Задача 1.10. Диск радиусом R, вот, рисую его, этот диск. Вот, это ось этого диска. А диск заряжен равномерно, с поверхностной плотностью "сигма". Это поверхностная плотность заряда. Вот, требуется найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси этого диска, то есть перпендикулярно самой плоскости диска. И который находится на расстоянии, вот так, вот его отмерим d. Вот, ка, какова будет напряженность электрического поля, вот от такого диска? Вот такая пространственная картинка. Ну, вот эээ, прежде чем эээ, решить эту задачу, ааа, расскажу немножко о телесных углах. Чуть-чуть, самую, так сказать, малость. Ну вот, представим себе, что у нас в пространстве есть эээ, некая точка, и из этой точки мы наблюдаем, как выглядит эээ, какая-то маленькая, ну строго говоря, бесконечно маленькая площадка. Вот, эта бесконечно маленькая площадка, ну, вот, это радиус r - это до этой площадки. Но только r здесь, тоже r - это бесконечно маленькая площадка. Ну эээ, я ее вот заштрихую. И, назову, что это d(s) как бы с символом, перпендикулярная. Эээ, потому что поверхность этой площадочки сейчас перпендикулярна этому радиусу вектора в эту точку. Но, повторяю, что это бесконечно маленькая площадочка. Вот угол, под которым видна эта площадка в пространстве. Это элементарный телесный угол d "омега", элементарный телесный угол. Ну, а теперь, если нарисовать нормаль к этой площадочке, вот он, этот вектор нормали, это единичный вектор нормали. Вот, ну, можно сказать, следующее еще, вот этот конус, который вырезает, вырезан в пространстве, вот этой площадочкой, за которой мы наблюдаем из этой точки А. Значит, он остается и дальше таким же. А вот эту площадочку можно наклонить, то есть, как всякое сечение конуса, она может быть под углом, и вот, эээ, теперь уже, нормаль к этой наклоненной площадочке, ну, сразу введу вектор ds. Вот, он, по отношению к вектору нормали вот в таком положении составляет угол "тета". Итак, площадь, понятное дело увеличивается, если мы будем на, ну, наклонять срез этого конуса. Вот, он сейчас срез перпендикулярный, поэтому минимальная площадь ds перпендикулярное, я специально так обозначил. Это ds. Ну, обычно, всякая площадочка, ммм, такая, в пространстве, она характеризуется также соответствующим вектором. Поэтому я, ннн, направление нормали, нормаль - это единичный вектор. Поэтому, в этом же направлении, вот в этом же, можно написать вектор ds перпендикулярный, если хотите. Значит, это вектор нормали, умноженный на размер этой площадочки. Ну, так вот, что ж такое телесный угол? По определению, вот этот бесконечно маленький телесный угол, под которым видна эта площадочка, это есть ds перпендикулярная, поделить на r в квадрате. По существу, это такое пространственное объяснение, что такое бесконечно малый телесный угол. Ааа, ну, а если мы теперь вместо, введем вот такую площадь, то есть, наклоненную, то надо написать, ds косинус "тета", поделить на это же самое r в квадрате. Вот вам определение телесного угла, под которым видна площадочка ds, ну, которая имеет угол "тета", по отношению, вот, ну, вот как здесь вот объяснено, вот было перед этим. Надо сказать, что ммм, напомнить что ли, что, если говорить об углах на обычной эээ, на плоскости, то углы на плоскости ведь точно так же объясняются. Вот смотрите, на плоскости, на плоскости, если говорить, то у нас, если есть у нас, эээ, некий угол, "альфа", то, если его, этот, эээ, провести радиус какой-то вот такой окружности, вот получится дуга этой окружности l. Вот, "альфа" можно сказать, что это есть l поделить на r. Ээээ, это вот в одномерном случае. Легко проверить так ли это. Конечно так, например, длина дуги всей окружности, 2 пи, ну 2 пи r, наверное все как, все как положено. То есть, я не буду эту как бы доказывать, какие-то тут теоремы. Просто, перевожу, наш взгляд из плоскости в пространство. А в пространстве так же, можно нарисовать сферу, радиусом r, и, уже по этой сфере, это тоже сфера, сфера, радиусом r, и выделить конус. С углом "альфа". Это угол образующий этого конуса. Тогда этот конус на поверхности сферы вырежет сферический такой сегмент, s сферическое, и тогда можно