Ну теперь мы пойдем дальше.
Ну дальше вот что.
Что можно с этими формулами делать?
С формулами, которые остались здесь в рамочке?
Ну здесь нам нужно, конечно, мы уже не будем вот писать, я тут воспользуюсь
преимуществом доски, это всё уничтожу лишнее указание,
потому что ток I измерен в электростатической системе единиц.
Мы это запомним.
А теперь, что можно с этим со всем делать?
Ну, а можно делать вот что.
Ну, во-первых, с помощью закона Био-Савара
можно определять магнитные поля различных конфигураций
путем суммирования вкладов отдельных элементов.
Как вы понимаете, можно так просто делать только в
случае каких-то простых геометрических конфигураций токов.
Да? Ну, вот есть несколько таких задач,
и мы должны, как бы, на них остановиться некоторое время.
Вот такая задача.
Если у вас есть Если у вас есть прямой ток, ну ток I, который течет по длинному
прямому проводнику, а вас интересует магнитное поле, ну, скажем,
вот в этой точке на расстоянии R, тогда идея такая,
что вводится координата x, так, и вводится некоторый элемент,
даже можно взять элемент dl.
Вот мы рассмотрим элемент dl и найдем
сначала вклад в магнитное поле вот этого элемента.
Ну, по правилу определения направлений векторных произведений,
вот если вот это вектор r, это вектор r,
то векторное произведение dl * r, для любого элемента,
где бы он на этом проводнике не находился, всегда направлено за чертеж.
Тут можно их складывать и скалярно.
Ну и вот напишем вклад, магнитное поле такого элемента dB будет равняться,
ну надо написать I / c, ну тут будет,
значит, внизу стоит r куб.
Ну, а векторное произведение раскрывается так.
Нужно dl * r, да, на r и на cos угла α.
Вот это угол α.
Вот этот вот угол α.
Ну, давайте еще вот такой проведем радиус вектор, вот сюда тоже.
Вот это будет угол dα, да?
Ну, вот, а теперь только осталось сделать какие-то преобразования, разумные,
тут формула некрасивая, потому что сюда входит переменная α, переменная r,
и еще вот элемент прямого провода l – это координата x по существу.
Нужно всё причесать, так, немножко и вот так всё получится.
Значит, ну, естественно, что здесь остается только r²,
потому что вверху r в первой степени есть, а cos α
* dl = r * dα.
Ну, что такое Ну, что такое rdα?
Это вот такой отрезочек, давайте я здесь просто нарисую его.
Вот это вот rdα, да?
Ну, одновременно это cos α * dl.
Значит, вот это упрощает.
Значит здесь останется dα, так, здесь будет ток I.
Ну, а что внизу останется?
А внизу одна степень r.
Вот, сократится вот с этим r в числителе.
Ну, и когда напишем dl * cos α, то будет, еще будет просто r, по-моему, останется.
Сейчас, одну секундочку, я только сейчас только сейчас.
Чего не хватает?
А c не хватает, конечно, да?
Вот такого c не хватает.
Ну и наконец, последний шаг.
Что такое r?
r — это вот расстояние,
по перпендикуляру, деленное на cos α,
да, получается вот такая I * cos α * dα,
а здесь c * R вот такое вот.
Ну вот такая формула, ну, а теперь нужно проинтегрировать по α,
теперь уже все причесано, по α, это cos α dα,
проинтегрировать в пределах от −π/2 до + π/2, ну и, конечно, вот,
после такого интегрирования, я напишу прямо, B = 2I / cr.
Вот это формула, которая описывает магнитное поле прямого провода.
Ну, и здесь можно еще указать направление.
Мы уже говорили, что магнитное поле любого элемента,
вот при таком заданном направлении тока, направлено за чертеж,
поэтому получается здесь, по существу, вот такая картинка.
Вот ток I, а вот это вот — некоторая линия,
на которой, касательная которой всегда направлена по направлению вектора B.
Вот это вот, вот такая вот.
Значит, вектор B всегда направлен по касательной, к этой окружности.
Ну вот это её центр здесь вот, да?
Значит вот говорят в этом случае, что направление магнитного поля
составляет с направлением тока правый винт.
То есть, ну вот так представить себе правый винт,
мы как бы закручиваем этот правый винт, и он движется по направлению тока.
Ну, тогда вот,
направление вращения этого винта совпадает с направлением магнитного поля.
Значит, вот это B, да?
Ну, естественно, осевая симметрия,
поэтому во всех точках этой окружности вектор B по модулю один и тот же.
Ну, модуль одинаков везде, да?
Вот такая вот, такая вот формула.
Ну, кстати, ну, теперь, если мы эту формулу получили,
то можно рассмотреть задачу о взаимодействии параллельных токов,
вот такая очень типичная задача, она решается легко.
Значит, какая задача?
Как это можно себе представлять?
Представим себе, что у вас есть два параллельных тока, ну, допустим,
они текут в одну и ту же сторону.
Это ток I₁, это I₂.
