Значит, мы с вами вот вчера начали рассматривать, на предыдущей лекции начали рассматривать задачу о вынужденных колебаниях в линейной системе. В линейных системах. Ну вот в качестве объекта, в качестве системы, которую мы начали рассматривать, мы выбрали очень важную для практики цепь, а именно последовательный колебательный контур. Вот я здесь нарисовал несколько картинок и привёл ряд формул, которые мы в прошлый раз получили, чтобы мы с вами вспомнили, чем мы занимались. Значит, вот это наша цепь. В эту цепь, состоящую из резистора, катушки индуктивности и конденсатора, включён внешний источник периодического напряжения вот, который характеризуется амплитудой E и частотой Ω. Вот мы ищем напряжение на конденсаторе как функцию времени. И вот, оказывается, что если мы напишем закон Ома, тогда после некоторых преобразований получаем вот такое уравнение для… Такое дифференциальное уравнение для получения, ну для определения функции V (t). Ну вот мы говорили с вами, что это уравнение неоднородное, поэтому его решение общее разбивается на две части. Вот я здесь нарисовал два таких прямоугольничка. Первый прямоугольничек означает общее решение однородного уравнения, а второй прямоугольничек означает частное решение неоднородного уравнения. И вот мы уже знаем, что общее решение однородного уравнения описывает собственный процесс, который происходит на собственной частоте. Вот он описывается вот такой функцией. Это, конечно, для случая, когда система является колебательной, это когда вот параметры таковы, что ω₀ > δ. Тогда в этом случае вот собственный процесс описывается вот такой функцией, это затухающая синусоида. Ну и вот если здесь неравенство сильное, то можно вместо ω писать ω₀, а ω₀, как, наверное, вы хорошо помните, равняется 1 / корень из Lc. Ну это вот первая часть. Это собственный процесс, процесс собственных колебаний. А вторая часть, она вот имеет… Мы искали решение, частное решение неоднородного уравнения вот в такой форме. В форме правой части уравнения — это колебание на частоте внешнего источника. И вот мы пришли к выводу таким искусственным путём, методом векторной диаграммы мы решение нашли, и оно оказалось вот таким. Вот амплитуда равняется... описывается вот такой функцией, а фаза этого процесса описывается вот такой функцией. Значит, вот это мы получили в прошлый раз, и теперь я хочу как бы ещё раз подчеркнуть, что вот первая часть называется собственным процессом. Это собственное колебание в такой системе. Если параметры нашей системы не подчиняются этому неравенству, то процесс может описываться каким-то затухающими экспонентами. А мы здесь рассматриваем хороший колебательный контур. Когда в нём возможно колебание, тогда вот такая функция описывает этот собственный процесс. А вот вторая часть называется вынужденным процессом. Вынужденный процесс всегда происходит на частоте внешнего источника. Видите, вот здесь стоит такая Ω. И вот, так сказать, характерные, так сказать, характеристики этого процесса, то есть амплитуда и фаза его выражаются вот такими функциями. Я вот здесь нарисовал две картинки, которые показывают общий ход этих зависимостей. На первой верхней картинке изображена такая функция отношения амплитуды вынужденных колебаний к амплитуде E входного сигнала. Это безразмерная величина, и вот она изображается вот таким графиком. Ну а на второй картинке изображена зависимость фазы вынужденных колебаний от частоты внешнего источника. Значит, вот давайте-ка мы остановимся сначала вот на этой картинке. Ну это вот и есть резонансная кривая. Эта резонансная кривая характеризуется некоторыми особенностями. Мы сейчас кое-что об этом скажем. Ну, например, если мы частоту внешнего источника будем стремить к нулю, то есть постепенно по этой оси абсцисс сдвигаться к началу координат, то вот отношение B / E стремится к единице. Вот здесь я поставил 1. Как раз вот с этого начинается подъём этой кривой. Но тут я хочу вас предупредить, что вот на этом графике мы изображаем вот отношение B / E, где B — амплитуда колебаний на конденсатор. Если б мы с вами интересовались колебаниями не на конденсаторе, а скажем, на резисторе, то вот эта кривая, она имела бы примерно такой вид, но уже вот, допустим, здесь не было бы единички, она начиналась бы с нуля. Но это естественно, если мы включим сюда источник постоянного напряжения, то есть Ω = 0, тогда, в случае конденсатора, всё это напряжение окажется на конденсаторе. А в случае если мы интересуемся напряжением на