Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Ejercicio resuelto del teorema del valor promedio en una gráfica de velocidad no lineal
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Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria
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Teorema del valor promedio e integrales
En este módulo nos enfocamos en la operación inversa de la derivada para calcular desplazamiento a partir de una función de velocidad; a dicha operación se le conoce como la integral definida y justificaremos su uso a partir de teorema del valor promedio. También usaremos la integral indefinida para obtener la función de posición a partir de una función de velocidad y una condición para la posición.
Meet the Instructors
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
[MUSIC]
Hola de nuevo.
En esta ocasión vamos a calcular el desplazamiento de una partícula a partir
de una gráfica de velocidad versus tiempo.
Pero a diferencia del ejercicio pasado que hicimos,
en esta ocasión la aceleración no es constante.
Es decir, van a notar que nuestra gráfica de velocidad tiene forma de curvas.
Por lo tanto podemos deducir que esa velocidad no está
cambiando a un ritmo constante todo el tiempo.
Por lo tanto no deberíamos usar aventuradamente y sin pensarlo el teorema
del valor promedio de la velocidad.
Sin embargo, sí podemos hacer una aproximación utilizando este teorema del
valor promedio.
Vamos a ver el ejercicio.
En la gráfica que se muestra se representa la velocidad de una partícula en función
del tiempo.
Noten que el eje vertical tiene la velocidad de la partícula y está en metros
por segundo.
Y el eje horizontal es el tiempo que está en segundos.
Tenemos dos incisos para este ejercicio.
El primer inciso nos pide que calculemos de forma aproximada
el desplazamiento de la partícula.
Que el desplazamiento total es en el intervalo de 0 a los 7 segundos.
Y también queremos, en el inciso b,
calcular en forma aproximada la distancia total recorrida por la partícula.
Bien, pues vamos a la gráfica.
Esta es una visión más amplia.
Aquí está la gráfica.
Y por la teoría y los ejercicios,
algunos de los ejercicios que you hemos resuelto previamente.
Deben haber entendido que para calcular el desplazamiento de esta partícula.
Lo que necesitamos es calcular, en forma lo más aproximada posible,
esa área que está sombreada.
Es decir, toda el área que está entre la gráfica de velocidad y el eje del tiempo.
Por supuesto, aquí de una vez podemos notar que dos partes del área están por
encima del eje del tiempo.
Lo cual nos va a dar un desplazamiento positivo.
Y hay una parte que está por debajo que nos va a dar un desplazamiento negativo.
Bien, pero si yo no conozco la forma de calcular,
porque tal vez no sé que forma geométrica en particular tienen esas áreas.
Pues entonces podría utilizar una aproximación.
Miren, tenemos por ejemplo ese pedazo de área que está ahí sombreado.
Noten que si logramos calcular ese pedazo de área que está aquí sombreado
lograríamos calcular una parte del desplazamiento de la partícula.
Es decir, cuánto se desplaza en el intervalo que va desde un poquito antes de
los 6 segundos hasta un poquito después.
Noten que no podríamos calcularlo en forma exacta en este caso.
Porque lo que nos queda en el área, nos queda un pedacito fuera de ese cálculo.
Noten esta partecita que está entre esta línea y la curva de velocidad,
esa no la podríamos estar calculando.
Nosotros vamos a calcular el área de este trapecio rectangular.
Que lo que estamos haciendo, como habíamos mencionado previamente en la teoría.
Es que estamos haciendo el supuesto de que en realidad la forma de esta curva no es
como se ve aquí.
Sino que en realidad es una línea recta.
Si hacemos ese supuesto, pues entonces lo que vamos a lograr es calcular,
no en forma exacta, el desplazamiento de la partícula en este intervalo.
Pero por lo menos sí obtendríamos una buena aproximación.
Noten que nada más nos quedaría por fuera y sin calcular ese pedacito.
Bien, pues lo que podemos hacer es rellenar
toda la gráfica en segmentos como éste.
Noten que todos los segmentos son trapecios rectangulares.
Y como son trapecios rectangulares, esas áreas las podemos calcular
en una forma usando el teorema del valor promedio de la velocidad.
