Degli operai devono scaricare un divano dal loro camion. Si sono però dimenticati a casa la rampa; trovano dei legni di riciclo sul camion e decidono di costruirla, e noi dobbiamo aiutarli. Allora, la rampa dovrà essere fatta così. E se la vedo da questo lato, può essere schematizzata come un piano inclinato di un certo angolo θ rispetto all'orizzontale, e io conosco l'altezza h. Sulla sommità ci sarà il mio divano. Devo aiutare gli operai vuol dire, devo aiutarli a dimensionare l'angolo θ, il lato d e il lato obliquo L, in modo che il divano riesca a scivolare a terra, ma con una velocità non troppo elevata e in modo da non cadere e rompersi. Allora, se io osservo dal punto di vista dinamico il divano, posso dire che sicuramente sarà soggetto alla sua forza peso, in quanto ha una certa massa m, e sarà soggetto ad una reazione vincolare R_n. Allora, se io avessi solo queste forze, la risultante darebbe luogo a un movimento lungo questa direzione. Il legno, però, è un materiale rugoso. Questo vorrà dire che avrà un certo coefficiente di attrito statico μ_s. Questo attrito statico si riflette sul mio divano sotto forma di forza di attrito statico, che si opporrà all'eventuale moto del divano e quindi sarà diretta da quest'altra parte. La forza di attrito statico può assumere tutta una gamma di valori, cioè deve essere minore uguale a μ_s R_n. Posso ragionare nel caso in cui la forza di attrito sia massima, quindi in un caso limite, cioè quando ho l'uguaglianza della forza di attrito con μ_s R_n. Allora in questo caso vuol dire che io avrò un certo angolo, che vado a definire angolo critico θ_c di inclinazione della pedana. Questo θ_c sarà fatto in modo che, se la pedana viene costruita con un angolo maggiore all'angolo critico, io ho il moto del divano. Se la pedana viene costruita con un θ minore all'angolo critico, io ho una situazione di quiete. Allora, vado a scrivere il secondo principio della dinamica per il mio divano, considerando che se ho questo valore massimo per la forza d'attrito e l'angolo critico, sarò in una condizione di statica. Cioè, la risultante delle forze applicata al copro dovrà essere uguale a 0. Per scrivere questo principio, però, devo innanzitutto impostare un sistema di riferimento, e posso impostarlo in questo modo qui. E poi notare che le forze non sono tutte parallele all'asse x o all'asse y, per cui dovrò andare a scomporre il secondo principio lungo le due direzioni, x e y. Allora, lungo x avrò la componente della forza peso lungo x, che sarà uguale a mg seno dell'angolo critico θ_c, e poi avrò la forza di attrito, quindi -μ_s R_n=0. Lungo la direzione y avrò la componente del peso lungo y, quindi -mgcosθ_c, e la reazione vincolare, quindi +R_n=0. A questo punto noto che dalle equazioni in y ottengo un'espressione per la reazione vincolare, che quindi sarà mgcosθ_c. Posso prendere quest'espressione e andare a inserirla nelle equazioni in x, ottenendo mg sinθ_c-μ_s mg cosθ_c=0.
Il mio obiettivo è trovare l'angolo critico, per cui, svolgendo dei conti, trovo che il seno di θ_c/cosθ_c, se vado a semplificare questi termini, è uguale al coefficiente di attrito statico. Ricavo il θ_c ottenendo arco tangente di μ_s. Un valore tipico per il coefficiente statico del legno è di circa 0,57, e questo mi dà origine a un angolo critico di 30°. Questo è l'angolo critico, quindi, se io voglio far scendere il divano, mi conviene prendere un valore leggermente superiore a questo angolo, ma non di troppo. Vado allora a dimensionare anche il lato d e il lato L della pedana e in particolare, con un po' di trigonometria, posso dire che il lato L è uguale ad h/sinθ, che per comodità scegliamo uguale all'angolo critico. Allora, h può avere tipicamente dei valori attorno a 1 m e quindi ho una lunghezza del lato obliquo che è pari a 2 m. Il lato orizzontale d, invece, sarà dato da L*cosθ, e sostituendo i numeri ottengo 1,73 m. Ecco che allora gli operai possono far scendere il divano senza romperlo.
