А теперь мы переходим к другой задаче. Тоже будем рассматривать ту же самую систему, но только будем изучать вынужденные колебания в такой системе. И, значит, схема эта такая вот. Значит, вот мы снова нарисуем колебательную систему. Ну, скажем, вот у нас резистор, вот катушка индуктивности, это R, это L, вот это есть конденсатор с ёмкостью C, вот. И, значит, вот здесь есть некоторый источник синусоидального или гармонического напряжения. Мы будем считать, что этот источник, напряжение этого источника колеблется по закону E cosΩt. Заметьте, что я использую для обозначения частоты другую букву Ω, да? И вот в какой-то момент времени вот этот источник переменного напряжения подключается к колебательному контуру и там остаётся, потом мы уже не выключаем его. И стало быть, в этой системе теперь уже происходят не свободные колебания, а колебания, навязанные внешней, как говорят, периодической силой. Периодическим напряжением этого внешнего генератора. И вот мы должны эту задачу решить с вами. Ну как это делать? Ну надо по-прежнему написать закон Ома, поскольку цепь не имеет разветвлений. Ну и пытаться написать дифференциальное уравнение, решить его, ну и всю эту процедуру, что мы выполняли для случая свободных колебаний. Значит, напомню вам, что уравнение, вот оно теперь уже будет иметь такой вид: L * q с двумя точками + R * q с точкой + q / C равняется, теперь уже правая часть нулю не равна, потому что тут есть внешний источник, вот мы напишем E cos Ωt. Ну и с этим уравнением тоже нужно чего-то сделать, как бы причесать его. Во-первых, предлагается перейти от заряда ну, который как бы трудно измерять заряд на конденсаторе, давайте перейдём к напряжению. Для этого нужно просто все члены в этом уравнении поделить на C, да? Тогда перейдём к напряжению. А кроме того, поделим на L, чтобы старший производный был коэффициент равный единице. Если всё это сделать, тогда, естественно, правая часть будет… Нужно разделить на C и на L. Тогда получится вот такое выражение: V с двумя точками + 2δV с точкой + ω₀² * V = ω₀² (это 1 / LC, которая при преобразовании там как множитель возникли). Ну и ещё вот * E cos Ωt. Вот такое получилось дифференциальное уравнение, описывающее вынужденный процесс под действием гармонического сигнала. Ну это, с точки зрения математики, это неоднородное уравнение. Правая часть вот ω₀² * E * cos Ωt – это некая функция, заданная функция, зависящая от времени. Ну и вот, тут мы должны обратиться к математикам и как бы использовать тот рецепт, который нам математика предписывает. Нам нужно общее решение этого уравнения. Оказывается, согласно математике общее решение, вот я напишу так, в виде неких квадратиков. Ну я думаю, что вы уже много раз проходили. Значит, общее, давайте напишем так, общее решение неоднородного уравнения. Вот так я напишу, очень коротко написал. То что нам нужно. Оно, оказывается, может быть представлено в виде такой суммы: первый квадратик – это общее решение… Давайте я буду сокращённо. Общее решение однородного уравнения. Ну однородное уравнение нам хорошо известно. Нужно положить правую часть равную нулю, и тогда получится уравнение свободных колебаний, которое мы только что изучали, да? И плюс, здесь нужно ещё добавить сюда «плюс» вот ещё квадратик: частное решение, частное решение неоднородного уравнения. Вот такой рецепт. Ну вот этот квадратик № 1 вот давайте обозначим. Первое – это… Ну это решение мы знаем, это вот решение свободных, описывающих свободные колебания. Значит, если мы будем предполагать, что ω₀² > δ²… Ну так в дальнейшем будем выбирать такое соотношение между параметрами. Тогда 1, вот первое решение, то, что даёт нам первый квадратик, – это есть ну V = A * e в степени −δt, * cos ω₀t… (Давайте я буду прямо писать, не делать равенство между Ω и ω₀, как мы с вами и говорили, да?) и «плюс» некоторая фаза φ). Вот это первая часть. А вторая часть – что это такое? А вторая часть – нужно попытаться найти частное решение неоднородного уравнения. Ну сейчас вы увидите, что задача, вообще говоря, вот не очень приятная, потому что если никаких хитрых способов не применять… А с хитрыми способами мы познакомимся с вами в следующий раз, наверное, завтра на