Por ejemplo, miren, noten el primer segmento que está aquí.
Ese primer segmento.
Podemos utilizar el valor promedio de la velocidad porque pues
estamos suponiendo que la gráfica aquí se comporta como una línea recta.
También en este siguiente aunque dije todos son
trapecios rectangulares notamos que aquí tenemos unos cuantos, cuatro triángulos.
Pero de todas maneras recuerden que van a poder seguir utilizando
el teorema del valor promedio de la velocidad.
Bien, pues por comodidad vamos a segmentar esto
no en el número de partes que aparece aquí, que si se nota son 8 partes.
Noten que este pedacito de abajo, que son dos triángulos rectángulos,
en realidad podríamos tratarlo como un sólo triángulo.
De tal forma que calculemos su área en un momento que sea necesario.
Como la base, todo ésto que está aquí, multiplicado por la altura.
Y así nos ahorraríamos un cálculo en este proceso.
En total, podríamos dejar así nuestro cálculo.
Podríamos calcular el área de todos estos segmentos, y al final sumarlos.
Y lo que vamos a obtener es una aproximación
al desplazamiento total de la partícula.
Bien, vamos calculando segmento por segmento.
Para ilustrar 2 maneras de calcular esos segmentos,
en algunos voy a utilizar el teorema del valor promedio de la velocidad.
Y en algunos otros voy a calcular directamente el área,
como en el caso del triángulo.
Vamos a empezar por el segmento 1.
El segmento que dice ahí, delta de X1, es un segmento que está pintado en azul.
Entonces si recordamos el teorema del valor promedio de la velocidad.
Lo que nos dice es que en este segmento,
deberíamos considerar el valor de la velocidad al inicio.
Que en este caso notamos que es tres metros por segundo.
Y el valor de la velocidad al final de este segmento,
que notamos que es aproximadamente 2.1 metros por segundo.
Y aquí está un poquito más arriba que el dos,
por eso estoy usando un decimal como aproximación.
Y esa velocidad promedio que va salir de estos dos valores
la vamos a multiplicar por el intervalo de tiempo.
Que para este primer segmento tenemos un intervalo de un segundo.
Bien, entonces utilizando el teorema del valor promedio de la velocidad,
lo que tenemos que hacer.
Como habíamos mencionado es sumar las velocidades inicial y final.
Y esas velocidades inicial y final dividirlas entre dos la suma,
para poder calcular la velocidad promedio.
Y eso multiplicarlo por el intervalo de tiempo que dura ese primer intervalo que
you dijimos que es un segundo.
Noten que el resultado de esa multiplicación nos va dar en metros,
porque esta cantidad está en metros por segundo.
Y ésta otra, este 1.0 está en segundos,
entonces la multiplicación nos da en metros.
Si hacemos esa operación, pues el resultado va a ser 2.6 metros.
Así que ahí tenemos una aproximación para el primer segmento en el que tenemos que
calcular el desplazamiento.
El segundo, vean este es el segundo segmento, lo estoy llamando delta X2.
De igual manera podríamos utilizar el teorema del valor promedio de la
velocidad.
Pero vamos a utilizar mejor el cálculo del área, you que es un triángulo.
Noten que su base va desde uno hasta un poquitito más de 2.1,
vean el área de este triángulo verde.
Y su altura es la altura del segmento pasado,
la velocidad final del segmento pasado que es aproximadamente 2.1.
Así que como el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura.
Sí, vean, aquí estamos multiplicando 2.1 que es la altura del triángulo
por 1.1 que es la base del triángulo.
Noten desde 1.1 hasta aproximadamente 2.1 hay 1.1, por eso la base es de 2.1.
Y el resultado lo estamos dividiendo entre 2.
Bueno pues eso nos va dar un desplazamiento para el segundo segmento,
de 1.2 metros.
Bueno, vamos ahora al tercer segmento
El tercer segmento lo estoy llamando delta X3, noten que es un triángulo.
Es un triángulo que tiene base que va desde 2.1 hasta aproximadamente 4.2.
