Энергетические соотношения. Ну давайте запишем исходное уравнение. Оно вот описывается так: Lq с двумя точками + Rq с точкой + q / c = 0. Вот такое вот уравнение, где вот первый член, содержащий вторую производную, это перенесённое в левую часть... Из правой части в левую часть ЭДС самоиндукции. Ну и вот уже, когда этот член находится в левой части, то его называют напряжением на катушке индуктивности, да? Ну я, кстати, позабыл вам напомнить, сейчас вот здесь напишу, что все формулы мы договорились выписывать в системе СИ. Ну причина здесь такая: во-первых, удобные масштабы измерения, это вольты, там, амперы и так далее. А вторая причина, что мы изгнали из формул электродинамическую константу. Она буквой C обозначается, и вполне возможно... И обязательно перепуталась бы с обозначением ёмкости конденсатора, да? Обязательно где-то мы с вами бы эти обозначения перепутали. Вот в системе СИ так и записывается формула. Ну так вот. Если мы с вами проделаем некоторые тут манипуляции. Давайте-ка умножим все члены на q с точкой. Тогда получится здесь в первом члене будет q сточкой на q с двумя точками. точками. Во втором члене будет q сточкой квадрат, а в третьем q на q сточкой, да? И, короче говоря, вот можно перепивать вот это выражение, то, что получится, вот в таком виде: «минус» вот здесь напишем... Здесь будет Lq q сточкой квадрат / 2 + q-квадрат / 2C, вот такое вот, да? А здесь будет равняться R на q с точкой квадрат ну на dt, вот так можно записать вот это соотношение, которое совершенно очевидно представляет собой энергетическое соотношение. Смысл очень простой. Вот в этой скобке вот здесь слева стоит запасённая энергия. Кстати, обращаю внимание, что вот первый член (Lq с точкой квадрат / 2) – это вот как раз и есть энергия, запасённая в катушке, но выраженная в системе СИ. Если бы это была гауссовая система, то как бы выражалась энергия, запасённая в катушке? Чем бы отличалась? Здесь бы стоял коэффициент C², да? Вот здесь. Но вот это выражение для... Записано в системе СИ. Вот имеет такой вид. Значит, это вот есть W электромагнитное, да? А в правой части стоит R на q с точкой квадрат и на dt, это есть джоулевое тепло, которое выделяется за время dt, да? Поэтому мы можем с вами записать вот такое выражение, чтобы... Ну, если теперь... Ну вот мы... Давайте проинтегрируем это всё в пределах от некоторого t до t + T, вот по dt, да? Ну, естественно, это правую часть, а левую часть, соответственно, в пределах соответствующих изменений вот этой электромагнитной энергии. Так вот мы получим вот что, будет вот что: W(t) − W... я уже не буду писать индексы здесь, W(t + T) будет равняться... ну а вот здесь будет находиться интеграл от t до (t + T), ну вот q с точкой квадрат, а R мы вынесем сюда, на dt. Я сейчас буду... Я так эту формулу написал в таком ещё виде как бы недоделанном, да? Это полуфабрикат такой. Сейчас мы будем эту формулу немножко прямо на месте немножко изменять. Вот я предлагаю сделать вот такую вещь: значит, давайте вот умножим здесь подинтегральное выражение на L, и здесь, а зато здесь поделим на L. Ну теперь ещё давайте вот здесь внесём двойку в знаменателе, тогда вот здесь двойку нужно внести, да? Ну и ещё последнее, что предлагается сделать, вот давайте напишем вот здесь ещё (1 / T). А на T тогда придётся умножить, вот тут T появится, да? И вот теперь я выделяю в скобки вот это выражение. Что же это такое получилось? Это получилось проинтегрированное за один период выражение для магнитной энергии катушки, причём поделённое на... Как раз на время, на интервал интегрирования. Это среднее значение магнитной энергии за период. Вот в скобках стоит вот такое выражение. Ну и значит, это равняется 2RT / L, а здесь будет среднее значение магнитной энергии за период T. Вот такое выражение. Ну а дальше, следующий шаг состоит в том, чтобы вспомнить, что в колебательных системах вот, допустим, механических, средняя кинетическая энергия за период равняется средней потенциальной энергии за период, да? Поэтому, вместо того чтобы в правой части писать вот... Писать вот среднюю энергию магнитную за один период, я напишу... Я возьму напишу две средних энергии магнитных, а это есть полная энергия в системе, да? Вот мы напишем такое выражение. Это будет RT / L, а здесь будет стоять уже энергия, запасённая в системе в данный момент времени, вот тут можно написать аргумент – время, да? Вот так мы... Значит, разница между полными энергиями в момент времени t и в момент времени (t + T) оказывается пропорциональна запасённой энергии. А стало быть, мы можем сейчас записать вот такое выражение, сейчас я напишу его. Значит, мы можем написать вот такой, вот здесь, формула очень важная, я её напишу здесь. Значит, W(t) / W(t) − W(t + T) Значит, энергия, деленная на убыль энергии за период, да? Чему это будет равняться? Это будет равняться... Ну-ка давайте сообразим. Значит, я делю... Значит, это будет L поделённое... L / RT, да? Значит, вот такая вещь. Ну теперь мы можем с вами сообразить, что, если бы здесь вот написать 2 и здесь 2, то что такое R / 2L? R / 2L – это вот есть... Где это у нас... Вот R / 2L – это коэффициент затухания, да? Поэтому написать можно вот таким вот образом. Это есть 1 / 2δT, да? На 2δT. Ну а ещё вспомнить нужно, что добротность равняется, вот здесь тоже такая формула уже была написана, ну напишем Добротность равнятся π / δT, да? Поэтому вот вместо δT можно подставить, ну я вам так напишу, если я вместо δT подставлю π / Q, значит, δT заменю на π / Q, вот тогда что ж получится? Здесь получится Q / 2π, да? Вот такая... Это вот окончательная формула. И отсюда следует вот формула, которую я сейчас напишу, она чрезвычайно важна и относится к любой колебательной системе. Если в системе возможны колебания, то можно охарактеризовать добротность, исходя вот из такого энергетического соотношения. Я сейчас эту формулу напишу. Вот она имеет такой вид: значит, Q = 2π, вот появляется этот коэффициент 2π, а здесь вот такое отношение, запас энергии... Запас энергии в системе. А в знаменателе стоит, вот я напишу так: потеря энергии за период... за период T. Вот это и есть энергетическое определение добротности. На самом деле, оно, конечно, гораздо более важное, чем то формальное, которое мы в самом начале как бы вот использовали: π / δT – это очень формальная введённая величина. А на самом деле это вот такая. Ну запас энергии поделённый на потерю энергии за период, ну и с коэффициентом ещё 2π. Ну вот, по-видимому, здесь уже закончился первый урок, давайте сделаем маленький перерыв, а потому я вам покажу некоторые демонстрации, связанные с рассмотрением этой задачи.