следующей лекции. А решать это уравнение «в лоб», тогда вот тут получается не очень всё хорошо, потому что рецепт, который даёт математика, нужно попытаться искать решение неоднородного уравнения, частное решение, в форме правой части. То есть нужно предположить, что V = B. А что такое правая часть? Это колебания какой-то амплитудой на частоте вот этой Ω, на частоте внешнего источника. Ясно, что в общем виде мы должны предположить, что эти колебания имеют ещё некоторую фазу + ψ какое-то. Вот в таком виде искать решение попытаться. Нам нужно найти вот эту амплитуду B и фазу ψ. Что для этого нужно сделать? Ну подставить в дифференциальное уравнение и пытаться из него найти B и ψ. В чём трудность вот такой процедуры? Трудность состоит в том, что когда мы будем подставлять вот этот такой предполагаемый вид решения в это уравнение, там, где вторая производная и там, где производная нулевого порядка, там косинус восстановится, да? А там, где первое производное, косинус превратится в синус. И короче говоря, у нас получится трансцендентное уравнение. Ну всё-таки мы его сможем с вами решить. Ну давайте будем эту процедуру выполнять. Значит, мы подставляем вот этот предполагаемый вид решения в уравнение. Тогда после дифференцирования, двукратного дифференцирования дважды выскочит частота вот этого Ω да ещё знак «−», и появится вот что: (ω₀² − Ω²). Я теперь уже объединяю первый и третий члены, да? А здесь восстановится сама эта функция B * cos (Ωt + ψ). Это вот первый и третий члены. А второй член даст −2δΩ. 2δ, да вот это Ω, второй член, да? Ну снова * B * sin вот этого аргумента (Ωt + ψ). Ну а правая часть пока останется неизменной, это будет ω₀² * E * cos Ωt. Вот такое вот получается уравнение. Это трансцендентное уравнение. А нам нужно найти B и ψ. Ну вот для того чтобы как бы показать, что всё-таки можно ухитриться и решить его, вот нужно познакомиться с методом ну, в общем, с изображением, с методом векторных диаграмм, с изображением колебаний в виде векторов. Вот самый простой способ. Давайте попробуем это сделать. Как это делается? Ну, во-первых, вот исходная… Пункт такой. Возьмём колебание частоты Ω. Будем рассматривать колебания одной и той же частоты Ω. Заметьте, что вот это соотношение связывает колебания только частоты Ω большое – частоты внешнего источника. Вот мы и будем рассматривать различные колебания этой самой частоты. Тогда вот такое колебание a на cos(Ωt + φ), допустим, вот я запишу. Это общая запись процесса такого вида, да? Давайте это колебание будем изображать в виде вектора, по следующему правилу. Ну вот мы нарисуем здесь горизонтальную ось, а вот здесь изобразим вот такой вектор, длина которого равняется амплитуде колебаний, да? А вот это вот положение – угол, отсчитываемый против часовой стрелки. Он равен фазе, вот это φ, да? Вот такой вектор. Но, если у нас два вектора есть, два таких колебания, то тогда их нужно изобразить точно по такому же правилу. Вот это будет у вас, скажем, а₁… Давайте я только поаккуратней. Вот это а₁, а вот это φ₁, а вот это, скажем, будет а₂, а вот этот угол будет φ₂, да? Ну и говорят, что вот колебание с амплитудой a₂ опережает по фазе колебание с амплитудой а₁. Вот когда вектор оказывается повёрнутым против часовой стрелки, то такое колебание, в теории колебаний, называется опережающим по фазе. Я эту оговорку сделал, и пока вы не поняли её смысла, потому что возможно и по-другому поступать, можно другое правило ввести. И, к сожалению, в оптике так делается, там противоположное правило. Но придётся нам с вами с этим смириться, да? Ну здесь, значит, вот колебание с амплитудой а₂ и фазой φ₂ по фазе опережает это вот колебание с амплитудой а₁ и фазой φ₁. Ну и, стало быть, если у нас есть некоторое соотношение, некоторое уравнение, связывающее разные колебания одной и той же частоты, то, очевидно, мы должны получить какую-то замкнутую фигуру, да? То есть вектор, описывающий сумму колебаний в левой части должен быть равен вектору, описывающему колебание, которое находится в правой части, да? Вот это есть векторная… Картинка, которая при этом получится, называется векторной диаграммой. Ну так вот, давайте обратим внимание с вами, что по правилу