Entonces nuevamente voy a utilizar la fórmula del área de
un triángulo para calcularlo.
Nada más que noten la base.
¿Cómo estoy calculando la base?
Si se les complica un poquito ver directamente cuánto tiene de base ésto.
Es decir, cuánto hay desde este instante de tiempo hasta este otro,
pues simplemente pueden hacer una resta.
Si suponemos que este instante de tiempo que es por donde está
cruzando la curva por el eje del tiempo, es 4.2.
Y que este primer instante es 2.1,
pues la diferencia 4.2 menos 2.1 nos va dar cuánto tiene de ancho.
Y en este caso pues ese ancho es lo que tarda ese intervalo de tiempo.
Y por otro lado, la altura de este triángulo, noten que altura es un
término que usamos en realidad, en este caso tiene otros sentido.
En este caso se refiere al valor de la función
que nos está dando la altura de ese triángulo.
Y el valor de la función, hay que estar muy pendientes con el signo,
noten que es -1 metros por segundo.
Así que -1 metro por segundo que es la altura del triángulo,
por la base que es 4.2 menos 2.1.
Y todo dividido entre 2, nos va dar el área de ese triángulo.
Que en total nos da -1.1 metros.
Recuerden que ese desplazamiento negativo significa
que la partícula en ese intervalo.
Se movió a la dirección contraria respecto a la cual estamos considerando como
la dirección positiva.
Que pues eso es relativo y es elección de cada quien.
Alguien puede decidir que positivo va ser si la partícula se mueve hacia el lado
derecho.
Y negativo si se mueve hacia el lado izquierdo.
O hacia cualquiera de los lados en la línea recta sobre la cual esa partícula se
esté moviendo.
Bien, vamos al tercer segmento.
El tercer segmento también es un triángulo,
de igual manera vamos a utilizar el área de un triángulo para calcularlo.
Noten que la base de este triángulo pues empieza en
4.2 y termina en aproximadamente 5.4.
Así que el ancho lo estoy calculando como una resta que 5.4- 4.2.
Y la altura de este triángulo, es aproximadamente 2.4.
Y bueno pues el área de este triángulo va ser 2.4 por 5.4 menos 4.2,
porque ese es el ancho.
Y todo dividido entre dos.
Eso nos da un resultado de 1.4 metros para el desplazamiento en el segmento cuatro.
Bien, pues así sucesivamente tenemos que ir sumando todas
las áreas que estamos aproximando.
Por ejemplo en el segmento cinco,
noten ahí de nuevo vamos a utilizar el teorema de valor promedio.
Pues la ventaja de usarlo es que finalmente es una forma simplificada
de calcular el área de un trapecio rectangular, como es éste.
Pero otra forma podría ser, no lo vamos a hacer en este ejemplo.
Pero podría ser segmentar este pedazo como un triángulo rectángulo y un rectángulo.
Ok, pero significaría dos cálculos.
Así que vamos hacerlo de un solo golpe,
utilizando el teorema del valor promedio de la velocidad, de nuevo.
Y de esta forma nos queda que como la velocidad inicial es aproximadamente 2.4,
la velocidad final es aproximadamente 3.0.
Y la base desde 5.4 hasta 6.3 aproximadamente.
Pues tenemos que este sería el cálculo,
usando el teorema del valor promedio de la velocidad.
Vean, la velocidad promedio es la suma de 2.4 más 3.
Y lo que nos da dividirlo entre 2.
Y el intervalo de tiempo, pues se calcula restando el instante final,
menos el instante inicial para ese intervalo.
Ese resultado es 2.4 metros.
Y de forma análoga, finalmente tenemos el segmento seis.
Que también estoy utilizando el teorema del valor promedio de la velocidad.
Noten cómo es ese segmento empieza con velocidad 3 y termina con velocidad 2.5.
Que lo vemos porque está al nivel de eje 2.5 en la velocidad.
Y el intervalo de tiempo va desde 6.3 hasta 7.
Por eso estamos haciendo esta resta, y el resultado debe dar redondeado
a dos cifras significativas, debe dar 1.9 metros.
Tomen en cuanta que todos estos cálculos los he estado redondeando a una cifra
decimal.
