В курсе рассматриваются применения закона электромагнитной индукции и базовые закономерности колебаний в электрических цепях. Студенты познакомятся с описанием свободных и вынужденных колебаний, квазистационарных процессов, получат представление о спектральном разложении и принципах работы параметрических и автоколебательных систем. Учебный материал основан на лекциях и семинарах по общей физике, читаемых студентам МФТИ в третьем семестре. Лекционный материал сопровождается наглядными демонстрациями. Для закрепления знаний и получения навыков решения задач в конце каждой недели студентам предлагается решить проверочные задания в виде теста и четырех задач. Итоговая контрольная работа помимо основного блока заданий содержит задачи повышенной сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ на семестровых контрольных работах.
Лекция 3.1. Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Переходные процессы в электрических цепях
3 оценки
Из урока
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Резонанс. Амплитудная и фазовая характеристики колебательного контура. Векторные диаграммы. Переходные процессы. Биения. Комплексная форма представления колебаний. Правила Кирхгофа для переменных токов. Работа и мощность переменного тока.
Познакомьтесь с преподавателями
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
А теперь мы переходим к другой задаче.
Тоже будем рассматривать ту же самую систему,
но только будем изучать вынужденные колебания в такой системе.
И, значит, схема эта такая вот.
Значит, вот мы снова нарисуем колебательную систему.
Ну, скажем, вот у нас резистор, вот катушка индуктивности,
это R, это L, вот это есть конденсатор с ёмкостью C, вот.
И, значит, вот здесь есть некоторый источник
синусоидального или гармонического напряжения.
Мы будем считать, что этот источник,
напряжение этого источника колеблется по закону E cosΩt.
Заметьте, что я использую для обозначения частоты другую букву Ω, да?
И вот в какой-то момент времени вот этот источник
переменного напряжения подключается к колебательному
контуру и там остаётся, потом мы уже не выключаем его.
И стало быть, в этой системе теперь уже происходят не свободные колебания,
а колебания, навязанные внешней, как говорят, периодической силой.
Периодическим напряжением этого внешнего генератора.
И вот мы должны эту задачу решить с вами.
Ну как это делать?
Ну надо по-прежнему написать закон Ома, поскольку цепь не имеет разветвлений.
Ну и пытаться написать дифференциальное уравнение, решить его,
ну и всю эту процедуру, что мы выполняли для случая свободных колебаний.
Значит, напомню вам, что уравнение, вот оно теперь уже
будет иметь такой вид: L * q с двумя точками
+ R * q с точкой + q / C равняется,
теперь уже правая часть нулю не равна, потому что тут есть внешний источник,
вот мы напишем E cos Ωt.
Ну и с этим уравнением тоже нужно чего-то сделать, как бы причесать его.
Во-первых, предлагается перейти от заряда ну, который как
бы трудно измерять заряд на конденсаторе, давайте перейдём к напряжению.
Для этого нужно просто все члены в этом уравнении поделить на C, да?
Тогда перейдём к напряжению.
А кроме того, поделим на L,
чтобы старший производный был коэффициент равный единице.
Если всё это сделать, тогда, естественно,
правая часть будет… Нужно разделить на C и на L.
Тогда получится вот такое выражение: V с двумя точками +
2δV с точкой +
ω₀² *
V = ω₀² (это 1 / LC,
которая при преобразовании там как множитель возникли).
Ну и ещё вот * E cos Ωt.
Вот такое получилось дифференциальное уравнение,
описывающее вынужденный процесс под действием гармонического сигнала.
Ну это, с точки зрения математики, это неоднородное уравнение.
Правая часть вот ω₀² * E * cos Ωt – это некая функция,
заданная функция, зависящая от времени.
Ну и вот, тут мы должны обратиться к математикам и как бы использовать
тот рецепт, который нам математика предписывает.
Нам нужно общее решение этого уравнения.
Оказывается, согласно математике общее решение,
вот я напишу так, в виде неких квадратиков.
Ну я думаю, что вы уже много раз проходили.
Значит, общее, давайте напишем так, общее решение
неоднородного уравнения.
Вот так я напишу, очень коротко написал.
То что нам нужно.
Оно, оказывается, может быть представлено в виде такой суммы: первый
квадратик – это общее решение… Давайте я буду сокращённо.
Общее решение однородного уравнения.
Ну однородное уравнение нам хорошо известно.
Нужно положить правую часть равную нулю, и тогда получится
уравнение свободных колебаний, которое мы только что изучали, да?
И плюс, здесь нужно ещё добавить сюда «плюс»
вот ещё квадратик: частное решение,
частное решение неоднородного уравнения.
Вот такой рецепт.
Ну вот этот квадратик № 1 вот давайте обозначим.
Первое – это… Ну это решение мы знаем,
это вот решение свободных, описывающих свободные колебания.
Значит, если мы будем предполагать, что ω₀² > δ²… Ну
так в дальнейшем будем выбирать такое соотношение между параметрами.
