Ну, мы начнем с самого простого, с самой простой задачи,
а именно энергия взаимодействия двух зарядов.
Вот один заряд, скажем, q1, а вот заряд q2.
Что называется энергией взаимодействия?
А энергией взаимодействия называется...
она равна работе внешних сил,
которые нужно затратить, чтобы создать такую систему.
То есть предполагается, что вот сначала эти заряды находятся далеко друг от друга,
мы их приближаем, и вот на расстоянии,
которое задается условиями задачи, и считаем работу внешних сил.
Это сделать очень просто, потому что электрическое поле потенциально,
поэтому соответствующие запасы энергии в такой системе W можно выразить так: это
q1 — то есть я могу оставить заряд q2 на своем месте, а приближать к нему заряд q1.
Значит, q1 умножить на потенциал поля
второго заряда в том месте, куда мы поместили первый.
Это по определению потенциала.
Значит, вот такая формула выражает нам, по существу, энергию,
точнее, работу внешних сил, необходимых для того,
чтобы заряд q1 поднести на необходимое расстояние к заряду q2,
но можно задачу обратить и перемещать не первый, а второй заряд.
Тогда получится вот такая формула: q2φ12.
Ну и поскольку тут все симметрично, то предлагается эту формулу записывать в
совсем уж симметричном виде, а именно: написать здесь коэффициент 1/2,
а в скобках написать, значит,
q1φ21 + q2φ12.
Вот такая вот формула выражает энергию взаимодействия 2-х точных зарядов.
Ну естественно, следующий шаг — это обобщение этой формулы,
и нужно взять не 2, ну допустим, 3 заряда возьмем,
вот давайте я просто здесь еще 3-й заряд нарисую: q3.
Тогда нужно вот что сделать.
Энергию взаимодействия всей этой тройки,
она равняется сумме попарных взаимодействий.
Вот написать нужно такое выражение: здесь W12
+ W13 + W23 Ну и вот
каждый из этих членов расписывается подобным вот образом.
И тогда получится — я уж не буду так, то есть это тривиально совсем,
я просто напишу эту формулу.
Это будет 1/2, а в скобках будет вот что: (q1
× (φ21 + φ31).
Ну, очередность индексов понятна.
Первый индекс показывает на источник поля, а второй индекс показывает,
на какой заряд это поле действует.
Ну вот такая вот сумма здесь возникает.
+ q2 × (φ12 + φ32).
Ну и наконец, последний + q3 будет а в скобках будет φ13,
но мне придется формулу так вот загнуть,
+ q 1 — третий ряд?
— +q23 вот еще.
q23 вот здесь написано.
Вот я прошу прощения за то, давайте я — все-таки нехорошо такую формулу оставлять
на доске — давайте все-таки мы ее напишем более культурно: + +
q3 × (φ — я только здесь что-то даже неправильно написал
— на (φ13 + φ23) — вот так надо эту формулу написать.
Что такое, вот что такое эта сумма: φ21 + φ31.
Что это такое?
Это сумма в целом — что это такое?
Это суммарный потенциал, который создают заряды второй и
третий в том месте, куда помещен первый заряд.
Понятно, да?
Это потенциал поля второго заряда в точке 1,
а это потенциал третьего заряда, тоже в точке 1.
Значит, вот такая, значит, мы теперь обозначим это вот.
Это пусть будет просто φ1.
Это потенциал той точки, в которую попал заряд q1.
Ну вот это точно также вот это соотношение,
это сумма, это φ2, ну а это φ3.
Ну в общем вот такая вещь.
Ну естественно теперь можно записать для n зарядов.
Вот я теперь сюда уже перейду.
Для случая n зарядов W будет выражаться таким образом: это 1/2,
а здесь будет ∑qi × φi,
вот по всем зарядам нужно.
эту сумму взять.
Где, повторяю?
Потенциал φi — что это такое?
Это потенциал поля в той точке, куда попал i-тый заряд,
и задаваемый всеми остальными зарядами, кроме вот этого самого i-того заряда.
Ну он сам в точке, в которую он попал, он сам… его потенциал там вообще,
если точный заряд, то он бесконечен, то есть он в формулу не входит.
Значит, вот такая вещь.
Ну а дальше уже надо перейти к непрерывному распределению заряда.
Эту формулу обобщить на случай,
когда заряд размазан по пространству какой-то объемной плотностью, скажем,
вот объемная плотность какая-то ρ, ну, от координат, конечно, зависящая.
Как записать энергию взаимодействия такого размазанного по объему заряда?
Каким образом?
Ну, написать нужно следующее, вот такую формулу, что энергия взаимодействия будет
равняться 1/2, между этой сигмой напишем интеграл.
Здесь будет интеграл, ну,
я пока еще не пишу интегральное выражение, нарисую картинку.
Вот у вас какое-то есть тело, заряженное непрерывным зарядом.
Вы, скажем, разбиваете на много, ну как обычно,
на маленькие объемчики какой-то объем dV.
В этом объеме заряд ρ × dV и вы должны,
а потенциал там – какое-то φ в этой точке.
Вы должны под интегралом написать φ × ρi ρi × dV.
Причем здесь есть один маленький нюанс, который, наверное,
нужно о нем пару слов сказать.
Дело в том, что вот в этой формуле, когда мы говорим о дискретных зарядах,
потенциал φi создается всеми зарядами,
кроме самого qi — я вам об этом говорил, да?
Когда мы переходим к непрерывному распределению зарядов,
то от этого правила нужно отказаться, потому что каждый элемент объема,
маленький элемент объема dV при переходе,
при предельном переходе, когда мы этот элемент объема стремим к нулю,
он внутри себя создает нулевой потенциал.
Ну у него потенциал, собственный потенциал, стремится к 0.
Хочу привести вам пример.
Помните, у нас была такая задача.
Однородно заряженный шар, да?
Ну и вот заряд, ну скажем, объемная плотность ρ, радиус R.
И вот мы искали потенциал вообще во всем пространстве,
но в том числе и в точке 0, вот когда R = 0,
то потенциал оказывается там φ = 3/2 q / R.
Вот такая вот формула.
У вас это в тетрадях, это есть, мы задачу эту, помните,
вот такой график у нас еще был.
Я напоминаю вам, был вот такой график: вот здесь такая парабола,
а потом она переходит в гиперболу, где потенциал.
Так вот эта вот точка, вот эта.
Это 3/2 q / R.
Ну что такое q?
Если мы через объемную плотность?
q пропорциональна R куб.
Я не буду писать коэффициент пропорциональности, стало быть,
потенциал вот такого шара, он пропорционален квадрату радиус,
если ρ — константа, если задан не его заряд, а задана объемная плотность,
то и потенциал такого объемчика пропорционален квадрату его размера.
Ну и стало быть, если мы будем переходить к пределу, когда dV стремится к 0, то
потенциал в этой точке, создаваемый самим этим элементом объема, стремится к 0.
И теперь можно уже вот в этой формуле, которую я вот сейчас написал здесь,
считать, что просто потенциал φ — это потенциал в той точке,
вот в этой точке, вот нужно умножить на объемную плотность в этом месте же,
ну и на какой-то элемент объема и по всему объему проинтегрировать.
Тогда это будет энергия взаимодействия.
Энергия взаимодействия зарядов, размазанных непрерывно по пространству.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