Que es la precisión con la que podemos medir los puntos de esta gráfica.
Bien, pues you nada más nos falta calcular el desplazamiento total de la partícula.
Que no es otra cosa más que sumar todos esos segmentos que fuimos
calculando a lo largo del ejercicio.
Es decir, 2.6 más 1.2.
Estén muy pendiente del desplazamiento negativo,
ese hay que sumarlo con su signo, es decir, hay que ponerle su signo negativo.
Y 1.4, 2.4 y 1.9 son los demás desplazamientos.
Lo cual nos da un desplazamiento total de 8.4 metros.
Bien, pues esta es la manera de calcular en forma aproximada
a partir de una función de velocidad que está dada en forma de gráfica.
Ésta es la manera de calcular aproximadamente el desplazamiento
que tiene durante un intervalo de tiempo.
Y lo siguiente es calcular, como nos lo pide el inciso B.
Nos pide calcular ahora la distancia recorrida.
La distancia recorrida,
pues hay que recordar que no es lo mismo que el desplazamiento.
Sin embargo se parece mucho.
Sólo hay que tomar en cuenta una cosa.
En esta situación en particular vamos a dibujar otra vez la gráfica.
En esta situación en particular vemos que hay una parte del
área que está por encima del eje del tiempo que es ésta al principio.
Y ésta otra pasando los 4.2 segundos.
Y por otro lado,
tenemos una parte del área que está por debajo del eje del tiempo.
Bueno, hay que estar conscientes de que estas dos nos van a dar
un desplazamiento positivo y esta nos va dar un desplazamiento negativo.
Pero recuerden que la distancia no le importa cuál es la dirección del
desplazamiento.
La distancia tiene que sumar todos los metros que recorrió en la dirección
positiva, y sumar los metros.
Positivamente sumarlos porque es el número de metros que recorre en la dirección
contraria a la que estamos llamando negativa.
Y además, obviamente sumarle los metros que otra vez recorre en la parte positiva.
Bueno, afortunadamente la mayor parte de ese trabajo you lo hicimos.
Calculamos estos desplazamientos por pedazos.
Segmentamos primero,
les pusimos nombre a cada uno de esos pedacitos y los calculamos.
Bueno, pues prácticamente para calcular la distancia tenemos resuelta
la mayor parte del problema.
Porque sabemos cuánto mide cada uno de esos pedazos de área.
Lo único que tenemos que tener cuidado de tomar en cuenta es que este
desplazamiento que caminó en la dirección negativa.
Para el cálculo de la distancia hay que considerarlo positivo.
Porque recuerden, si un partícula se mueve 10 metros en una dirección,
y regresa esos mismos 10 metros.
Su desplazamiento va a ser cero porque llegó al mismo punto.
Pero la distancia que recorrió son 10 de ida y 10 de vuelta.
Eso nos da 20 metros en total.
Así que para sumar las cantidades necesarias para calcular la distancia.
Pues lo que tenemos que hacer es sumar los 2.6
metros que se mueven en una dirección primero.
Más 1.2 metros que se mueve en la misma dirección.
Pero hay que sumarle los 1.1 metros que la partícula se regresó.
Aquí no hay que restarlo como el desplazamiento.
Y todo lo demás es positivo, así que lo seguimos sumando y en total tenemos que
la partícula recorre una distancia de 10.6 metros.
Que pues noten que así como en muchos otros casos, es diferente
que el cálculo que hicimos para el desplazamiento total de la partícula.
Bueno, pues esta es la manera de calcular
el desplazamiento de una partícula a partir de una gráfica de velocidad.
Cuando la velocidad no cambia uniformemente.
you ven que no estamos totalmente perdidos y no podemos dejar de utilizar,
o no debemos dejar de utilizar el teorema de valor por medio de la velocidad.
Debido a que la aceleración no es constante.
Sino que todavía podríamos hacer una aproximación.
Lo cual podemos notar no es tan mala con respecto al valor
verdadero que vamos a ver en algún otro ejercicio más adelante.
Hasta la próxima.
[MUSIC]
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