Тогда 1, вот первое решение,
то, что даёт нам первый квадратик,
– это есть ну V = A * e в степени −δt,
* cos ω₀t… (Давайте я буду прямо писать, не делать
равенство между Ω и ω₀, как мы с вами и говорили, да?) и «плюс» некоторая фаза φ).
Вот это первая часть.
А вторая часть – что это такое?
А вторая часть – нужно попытаться найти частное решение неоднородного уравнения.
Ну сейчас вы увидите, что задача, вообще говоря, вот не очень приятная,
потому что если никаких хитрых способов не применять… А с хитрыми способами мы
познакомимся с вами в следующий раз, наверное, завтра на следующей лекции.
А решать это уравнение «в лоб», тогда вот тут получается не очень всё хорошо,
потому что рецепт, который даёт математика, нужно попытаться искать
решение неоднородного уравнения, частное решение, в форме правой части.
То есть нужно предположить, что V = B.
А что такое правая часть?
Это колебания какой-то амплитудой на
частоте вот этой Ω, на частоте внешнего источника.
Ясно, что в общем виде мы должны предположить,
что эти колебания имеют ещё некоторую фазу + ψ какое-то.
Вот в таком виде искать решение попытаться.
Нам нужно найти вот эту амплитуду B и фазу ψ.
Что для этого нужно сделать?
Ну подставить в дифференциальное уравнение и пытаться из него найти B и ψ.
В чём трудность вот такой процедуры?
Трудность состоит в том, что когда мы будем подставлять вот этот такой
предполагаемый вид решения в это уравнение, там, где вторая производная
и там, где производная нулевого порядка, там косинус восстановится, да?
А там, где первое производное, косинус превратится в синус.
И короче говоря, у нас получится трансцендентное уравнение.
Ну всё-таки мы его сможем с вами решить.
Ну давайте будем эту процедуру выполнять.
Значит, мы подставляем вот этот предполагаемый вид решения в уравнение.
Тогда после дифференцирования, двукратного дифференцирования
дважды выскочит частота вот этого Ω да ещё знак «−»,
и появится вот что: (ω₀² − Ω²).
Я теперь уже объединяю первый и третий члены, да?
А здесь восстановится сама эта функция B * cos (Ωt + ψ).
Это вот первый и третий члены.
А второй член даст −2δΩ.
2δ, да вот это Ω, второй член, да?
Ну снова * B * sin вот этого
аргумента (Ωt + ψ).
Ну а правая часть пока останется
неизменной, это будет ω₀² * E * cos Ωt.
Вот такое вот получается уравнение.
Это трансцендентное уравнение.
А нам нужно найти B и ψ.
Ну вот для того чтобы как бы показать, что всё-таки можно ухитриться и решить его,
вот нужно познакомиться с методом ну, в общем, с изображением,
с методом векторных диаграмм, с изображением колебаний в виде векторов.
Вот самый простой способ.
Давайте попробуем это сделать.
Как это делается?
Ну, во-первых, вот исходная… Пункт такой.
Возьмём колебание частоты Ω.
Будем рассматривать колебания одной и той же частоты Ω.
Заметьте, что вот это соотношение связывает колебания
только частоты Ω большое – частоты внешнего источника.
Вот мы и будем рассматривать различные колебания этой самой частоты.
Тогда вот такое колебание a на cos(Ωt + φ), допустим, вот я запишу.
Это общая запись процесса такого вида, да?
Давайте это колебание будем изображать в виде вектора, по следующему правилу.
Ну вот мы нарисуем здесь горизонтальную ось,
а вот здесь изобразим вот такой вектор,
длина которого равняется амплитуде колебаний, да?
А вот это вот положение – угол, отсчитываемый против часовой стрелки.
Он равен фазе, вот это φ, да?
Вот такой вектор.
Но, если у нас два вектора есть, два таких колебания,
то тогда их нужно изобразить точно по такому же правилу.
Вот это будет у вас, скажем, а₁… Давайте я только поаккуратней.
Вот это а₁, а вот это φ₁, а вот это, скажем,
будет а₂, а вот этот угол будет φ₂, да?
Ну и говорят, что вот колебание с амплитудой a₂
опережает по фазе колебание с амплитудой а₁.
Вот когда вектор оказывается повёрнутым против часовой стрелки,
то такое колебание, в теории колебаний, называется опережающим по фазе.
Я эту оговорку сделал, и пока вы не поняли её смысла,
потому что возможно и по-другому поступать, можно другое правило ввести.
И, к сожалению, в оптике так делается, там противоположное правило.
Но придётся нам с вами с этим смириться, да?
Ну здесь, значит, вот колебание с амплитудой а₂ и фазой φ₂ по
фазе опережает это вот колебание с амплитудой а₁ и фазой φ₁.
Ну и, стало быть, если у нас есть некоторое соотношение,
некоторое уравнение, связывающее разные колебания одной и той же частоты, то,
очевидно, мы должны получить какую-то замкнутую фигуру, да?