резисторе, то там получится ноль, потому что тока в цепи уже нет, да? Ну вот, значит, эта картинка относится к случаю, когда мы анализируем напряжение на конденсаторе. Ну вот, теперь, значит, вот если мы настроимся в резонанс, то есть если вот эта Ω, частота внешнего источника, будет равняться собственной частоте нашей колебательной системы, то вот эта часть под корнем обратится в ноль. Ну и тогда легко сообразить, что вот эта макушка, максимум вот этого отношения B / E будет равняться ω₀ / 2δ. Вот первая скобка равна нулю, если мы вытащим за корень, будет 2δΩ ω₀, потому что это как раз случай когда Ω = ω₀. Вот получается вот такое отношение. А это есть добротность. Ну вот мы… Почему это добротность, мы ещё пару слов скажем. Почему такой формулой выражается добротность, мы несколько слов скажем по этому вопросу. Ну вот такая вот характеристика, что максимум вот этой резонансной кривой равняется, численно равен добротности колебательной системы. Кстати, это один из способов определения добротности, и мы можем… Если бы эта кривая была вычерчена правильно, я не очень уверен, что тут у нас во всех отношениях правильно вычерчено. То мы бы сказали, что добротность такой системы это отношение вот этого отрезка к единице, да? Вот к этому отрезку, который равен единице. Ну это на глаз десятка, наверное, да? Ну а теперь, оказывается, что есть ещё один способ проверить, правильно ли мы нарисовали эту кривую. Вот это вообще резонансная кривая является несимметричной, и она как бы неограниченна, она справа асимптотически стремится к нулю, да? И, вообще, она несимметрична относительно ω₀. Но, такие кривые очень часто встречаются на практике, и, вообще, нужно иметь некоторый критерий определения ширины такой кривой, хотя понятно, что, так сказать, это условный будет критерий. И вот, оказывается, в радиотехнике удобно в качестве критерия ширины вот такого типа кривой, удобно взять её ширину на уроне 0,7. Вот это вот я нарисовал здесь этот уровень 0,7 от макушки, от Q, да? И вот если провести вот эти ординаты, и обозначить через ΔΩ расстройку относительно ω₀, то вот правый край — это будет ω₀ + ΔΩ, а левый край ω₀ − ΔΩ. Ещё раз скажу, что это не совсем правильно, потому, что даже в этой области кривая не совсем симметрична. Во втором приближение… Во втором порядке, наверное, уже это не совсем точно. Так вот ширина резонансной кривой это есть 2ΔΩ. А ширина на уровне 0,7. И вот эта 2ΔΩ называется либо полосой резонанса, значит, полоса на уровне 0,7. Давайте напишем так: П 0,7 = 2Δ Ω, да? Ну вот теперь мы можем сделать оценку. Что значит, что мы встали на уровень 0,7? Что изменилось, что здесь нужно изменить? Числитель-то постоянная величина, да? Для того, чтобы эта величина B упала, уменьшилась, вот стала равной 0,7 от максимального значения, значит, 0,7 — это единица на корень из двух, вот почему эта цифра такая характерная. Она удобна, потому что это единица на корень из двух. Ну и, стало быть, чтобы встать на этот уровень, нужно знаменатель увеличить в два раза. Тогда это будет корень из двух, да? По сравнению с чем? По сравнению с тем значением, которое этот знаменатель имеет в точке максимума, да? А в точке максимума вот этого члена нет, будет 4δΩ₀², да? Ну и вот нужно записать условие, что мы как бы изменили знаменатель так, что он стал в два раза больше, чем при значении ω₀. Вот давайте напишем это условие. Сейчас и посмотрим, что из этого получится. Значит нужно вот такое условие написать, что f (ω₀ + − ΔΩ) = 1 / корень из 2 от значения этой функции от ω₀. Вот такое условие написать нужно, да? А к чему это сводится? Это сводится к тому, что подкоренное выражение должно в два раза увеличиться. Вот я сейчас напишу это вот исходное соотношение. Вот значит, вот первое. Первый член в правой части, чему он будет равен? Вот давайте напишем. Я уж подсматривать буду, потому что длинная тут формула. Значит, он будет вот такой: ω₀² − (ω₀ + − ΔΩ)² и всё это в квадрате. Вот это я записал первый член. Предполагаю, что мы сделали расстройку ΔΩ либо вправо, либо влево, и вот такое получилось выражение. Это мы выписываем подкоренное выражение. Дальше +… Ну нужно вот 4δΩ² + 4δ² а Ω – это будет… Что же здесь будет такое? Это будет (ω₀ + − ΔΩ)², да? Понятно. Это вот мы записали значение знаменателя в том случае, если мы расстроились от частоты ω₀ на ΔΩ либо вправо, либо влево. И всё это должно равняться, вот это всё должно равняться 2, вот эту двойку я выпишу, двум значениям при резонансной частоте, то