Uno sciatore si trova sulla cima di una pista da sci e deve partire dal punto A, dove avrà velocità nulla, e arrivare al punto finale B alla fine della pista. È un po' impaurito, perché la pista è molto alta e anche molto irregolare; vorrebbe quindi capir con che velocità arriva al punto B. Per aiutarlo abbiamo diverse possibilità: potremmo ragionare dal punto di vista della cinematica, però potrebbe risultare difficile, perché a un certo punto avrò bisogno della traiettoria di questa pista ed essendo molto irregolare è anche difficile da scrivere. Potrei allora ragionare secondo la dinamica, quindi andare a vedere che forze agiscono sullo sciatore, ma sicuramente dovrei andare a scrivere la reazione vincolare, che dipende, in qualche modo, dall'orientamento del piano e quindi, ancora una volta, troverei delle difficoltà. Allora mi servirebbe qualcosa che dipende solo dalla mia condizione iniziale e da quella finale, e si svincola da come viene percorso il tratto AB. Questo qualcosa è l'energia. Infatti, se non ci sono forze non conservative che agiscono sullo sciatore, posso dire che la sua energia meccanica si conserva. Per cui, posso anche dire che l'energia meccanica dello sciatore in A sarà uguale all'energia meccanica dello sciatore in B. Il mio problema, ora, è quello di andare a scrivere queste due energie, quindi l'energia meccanica in A e quella in B. Allora in entrambi i casi, l'energia sarà data dalla somma di un termine cinetico, quindi K_A e K_B, e da un termine potenziale, quindi U_A e U_B. Il termine cinetico è quello legato all'energia cinetica, cioè alla velocità del mio sciatore; nel punto A parte da fermo, per cui l'energia cinetica sarà 0, nel punto B lo sciatore arriva con la mia velocità v_B incognita. Quindi avrò 1/2 massa dello sciatore per v_B². Il termine potenziale non so, per ora, a che cosa è dovuto. Allora ragiono: lo sciatore si trova ad una certa quota; tutti i corpi che si trovano ad una certa quota, sostenuti da un vincolo, sono fermi. Quando rimuovo il vincolo, questi corpi cadono, quindi trasformano una certa forma di energia: in un'energia cinetica. Questa energia da dove arriva? Arriva dal fatto che loro sono a una certa quota e quando sono liberi sono soggetti a una certa forza, che è la forza peso, che inizia a farli muovere. Quindi io posso pensare di andare a calcolare il lavoro della forza peso. Allora in generale, il lavoro di una forza è l'integrale della forza F(t), cioè della forza valutata verso la direzione tangenziale, per un dL, cioè un infinitesimo di spostamento. E questo integrale viene fatto tra un punto iniziale e un punto finale, chiamiamoli A e B. Scrivere F(t) vuol dire anche scrivere Fcosα in dl, dove questo α è l'angolo che c'è tra la forza e lo spostamento. Posso scrivere allora questa cosa perla forza peso, nel senso che, se io guardo questa figura, lo sciatore è sottoposto ad una certa forza peso, che sarà inclinata di un certo angolo α rispetto al piano inclinato. Quindi, il lavoro della forza peso sarà l'integrale del modulo della forza peso, che è m*g*cosα in dL. Posso però pensare di unire questo cosα all'espressione dello spostamento dL. Allora, nel caso generico otterrei F(l) parallelo sotto integrale, che vuol dire che io sto proiettando lo spostamento lungo la direzione parallela alla forza. Cosa vuol dire nel caso della forza peso? Vuol dire che io ho lo sciatore, ho la forza peso, ho il mio infinitesimo di spostamento, prendo una direzione parallela al peso e la indico con l'asse delle y, allora vuol dire che sto proiettando il dL sulla y. Allora, in questo caso, il dL sarà un dy. Di conseguenza qui ottengo dy. E allora i miei estremi saranno tra la y, cioè la quota del punto A, e la y, cioè la quota del punto B. Allora, se sviluppo questo integrale, ottengo mgh, perché h è proprio la differenza tra le due quote. Inoltre, so che il lavoro è uguale a meno la variazione dell'energia potenziale; variazione vuol dire finale meno iniziale, quindi B-A, con il meno davanti ho quindi -U_b+U_A. E questa cosa è proprio uguale a mgh. Di conseguenza, io ho adesso le espressioni da mettere qua, al posto dei punti di domanda. Quindi, nel punto A avrò mgh, e nel punto b avrò 0. Quindi ho tutto quello che mi serve e posso far conservare l'energia meccanica, andando ad uguagliare questi termini. Se li uguaglio, avrò mgh=(1/2)mv_B², le masse si semplificano e posso andarmi a ricavare la velocità in B. Questa sarà uguale a 2gh sotto radice. Quindi, la velocità finale dello sciatore dipenderà dalla quota da cui lo sciatore parte.