сказать, что телесный угол, под которым видна вот эта, этот сферический сегмент, эээ, мы напишем его так. Значит, "омега" это есть s сферического сегмента, поделить на радиус в квадрате. Вот, это будет определение телесного угла. Опять-таки мы с вами знаем, что поверхность эээ, сферы есть 4 пи r в квадрате, поэтому полный телесный угол будет 4 пи. Ну, по аналогии, вот совершенно такая же аналогия. Ээээ, повторяю, что я не пытаюсь вам делать каких-то доказательств, это все определение. Значит, а если у меня вот в данном конкретном случае, как расписать величину этого эээ, угла? Очень просто, я даже продолжу это равенство. Это будет 2 пи, 1 минус косинус "альфа". Вот так вот определяется, телесный угол, если подставить сюда поверхность этого сферического сегмента. Ну, тогда получится 2 пи, 1 минус косинус "альфа". Проверим. Если "альфа", вот угол наклона этого конуса будет равен ммм, соответственно пи, то, у меня получится, косинус пи это 1, то 4 пи, то есть, полный, что называется, телесный угол. Вот, ну а теперь мы можем, вполне вернуться снова к нашей задаче. Напоминаю, что нам надо было найти напряженность эээ, электрического поля. Значит, у диска, диск заряжен радиусом r, заряжен равномерно по поверхности, с поверхностной плотностью "сигма". Точка, где надо найти, это лежит на оси, на расстоянии d от центра этого диска. Ну, вот, как поступить здесь? Ну, как поступить? Ну, вот, для,совершенно понятно, если я возьму две маленьких площадочки, которые будут, допустим, расположены совершенно симметрично, вот одну площадочку я ее чуть-чуть эээ, даже заштрихую. Значит, она характеризуется таким вектором ds и эта также ds, направлена, понятное дело, вот так, вдоль по этой оси, тоже перпендикулярно все. Назову это точку А, и спрошу, а под каким телесным углом, я вижу каждую из этих площадочек? Под таким, как вот было дано, вот там, вот определение этого, этого телесного угла. Значит, угол d "омега", который здесь вот у меня есть. Это ммм, dS - величина этой площадочки, косинус угла тета, сейчас напишу, какой это угол, на r в квадрате. Вот что это такое. То есть, по существу, я беру, эээ, вот эту точку А и из этой точки А смотрю, какой у меня получается телесный угол, под которым я вижу эту площадочку. Косинус тета, понятное дело, это вот этот вот угол, здесь я проведу к, в эту площадочку, ну, просто в центр этой площадки. Она бесконечно малая. Это вот тут вопросов не может быть. Вот обозначу вот этот уголочек тета, тета как раз и будет то, что мне нужно. Этот же угол между углом, между вот этим направлением и векторм dS. Ну, а теперь, собственно, к нашей электростатике. Значит, электрическое поле, которое создают заряды, помещённые на этой площадочке, определяется, ну, законом Кулона. Расстояние, вот, эээ, здесь, ну, мы сейчас напишем, какое это расстояние, если это d эээ, расстояние до этой площадочки, ну, соответственно, какое-то, ну, сейчас всё напишу, итак, значит, вот, как у точечного заряда поле от этой площадочки, симметричный вектор, поскольку площадочки у меня совершенно одинаковые и симметричные, я специально так взял, то получается, суммарный вектор от этих двух площадочек отлежит, как бы направлен вдоль по оси, вот исходит из этой точки А, ну, вот это будет каждый из этих, ну, один из этих векторов dE я назову, ну, как бы вклад в электрическое поле, которое создаёт любая такая площадочка, вторая такой же даёт вклад, а вот проекция на это направление, я вот сумму этих двух векторов назову dE перпендикулярное как бы. Вот, то есть, перпендикулярно этому, эээ, поверхности этого диска. Ну, вот, совершенно ясно, что суммарное поле будет осевым, направлено по оси вот в ту сторону, почему? Ну, потому что все, возьму все возможные пары вот этих маленьких площадок, они имеют, эээ, проекцию вот, они имеют как бы компоненту вот эту вот, которые уничтожают друг друга, направлена вот эта вот проекция, направлена сюда и сюда, они как бы уничтожают друг друга и поэтому поле, конечно, осевое. Это и так сразу видно. Так вот, величина заряда, вот на этой площадочке сигма dS, можно назвать d куб, но по всем правилам я напишу, чему же равно Еа в этой точке. Ну, а