В роторе толщиной d, если одна обкладка заземлена,
а другая находится при потенциале φ0.
А пространство между обкладками заполнено объёмным зарядом ρ.
Давайте изобразим, как это выглядит.
Пусть у нас эта обкладка, левая,
она заземлена.
Вот мы её и отправим на землю, вот это земля, то есть потенциал её равен 0.
0.
А правая обкладка заряжена таким образом, что её потенциал φ0.
Ну вот, а здесь есть некое заполнение.
Объемная плотность ρ этого заряда.
Ну, толщина конденсатора — d.
Давайте введём ось x.
Её удобно сейчас ввести вот так, перпендикулярно.
И взять координату x = 0 вот здесь,
а это координата x = d вот здесь.
Вот. И повторяю, что же надо сделать.
Значит, вычислить распределение потенциала,
то есть φ(x) =?
В зависимости от x, если конденсатор, значит,
у нас одна обкладка заземлена, и сам конденсатор имеет толщину d,
значит, при этом эта обкладка находится при потенциале уже φ0,
то есть есть некий заряд на этой правой пластине.
Кроме всего прочего, внутри конденсатора есть объёмный заряд, однородный такой, ρ.
Ну, тут мы решали такую задачу,
что у нас вот распределение поля Е(x) такое,
вот его нарисуем сейчас.
Ну, просто 4π ρx,
при x< d/2.
Мы так это делали.
4πρx, при x<d/2.
Ну и либо > −d/2.
То есть внутри всё это, то есть вот такое распределение, я даже его нарисую.
Вот.
Напоминаю просто, это было.
Е(x), это 2πρd,
а здесь −2πρd.
Это d/2, и это тоже d/2.
−d/2.
Ну вот для удобства это как бы мы это знаем, из теоремы Гаусса это следует.
Вот для того чтобы решить эту задачу уже с распределением потенциала,
причем если бы не было конденсатора, то понятно,
что потенциал от поля = 0, и потенциал тоже можно считать равным 0,
откуда-то надо его отсчитывать, в центре этой полосы заряженной.
А здесь всё не так.
У нас здесь взят конденсатор, и вот объёмная плотность заряда,
о которой я только что сказал, и эта пластина заземлена.
То есть отсчет потенциала надо вести от левой пластины.
Значит, как здесь быть?
Удобнее всего сделать следующее: то есть сдвинуть вот
это Е(x) немножко по-другому записать,
сдвинув это всё на величину d/2.
Итак, значит, сдвижка,
сдвинем на d/2.
Таким образом, Е(x),
по сравнению вот с этим значением, которое здесь вот написано,
это есть 4πρ (x − d/2).
Ну это легко понять и проверить,
чему равно поле, на этих границах.
При x = 0, это будет −2πρd,
и при x = d, это будет 2πρd, ну то есть вот то же самое,
просто выражение сдвинуто на эту величину,
то есть проверка здесь проходит, вот просто проверяю.
При x = 0, значит, 2πρd,
и при x = d, будет то есть,
здесь минус, а при x = d, плюс 2πρd.
Вот теперь можно уже заняться и записью потенциала.
φ(x) подсчитывается как в данном случае.
− вот, даже двоеточие поставлю.
−Еdx.
Вот это как бы приращение этого потенциала,
то есть работа против электрического поля.
(работа против поля Е).
А вот теперь,
как только мы это написали, мы можем всё это и расписать.
φ(x) станет = — значит,
совершая эту работу как бы подсчитывая,
— −4π ρ (x/2
− d/2) x.
+ надо добавить еще (φ0 / d) x.
То есть проинтегрировать вот то, что у меня было записано 4πρx − d/2.
Интегрируем, получаем вот этот интеграл φ(x).
А вот это то, что нам даёт сам конденсатор,
(φ0 / d) x даст нам, так сказать, совершенно понятный ответ.
Таким образом, получается следующее.
Можно так написать (φ0 / d) x −
2πρ (x квадрат − dx).
Вот этот ответ.
Я здесь не стал писать, как я интегрирую, вот, потому что это достаточно прозрачно,
можно это всё в уме проделать, умножить вот это на dx,
интеграл от этого xdx будет x квадрат / 2.
Вот я это и сделал по существу.
А здесь d, просто поскольку dx, просто добавляется еще к этому d/2 x.
Вот тогда получилость вот такое соотношение.
Здесь же поле собственно самого конденсатора однородное,
ну оно только добавляется, поскольку это есть (φ0 / d) x,
в зависимости от x, нарастает то,
что у нас есть 0 вот в этой точке, и мы исходя от нее,
вот добавка поля заряженных пластин.
Добавляет нам вот ещё и этот член.
Он здесь будет положительным (φ0 / d) x.
Вот такая задача.
