceptualizaciones de los dos métodos son diferentes.
En el primer caso lo tratamos de entender por medio de vectores desplazamiento.
En el segundo caso por medio de vectores fuerza.
Sin embargo el resultado es exactamente el mismo.
Calculemos algo un poco más complejo.
Si yo quisiera calcular el vector de A menos B mas C,
por ejemplo, y tengo estos tres vectores representados en la figura.
Bueno lo que tengo que hacer es por partes,
puedo hacer la operación A menos B primeramente y
posteriormente sumarle el vector C. Para hacer A menos B. Pues
tengo que sumar en realidad A y el vector menos B.
Entonces tendría que tener el vector menos B. Obtengo el vector menos B,
recordando que el vector menos B es exactamente
igual al vector B pero en dirección opuesta.
Sumo A y menos B,
por el método que ustedes quieran.
En este caso lo voy a hacer por el Método del Triángulo.
Entonces sumo el vector A y el vector menos B.
Lo que nos queda es el vector A menos B o el vector A más menos
B. Y posteriormente le sumo el vector C. El vector C lo que hago
es colocar el vector C al
final del vector A menos B y obtengo entonces que desde el inicio
del vector A menos B hasta el final del vector C sería el vector A menos
B más C. Esa sería una operación un poco más compleja.
Otra operación compleja sería el vector 3A menos 2B.
El vector 3A menos 2B,
pues no es más que 3 veces el vector A menos 2 veces el vector B. O pudiera
decir 3 veces el vector A más 2 veces el vector menos B. Eso sería lo que vamos a hacer.
Primero obtenemos el vector 3A.
El vector 3A lo obtenemos haciendo que la magnitud del vector 3A,
es tres veces la magnitud del vector A y no le cambiamos la dirección.
Posteriormente obtenemos el vector menos 2B.
Que sería un vector que es dos veces la magnitud del vector B pero en dirección opuesta.
Ahora lo que hacemos es sumar este vector 3A y este vector menos 2B.
Para eso utilizamos el Método del Triángulo y
obtenemos desde el inicio del vector 3A hasta el final del vector menos 2B.
La operación 3A menos 2B.
Bueno, con esto terminamos el tema.
Nos vemos el siguiente tema.
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