чему оно равно? Оно равно вот этому вкладу, каждый из этой площадочки dE перпендикулярное, каждой пары, допустим. Что такое dE перпендикулярное? Это вот опять-таки такой же интеграл, я не уточняю, потом всё это уточню. По закону Кулона, это есть dQ поделить на соответствующее расстояние до, эээ, этой самой площадочки, ну, как я его назову, это r маленькая в квадрате, это расстояние. Вот оно, это расстояние r. Ну так вот, записываю весь интеграл: сигма dS на r в квадрате, ну и, понятное дело, ещё нужно умножить на косинус тета, вот на самом деле надо было умножить ещё вот здесь раз на косинус тета, я как бы упустил этот момент. Вот здесь вот косинус тета. Потому что я беру проекции с каждого вектора. Что же у меня получилось? Я же не зря старался? У меня получилось, что, эээ, вот сюда вошла вот эта величина dS косинус тета поделить на r в квадрате. Это поделить на r в квадрате. Это есть телесный угол, о котором я вот столько много говорю сейчас, под которым видна вот эта мальч, маленькая площадочка dS. Ну, тогда совершенно понятно, что мой интеграл превращается в следующий: сигма, интеграл просто по телесному углу, и что же это за телесный угол суммарный? Это тот угол, совершенно ясно, под которым из точки А виден весь этот диск. Тогда мы его найдём. Ну, как его, вот эта формула, 2 пи, единица минус косинус альфа, это и есть таф, та самая формула, которая мне и нужна. Значит, это есть сигма, 2 пи 1 - косинус альфа. Ну, а что такое альфа? Косинус альфа, ну, я его даже вот, здесь вот как бы обозначу, вот косинус альфа, вот зелёненьким таким, вот он, этот угол альфа. Это полный угол, образующий, который вот того конуса, исходящего из точки А, под которым виден весь диск. Ну, вот, косинус альфа этот равен, понятно дело, 1 эээ, ну, не 1, а d поделить на корень квадратный из dF в квадрате плюс r в квадрате. Ну, вот, тогда в этой формуле будет 2 пи сигма, 1 - d на корень квадратный из d в квадрате плюс r в квадрате. По существу, это и есть тот ответ, который требовалось найти. Ну, а теперь можно поговорить, это и есть ответ в этой задаче, поговорить немножко об асимптотике. Смотрите, что такое асимптотика? Мы можем эту точку А приблизить бесконечно близко к диску, это первый предел, что же мы получим? Ответ на этот вопрос, значит, эээ, совершенно простой. Если, значит, первое, если вот это d устремить к 0, то отсюда получится совершенно понятно, что Е становится равным 2 пи сигма и это есть электрическое поле над бесконечно протяжённой плоской поверхностью. Вот не нужно доказывать никакую теорему Гаусса. То есть, ответ на этот вопрос - вот он, в этой асимптотике просматривается. Если же ммм, взять и, ммм, наоборот эту точку А удалить, как можно дальше от этого диска, то мы должны, по идее, получить закон кулона. Давайте проверим, правильно ли это? Ну, вот второй момент, такой, значит, как мы уже сказали, Еа равно вот этой величине, вот я и напишу, немножечко поменяв это всё. Значит, эээ, это будет 2 пи сигма, здесь будет 1 -, и возьмём и разделим это всё эээ, числитель и знаменатель вот в этой дроби на d. Тогда будет 1 на 1 -, и вот здесь будет 1 + r в квадрате на d в квадрате, это вполне, правильно до сих пор, а теперь мы можем устремить вот эту d к бесконечности, ну, то есть, сделать много большим R, смотрите во что это выливается. Вот если d много больше r, то тогда, эээ, вот, эээ, r в квадрате на d в квадрате - это будет маленькая величина, этот корень можно эээ, разложить, что называется, и тогда получится 2 пи сигма, вот буквально так напишу, эээ, это стремится к 2 пи сигма 1 - 1 - r в квадрате на 2d в квадрате. Ну, вот здесь будет плюс, конечно. Вот, эээ, при разложении. Эти единицы уходят и получается следующее: пи сигма, вот здесь r в квадрате поделить на 2d, уже не 2, а просто d в квадрате. Ну, вот пи r в квадрате на сигма - это и есть полный заряд этой площадки, то есть, заряд Q, допустим, поделить на d в квадрате. Мы получаем в самом деле закон Кулона уже в этой асимптотике. То есть, у нас при, ммм, ещё раз повторяю, при d много большем r, можно рассматривать эту площадку как просто точечный заряд. Вот вся задача решена во всех аспектах её.