То есть вектор, описывающий сумму колебаний в левой части должен быть
равен вектору, описывающему колебание, которое находится в правой части, да?
Вот это есть векторная… Картинка, которая при этом получится,
называется векторной диаграммой.
Ну так вот, давайте обратим внимание с вами, что по правилу
мы должны вот записывать колебания только вот в таком виде, через косинус.
Все колебания, которые мы собираемся изображать на векторной диаграмме,
мы должны записать через косинус с каким-то аргументом.
Ну, естественно, что вот здесь неприятный член вот такой вот, да?
Но мы можем перевести это выражение −sin,
вот аргумент Ωt + ψ записать через косинус,
но с другим аргументом, сдвинутым по фазе.
На сколько?
На π пополам.
То есть можно написать вот такую вещь, что −sin(Ωt + ψ)
= cos(Ωt +
ψ + π/2).
То есть вот такой, значит, вот здесь получается
дополнительный фазовый сдвиг, фазовый угол π пополам, и такой вектор,
по отношению к колебанию cos(Ωt + ψ).
Как он повёрнут на векторной диаграмме?
Он повёрнут против часовой стрелки на угол π пополам, да?
Ну вот, стало быть, вот это колебание по отношению к этому, да?
Должно изображаться вектором, повёрнутым на 90 градусов против часовой стрелки.
Ну и, стало быть, вот теперь уже мы окончательно нарисуем эту
векторную диаграмму, которая и позволит нам решить эту проблему.
По существу, это уравнение, это трансцендентное уравнение.
Вот сейчас мы с вами попробуем это сделать.
Значит, мы изобразим ну, прежде всего, правую часть, да?
Правая часть будет описываться каким-то вектором, вот я нарисую его.
Его, по предположению, начальная фаза этого колебания,
которое у нас находится, стоит в правой части, начальная фаза равна 0,
поэтому вектор будет изображаться, он лежать будет горизонтально.
Длина этого вектора будет равняться ω₀² * E.
А два вектора, которые изображают колебания вот в левой части,
обязательно должны образовывать прямой угол между ними.
Причем второй вектор колебания, который вот здесь изображается этим членом,
соответствующий вектор должен повернут на угол 90 градусов против часовой стрелки.
И короче говоря, вот мы получаем вот такую диаграмму.
Вот обязательно вот здесь должен быть угол прямой.
Вот это вот прямой угол.
А вот это вектор, который имеет амплитуду
2δΩB, да?
Вот такая амплитуда у этого колебания, 2δΩB.
А вот этот вектор имеет амплитуду (ω₀²
− Ω²) и ещё умножить нужно на B, да?
Вот такая вещь, вот на B ещё умножим.
А вот этот угол, это угол между чем и чем?
Это вот угол ψ, это колебания,
это фазовый угол ψ, который мы тоже должны искать.
Вот он оказался отрицательным, да?
Вот, собственно, этот треугольник, который мы получили,
используя представление колебаний в виде векторов.
Этот треугольник позволяет нам с помощью теоремы Пифагора
решить наше трансцендентное уравнение.
Вот мы запишем решение, которое здесь получается.
Значит, ну прежде всего, давайте запишем для B.
Ну B...
Величине B пропорциональны длины этих двух векторов, это катеты, длины катетов, да?
Поэтому получится, что B будет равняться…
Что же тут получится у нас?
Значит, ну ω₀² * E, а внизу,
в соответствии с теоремой Пифагора получится вот такой корень
из (ω₀² − Ω²),
всё это будет в квадрате, и + 4δ² Ω².
Вот получится вот такое вот выражение для амплитуды вынужденных колебаний.
Для амплитуды вот этого частного решения неоднородного уравнения.
Ну я, наверное, вам ещё не сказал, а это как раз и есть то,
что называется вынужденными колебаниями.
Вот это выражение и называется вынужденным колебательным процессом.
Ну а ψ, очевидно, вот ψ, очевидно,
равняется −arctg… Ну что здесь будет?
2δΩ / (ω₀² − Ω²).
Вот вам решение.
Вот таким образом мы получили такое решение окончательное,
используя метод векторной диаграммы.
Ну и вот первый...
вот это первая формула, она очень замечательная,
потому что эта формула описывает резонансы.
Вот давайте обведём безразмерное отношение, ну скажем, какое-то f,
= B / E.
Это отношение амплитуды колебания на конденсаторе
к амплитуде входного сигнала.
Получится такая формула, я её напишу сейчас.
Ну она, собственно, повторяет почти вот то,
что уже было написано, но вот давайте ещё раз напишем.
Здесь стоить (ω₀² − Ω²) в
квадрате и + 4δ² Ω².
Вот эта формула носит название амплитудно-частотной характеристики.
В каком смысле?
Она показывает, выражает изменения амплитуды
в зависимости от частоты внешнего источника.
Вот от частоты внешнего источника.
Амплитуда напряжения на конденсаторе в зависимости от напряжений.
Амплитудно-частотная характеристика.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
