Итак, незаряженный проводящий шар радиусом 4 сантиметра, разрезанный пополам, находится во внешнем однородном поле E0. E0 = 300 вольт на сантиметр. Итак, он разрезан ровно пополам и прижат, вот этот, просто разрезали, и прижат друг к другу. Так вот, этот помещен во внешнее поле так, что вектор напряженности этого поля перпендикулярен границе плоскости разреза этого шара. То есть две половинки шара перпендикулярны полю. Определить силу, с которой оба полушария взаимодействуют друг с другом. Вопрос: что значит взаимодействуют – притягиваются или отталкиваются? >> Притягиваются. >> Притягиваются. Отталкиваются. Видите, есть и «притягиваются», и «отталкиваются». Ну так чего? [БЕЗ ЗВУКА] Я радостно смотрю, какое разнообразие мнений. Давайте рассуждать. Притягиваются или отталкиваются? >> Притягиваются, конечно. >> Давайте проголосуем. >> Давайте проголосуем. Кто за то, что притягиваются? Опустите. Кто за то, что отталкиваются? Жалкое меньшинство. Читаю текст. Определить силу, с которой оба полушария отталкиваются друг от друга. Вот оно что! Вот давайте объяснимся, почему отталкиваются. Что происходит с шаром в целом? Он же соединен электрически. Что происходит? Происходит его поляризация. Вот сюда убегут положительные заряды, согласны? Поле-то направлено, вот это E0, вот так. А здесь концентрируются отрицательные заряды. Так, и что с положительными зарядами во внешнем электрическом поле? Они потащат его вправо, а отрицательные заряды – влево. Конечно, отталкиваются. Вот, что получается. И самое главное – что в центре как бы возникает, мы же это обсуждали, эффективная ситуация диполь. То есть можно заменить этот шарик, разрезанный пополам, электрическим диполем. И поле диполя, точнее говоря, дипольный момент этого шарика – это есть R в кубе на E0. Он направлен также, как внешнее электрическое поле. Уже, ну вы же помните, я же специально рисовал это все. Вот как-то искажение будет вот такое вот. И отсюда вот так вот все это пойдет. Ну радиальные такие линии. Вот искажено внешнее поле. Значит, что оно будет представлять из себя на границе. Считаем: E шара при r равном R на границе – это есть внешнее поле E0 + поле диполя 3 (pr) * r / r в пятой − P / r в кубе. Значит, я ставлю сюда: при r = R. И подставляю. В том числе подставляю сюда R в кубе * E0. Смотрите, что здесь оказывается. Я это уже выписывал в одном из первых семинаров. Вот получается следующее: E0 + 3R в кубе. Здесь будет (E0 * R скалярно) * на R вектор / R в пятой (тут все посокращается) − R в кубе E0 / R в кубе. У нас сразу же вылетает вот этот член и остается ни что иное, как 3E0 косинус θ, а здесь R к R. Ну как бы нормально. То есть поле вблизи поверхности шара направлено по нормали к поверхности, то есть радиально у поверхности шара. Эту формулу мы уже однажды получали. Таким образом, по модулю поле вблизи поверхности шара – это есть 3E0 cos θ и все. А что такое θ? Ну понятно, мы уже рисовали это. Вот это ось, вот это угол какой-то θ. И тогда получается, что здесь поле, вот в этой точке, E шара, вот оно, оно радиально. И величина этого поля 3Е0 cos θ. И вот теперь мы понимаем, поскольку мы нашли поле вблизи поверхности шара, то по той самой формуле E в квадрате на 8π, мы сейчас найдем давление, которое будет испытывать, которое будет испытывать сам шар, при этом растаскивая эти половиночки от шара. Так вот, f параллельное – это есть E. Ну да, правильно. E шара в квадрате / 8π * cos угла θ. То есть это проекция этой силы f, которая действует. Точнее говоря, плотности силы, приходящейся на единицу поверхности. Умножить на косинус этого угла. Теперь подставляем еще раз, получается косинус в кубе. Подставим, будет 9 E0 в квадрате / 8π cos в кубе θ. Ну вот, а теперь полную силу интегрированием найдем. F полное – это есть интеграл f * dS. Что такое dS? Ну понятно, что у нас вот сила конкретная. Вот при конкретном угле она действует на колечки. Колечко надо уметь интегрировать, вспоминаем. Вот это вот колечко, которому поле перпендикулярно, плотно торчит из этого колечка. И оно как раз такое 3E0 cos θ. Значит, надо просто, единственное, правильно написать это самое dS. Ну давайте напишем. Я еще так вот напишу интеграл f параллельное, чтоб не запутать. А под dS я понимаю (2πR sin θ). R sin θ – это что такое? Это радиус этого колечка. Я должен умножить на толщину этого колечка через превращение угла θ. На что надо умножить? На что? Rdθ, правильно? На Rdθ. Ну по сфере как интегрируем? Rdθ – это вот, ну длина дуги, что ли, толщина этого колечка. Тогда все будет выражено в этих углах. Ну и дальше уже дело техники интегрирования. Вот я продолжаю вот здесь. И давайте запишем это. Подставляю 9E0 в квадрате / 8π, 2πR в квадрате, интеграл. Сейчас еще обсудим, откуда до куда интегрировать. cos в кубе θ, sin θdθ. Видите, что получается? А интегрировать надо, чтобы захватить все: от 0 до π пополам, что достаточно очевидно для вас. Вот то, что этот уголочек от 0 до π захватит вот эту половиночку и силу, которая действует на половиночку сферы. Ответ очень простой у этого интеграла. А я просто ответ напишу. Ну cos в четвертой на 4. Что тут? И без того понятно. Ответ такой: 9/16 Е0 в квадрате R в квадрате. Если вы подставите сюда числа 300 вольт на сантиметр и 4 сантиметра, то у вас получится 9 дин. Сила не ахти какая большая, но она есть, и она действительно расталкивает эти заряды.