Come funziona il sistema di lancio della pallina in un flipper? Allora c'è un pistone, con avvolta
una molla e la pallina è appoggiata a questo pistone. Quando il bambino tira la manopola,
il pistone con la molla scende, e quindi anche la pallina scende. Quando arrivo alla compressione
massima, il bambino rilascia la manopola; così, la molla si può allungare, insieme
al pistone, spingendo la pallina. A un certo punto, la pallina si stacca, con una certa
velocità massima, e prosegue nel suo cammino nel flipper. Voglio andare a trovare proprio
questa velocità massima. Allora posso schematizzare il problema in
questo modo: ho la mia molla, di costante elastica k, che, in una prima situazione,
quando sto tirando la manovella da questa parte, avrà una certa compressione massima,
che chiamo Δx_max. Qui avrò la mia pallina di massa m.
Ad un certo punto, questa manopola viene rilasciata. Quindi ho un'elungazione della molla e, quando
arrivo al punto di distacco, la velocità della pallina sarà la v massima e dico che
questa è la mia posizione 0 in un asse delle posizioni che indico in questo modo qua, con l'asse
delle x. Voglio studiare il problema dal punto di vista
della dinamica. Quindi, il mio obiettivo sarà quello di andare a scrivere il secondo principio,
come forza totale agente sulla pallina uguale alla sua massa per la sua accelerazione.
Allora devo andare a disegnare le forze. La forza che è presente sull'asse delle x
è questa ed è la forza elastica. La forza elastica può essere scritta come k*x,
dove k è la costante della molla, per il versore -u_x.
Passo allora a scrivere il secondo principio, relativamente a questo caso, e vedo che ottengo
-k_x=m*a. L'accelerazione può essere anche vista come
la derivata a seconda del tempo della mia legge oraria. Per cui posso anche scrivere m derivata
seconda rispetto al tempo di x. Per cui, l'equazione che vado a ottenere è:
derivata seconda di x rispetto al tempo +(k/m)*x=0.
Questa è un'equazione differenziale del secondo ordine, la cui soluzione può essere data
da x(t) uguale ad Acos(ωT+φ). Allora, questa è la legge oraria tipica di
un moto armonico, quindi di un moto che oscilla nel tempo, come mi dice questo coseno. ω
è la pulsazione di un termine noto, perché dipende dal coefficiente della x. In particolare,
ω uguale alla radice di k/m. A e φ, invece, sono due incognite: a è l'ampiezza
e φ è la fase del mio moto. Ho due incognite e avrò bisogno di due equazioni per andare
a determinarle. Queste equazioni si possono ricavare dalle condizioni iniziali, cioè
da cosa succede quando il mio tempo di osservazione del problema è uguale a 0.
Allora, quando io sono all'inizio del problema, sono proprio alla condizione uno, che ho disegnato lì.
Quindi, vuol dire che la mia x al tempo 0
è uguale a -Δx. Infatti, in questa situazione, io sono spostata sulla sinistra di un tratto
Δx e posso anche andare a scrivere anche un'altra condizione, perché io so che la pallina parte
da ferma. Quindi, la velocità al tempo 0 sarà uguale a 0. E le metto così a sistema.
Però, vedo che mi manca l'equazione della velocità. Posso però ricavarla facilmente:
infatti, se parto dalla legge oraria e derivo la legge oraria una volta rispetto al tempo,
ottengo proprio la velocità, che sarà quindi uguale a -A*ωsin(ωt+φ).
Posso allora, adesso, andare a sostituire le condizioni iniziali in queste due equazioni.
Per cui otterrò: -Δx=Acos(φ), perché appunto la sto valutando per tempi
uguali a zero. Mentre per la velocità avrò 0=-Aωsin(φ).
Da questa equazione ricavo che φ è uguale
a 0. Se adesso io prendo la φ e la metto in quest'altra equazione, ricavo che -Δx=A.
Quindi posso andare finalmente a scrivere
le mie equazioni del moto della legge oraria della velocità con questi parametri noti.
Per cui x_t sarà uguale a -Δx cos(ωt), mentre la v_t sarà uguale a +Δx*ω*sinωt.
Il mio problema era quello di trovare una velocità massima. Allora osservo l'espressione
della velocità e vedo che Δx e ω sono delle costanti del mio moto. Quello che può variare
è il seno. Ma il seno assume valore massimo quando vale 1. Quindi la velocità massima
sarà data proprio da questa espressione con il seno uguale a uno. Quindi, Δx*ω.
Dove ω è nota, perché l'ho scritta qua. Adesso potrei anche andare a calcolare, o
comunque a capire, qual è il punto in cui la velocità è massima, e quindi il punto
in cui avviene il distacco della pallina dal pistone. Allora per cercare di capire questo concetto,
aiutiamoci con l'ausilio di un grafico. Allora in questo grafico abbiamo disegnato in viola
la legge oraria del mio moto; mentre in giallo la velocità.
Partiamo dalle condizioni iniziali: inizialmente mi trovo a una Δx_max, però dalla parte
dei numeri negativi, perché sono alla sinistra dello zero. Quindi sono, sulla linea viola,
esattamente qua. E questo coincide con una velocità nulla,
infatti all'inizio la pallina partiva ferma. Quando rilascio, e quindi sono in questa situazione,
la molla si sta pian piano allungando. Infatti, la x va verso lo zero, che era la mia posizione
iniziale di equilibrio della molla, e poi andrà verso valori positivi. Nel frattempo,
la velocità sta anche lei aumentando, fino ad arrivare alla v_max calcolata prima.
Ottengo la v_max proprio quando sono nello zero della posizione, quindi nella posizione
di riposo della molla. È proprio lì che avviene il distacco.
Dopodiché, se vado un po' avanti, che cosa succede? La molla continuerà ad allungarsi
e la velocità diminuisce, mentre la pallina aveva assunto questa velocità. Quindi, vorrà
dire che la pallina si stacca dal pistone, il pistone va ancora avanti, ma mai velocemente
quanto la pallina. E poi tornerà indietro nel suo moto. La pallina invece sarà libera
di muoversi e proseguire nel percorso del flipper.
Maurizio ZaniAssistant Professor