Кстати, а что такое ток, текущий по прямому проводу?
Что это такое?
Постоянные токи всегда замкнуты, мы,
очевидно, должны предполагать, что это кусок, большой кусок,
прямолинейный кусок замкнутого контура, где-то там, далеко от нас,
каждый из этих проводничков замыкается, чтобы образовать замкнутую цепь.
Понятно, да?
Ну, мы это не рисуем, а рисуем только вот ту часть, которая нас здесь интересует.
Значит, вот, если возьмем мы магнитное поле тока I₁ вот в этом месте.
Да? Тогда вот мы можем нарисовать здесь,
ну вот, попытаюсь нарисовать, вот такая вот.
Вот эта окружность называется магнитной силовой линией.
Ну, я нарисовал окружность, радиус, которой равен R.
Да? А вот это точка, которая нас интересует.
Значит, в этом месте магнитное поле направлено, из предыдущей задачи следует,
что магнитное поле вот здесь направлено, это B с индексом 1,
направлено за чертеж, и это поле действует на ток 2.
Но, этот ток длинный,
мы его считаем бесконечно длинным,
мы выделяем элемент dl, dl₂,
который равен 1 см.
То есть, поскольку это прямолинейный ток, то можно выбрать кусочек этого провода,
длиной в 1 см и рассматривать силы, которые действуют на эту единицу длины.
Тогда получится вот что.
Нужно просто использовать уже закон Ампера.
Да? Значит, у нас получится само магнитное
поле B₁ по модулю — это есть 2I₁ * cR, да?
Ну, еще нужно подставить в эту формулу,
вместо dl взять 1, значит, появится еще I₂,
потому что эта сила действует на второй ток, и погонная сила, то есть сила,
действующая на единицу длины f₁ ₂, давайте напишем.
Сила со стороны первого тока, действующая на единицу длины второго.
Это будет вот что такое, это будет 2I₁ * I₂, / c² * R.
Вот такая формула, это сила взаимодействия двух параллельных токов.
Причем, ясно, что, если токи параллельны,
то эта сила f₁ ₂, то есть,
её вектор направлен в строну их притяжения, то есть они притягиваются.
Вот это, давайте нарисую здесь,
вот эта сила f₁ ₂, вектор уже теперь нарисую здесь.
А если токи антипараллельны, то имеет место отталкивание.
Ну, тут, я вам в следующий раз покажу эксперимент,
тут, скорее всего, его не подготовили.
Но, хочу вот здесь написать вот эту формулу еще в другой системе единиц.
Вы, конечно, сталкивались с формулой, которую я сейчас напишу.
А это система единиц СИ, да?
Так, вот, в системе единиц СИ f₁ ₂ записывается в таком виде.
Здесь стоит μ нулевое *
I₁ * I₂ / 2 πR.
Вот такая формула возникает в системе СИ, где токи измеряются в амперах, да?
R измеряется в метрах, ну,
а вот еще есть там магнитная
константа, которая
равняется 4π, вот это μ в системе СИ,
μ нулевое = 4π * 10 в −7, вот такая размерность Г / м.
Ну, что такое Генри, потом мы с вами узнаем.
Напомню вам, что именно эта формула положена в
основу определения единицы тока в системе СИ.
Ну, как это?
Каким образом?
Вот, если, ну вот, я сейчас попробую произнести эту соответствующую фразу.
Если два одинаковых тока по величине расположены на расстоянии 1
метр друг от друга, и сила, действующая на единицу длины,
то есть на один метр каждого проводника,
равняется 2 на 10, 2,
вот f = 2 * 10 в −7 Н / м.
Вот такая сила.
Тогда оба тока...
Так фраза не очень красивая получается...
Давайте, сила тока в этих обоих проводниках равна 1 амперу.
Значит, два тока по одному амперу на расстоянии одного метра взаимодействуют
с погонной силой 2 * 10 в −7 Ньютон на один метр длины каждого проводника.
Значит, вот такая вот, это вот, очень полезно вспомнить,
потому что, это вот, определение ампера вот в этой формуле сидит.
Да? Ну,
вот, оказывается, такая задача может быть решена,
я возвращаюсь к задаче об определении магнитного поля прямого провода.
Ну, видно, что мы суммируем вклады вот такого вида, нужно эту формулу
проинтегрировать, очевидно, а это можно сделать в силу принципа суперпозиции.
Ну и вот, получается окончательная такая формула,
которую иногда мы будем с вами использовать.
Ну, а если мы посмотрим вот так сверху,
если вот это вот провод, по которому на нас, например, течет ток I, то
магнитные силовые линии будут представлять собой концентрические окружности.
Вот давайте я попробую нарисовать концентрические окружности.
Две штучки, такой вот, вот такая картинка, причем направление
магнитного поля должно быть связано с направлением тока правилом правого винта.
Если ток течет на нас, то вот здесь нужно стрелки вот таким образом расположить.
Да? Вот такая вот структура магнитного поля.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