есть 2, а дальше будет 4δ² и ω₀². Вот это есть условие, которое определяет расстройку ΔΩ. Вот такое условие. Ну а дальше что делать? Нужно всё это расписать, что, конечно, не хочется здесь делать, да? Для этого поверите мне, что если мы всё-таки будем предполагать, что резонанс довольно узкий, что ΔΩ << ω₀. Тогда в результате вот из этого соотношения можно получить такое условие, что ΔΩ равняется вот этому коэффициенту затухания δ. И стало быть, полоса на уровне 0,7, она равняется… Вот равное 2ΔΩ, она равняется 2δ, и, стало быть, добротность, которую мы определили таким образом, это есть ω₀ / 2δ = ω₀ / полосу на уровне 0,7, да? То есть для того чтобы практически определить добротность вот имея в виду вот это рассуждение, нужно взять вот такое отношение. Нужно взять отношение ω₀ вот, то есть вот этот отрезочек на этом графике и поделить на вот такой отрезочек, да? Это будет 2ΔΩ. Это полоса на уровне 0,7. Ну и, стало быть, вот здесь, если по этому методу пытаться оценить добротность такой колебательно системы, то получается немножко другое число. Это говорит о том, что эта кривая нарисована не совсем точно. Ну сколько здесь? Какое отношение вот этот отрезок вот к такому отрезку? Ну примерно 6, да, наверное, 5–6, да? А в первом случае, сколько получилось у нас? Там если отношение взять вот этого отрезка вот к этому, то это получается тут что-то около десятки, да? Это вот как раз это говорит о том, что, наверное, кривая вычерчена не совсем правильно, оба же метода должны дать один и тот же результат, но тут вот от руки я нарисовал не совсем точно, наверное. Ребята, понимаете, вот эти два метода определения добротности по вот этой картинке, изображающей резонансную кривую. Ещё раз повторяю, что первый метод состоит в том, чтобы взять отношение вот этого отрезка к 1, вот к этому отрезку. Это будет добротность. А второй метод состоит в том, чтобы взять отношение от ω₀, то есть вот этого отрезка вот к ширине резонанса на уровне 0,7. Это как раз тоже есть добротность. Ну вот это должно, конечно, быть одно и то же. Если бы мы на компьютере это всё сделали, то, конечно, получилось бы такое согласие. Вот такая вот интересная особенность. Это резонансная кривая. Можете представить себе, что для контуров с высокой добротностью это, конечно, очень резкий пик, и вот это значение в максимуме достигает сотен, если добротность высокая. И получается очень узкий резонанс. Это вот особенность таких резонансных систем. Ну а на этом графике, который мы как бы особенно уж не будем обсуждать, это фазовая характеристика. Если первый график называется амплитудно-частотной характеристикой системы, амплитудно-частотная, ну, понятно, что это амплитуда, амплитуда в зависимости от частоты. То второй график, ну он покороче называется – просто фазовая характеристика и, как видите, при изменении Ω частоты внешнего источника фаза вынужденных колебаний, она изменяется. Причём вот в начале колебания на конденсаторе происходят в фазе с колебаниями внешнего источника, они колеблются в одной и то же фазе. А как только мы проходим через точку ω₀, то есть уходим за резонанс, тогда возникает колебание противофазное. Ну вот я не знаю, сумею ли я показать вам. Вот можно вынужденные колебания так уж совсем качественно изобразить вот с помощью вот такой колебательной системы, как этот физический маятник. Пока он висит, это вот собственный процесс, да? А как сделать вынужденные колебания? Нужно просто двигать вот, так сказать, точку подвеса по горизонтали, и вот вы увидите, что если я это делаю медленно, вот так вот, да? То рука моя движется в ту же сторону, что и маятник, да? Это вот они как бы в фазе колеблются. А если делать быстро, то есть частотой выше резонансной, то возникает противофазное колебание вот такое, да? Это вот противофазное. Ну вот на этом простом примере, понятно. Ну а на самом деле вот есть такой плавный переход. И самое важное, что в точке резонанса, когда частота внешнего источника равняется ω₀, и здесь возникает резонанс, то фазовый сдвиг равен −(π/2). Здесь вот знаки «−», у меня они еле убрались, поэтому отметьте здесь, да? −(π/2) это вот фазовый сдвиг при резонансе. Ну а сама эта вот кривая почти целиком лежит в области… Вот я даже пунктиром провёл вот эти вот края этого диапазона. Ну и видно, что наиболее резкое изменение как раз в этой области происходит. Ну вот, собственно говоря, вот что нужно знать об амплитудно-частотной и фазовой характеристиках вот нашей колебательной системы.