мы должны вот записывать колебания только вот в таком виде, через косинус. Все колебания, которые мы собираемся изображать на векторной диаграмме, мы должны записать через косинус с каким-то аргументом. Ну, естественно, что вот здесь неприятный член вот такой вот, да? Но мы можем перевести это выражение −sin, вот аргумент Ωt + ψ записать через косинус, но с другим аргументом, сдвинутым по фазе. На сколько? На π пополам. То есть можно написать вот такую вещь, что −sin(Ωt + ψ) = cos(Ωt + ψ + π/2). То есть вот такой, значит, вот здесь получается дополнительный фазовый сдвиг, фазовый угол π пополам, и такой вектор, по отношению к колебанию cos(Ωt + ψ). Как он повёрнут на векторной диаграмме? Он повёрнут против часовой стрелки на угол π пополам, да? Ну вот, стало быть, вот это колебание по отношению к этому, да? Должно изображаться вектором, повёрнутым на 90 градусов против часовой стрелки. Ну и, стало быть, вот теперь уже мы окончательно нарисуем эту векторную диаграмму, которая и позволит нам решить эту проблему. По существу, это уравнение, это трансцендентное уравнение. Вот сейчас мы с вами попробуем это сделать. Значит, мы изобразим ну, прежде всего, правую часть, да? Правая часть будет описываться каким-то вектором, вот я нарисую его. Его, по предположению, начальная фаза этого колебания, которое у нас находится, стоит в правой части, начальная фаза равна 0, поэтому вектор будет изображаться, он лежать будет горизонтально. Длина этого вектора будет равняться ω₀² * E. А два вектора, которые изображают колебания вот в левой части, обязательно должны образовывать прямой угол между ними. Причем второй вектор колебания, который вот здесь изображается этим членом, соответствующий вектор должен повернут на угол 90 градусов против часовой стрелки. И короче говоря, вот мы получаем вот такую диаграмму. Вот обязательно вот здесь должен быть угол прямой. Вот это вот прямой угол. А вот это вектор, который имеет амплитуду 2δΩB, да? Вот такая амплитуда у этого колебания, 2δΩB. А вот этот вектор имеет амплитуду (ω₀² − Ω²) и ещё умножить нужно на B, да? Вот такая вещь, вот на B ещё умножим. А вот этот угол, это угол между чем и чем? Это вот угол ψ, это колебания, это фазовый угол ψ, который мы тоже должны искать. Вот он оказался отрицательным, да? Вот, собственно, этот треугольник, который мы получили, используя представление колебаний в виде векторов. Этот треугольник позволяет нам с помощью теоремы Пифагора решить наше трансцендентное уравнение. Вот мы запишем решение, которое здесь получается. Значит, ну прежде всего, давайте запишем для B. Ну B... Величине B пропорциональны длины этих двух векторов, это катеты, длины катетов, да? Поэтому получится, что B будет равняться… Что же тут получится у нас? Значит, ну ω₀² * E, а внизу, в соответствии с теоремой Пифагора получится вот такой корень из (ω₀² − Ω²), всё это будет в квадрате, и + 4δ² Ω². Вот получится вот такое вот выражение для амплитуды вынужденных колебаний. Для амплитуды вот этого частного решения неоднородного уравнения. Ну я, наверное, вам ещё не сказал, а это как раз и есть то, что называется вынужденными колебаниями. Вот это выражение и называется вынужденным колебательным процессом. Ну а ψ, очевидно, вот ψ, очевидно, равняется −arctg… Ну что здесь будет? 2δΩ / (ω₀² − Ω²). Вот вам решение. Вот таким образом мы получили такое решение окончательное, используя метод векторной диаграммы. Ну и вот первый... вот это первая формула, она очень замечательная, потому что эта формула описывает резонансы. Вот давайте обведём безразмерное отношение, ну скажем, какое-то f, = B / E. Это отношение амплитуды колебания на конденсаторе к амплитуде входного сигнала. Получится такая формула, я её напишу сейчас. Ну она, собственно, повторяет почти вот то, что уже было написано, но вот давайте ещё раз напишем. Здесь стоить (ω₀² − Ω²) в квадрате и + 4δ² Ω². Вот эта формула носит название амплитудно-частотной характеристики. В каком смысле? Она показывает, выражает изменения амплитуды в зависимости от частоты внешнего источника. Вот от частоты внешнего источника. Амплитуда напряжения на конденсаторе в зависимости от напряжений. Амплитудно-частотная характеристика.
