В курсе рассматриваются применения закона электромагнитной индукции и базовые закономерности колебаний в электрических цепях. Студенты познакомятся с описанием свободных и вынужденных колебаний, квазистационарных процессов, получат представление о спектральном разложении и принципах работы параметрических и автоколебательных систем. Учебный материал основан на лекциях и семинарах по общей физике, читаемых студентам МФТИ в третьем семестре. Лекционный материал сопровождается наглядными демонстрациями. Для закрепления знаний и получения навыков решения задач в конце каждой недели студентам предлагается решить проверочные задания в виде теста и четырех задач. Итоговая контрольная работа помимо основного блока заданий содержит задачи повышенной сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ на семестровых контрольных работах.
7. Переходный процесс в LR-цепи
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Переходные процессы в электрических цепях
3 оценки
Explore Related Videos
At Coursera, you will find the best lectures in the world. Here are some of our personalized recommendations for you
Из урока
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Резонанс. Амплитудная и фазовая характеристики колебательного контура. Векторные диаграммы. Переходные процессы. Биения. Комплексная форма представления колебаний. Правила Кирхгофа для переменных токов. Работа и мощность переменного тока.
Познакомьтесь с преподавателями
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Задача 10.4.
Значит речь пойдет
о переходном процессе в LR цепочке,
подключенной к источнику синусоидальной ЭДС.
Значит к источнику синусоидальной ЭДС,
вот я его рисую, вот через ключ
подключается RL цепь.
Последовательно соединенная катушка
индуктивности L и резистор R, вот подключается.
Значит E (t)
= E₀ * cos (ωt + φ).
Где φ — это некая начальная фаза.
И вот в момент t = 0 включается вот такое напряжение.
Вот.
Найти силу тока, как будет зависеть сила тока от φ.
Это задача непростая.
Поэтому начнем сразу как бы
обсуждать в чем же ее непростота.
Дело в том, что здесь,
вот когда мы начнем реализовывать как бы, это переходный процесс,
но включение уже синусоидальной
ЭДС и уравнение этих колебаний,
оно будет иметь свою специфику.
Вот какую, мы сейчас увидим.
Давайте напишем это уравнение E − L
dI / dt должно быть равно
падению напряжения на активных сопротивлениях этого контура.
Значит это, вот это ЭДС E (t).
Это ЭДС самоиндукции этой катушки, направленной навстречу этой ЭДС + IR.
Ну это вот совершенно понятный закон, ну или Кирхгофа, правило Кирхгофа.
Как его переписать?
Давайте его перепишем.
L dI / dt + IR и вот здесь
как бы правая часть этого дифференциального уравнения E₀
cos (ωt + φ).
Ну как его решать?
Частное решение надо подбирать,
но поскольку в момент времени t = 0 частное решение,
это решение при t стремящимся к ∞.
Когда уже все переходные процессы в этой цепи закончились.
Это частное решение.
Оно выбирается, понятно, что надо выбрать что-то типа косинусов.
Но здесь возникает сложность.
Когда вы продифференцируете этот ток,
то здесь возникнет синус и поэтому задача становится сразу непростой.
Вот.
Что касается переходных процессов их определяет
однородное решение этого уравнения.
Что такое однородное уравнение?
Это с нулевой правой частью.
Общее решение этого уравнения есть сумма
однородного и частного уравнения дифференциального.
Которое и представляет себе развернутое во времени,
начиная с t = 0, все, что произойдет в этой цепи.
Значит повторяю, однородное — это переходный процесс,
частное решение — это на достаточном удалении от,
то есть изымаем переходный процесс.
Ну вот давайте сначала однородным уравнением.
Итак, однородное уравнение,
однородное уравнение,
ну напишу его.
L dI / dt + IR = 0.
Ну тут решать-то нечего.
I (t) вот этого однородного уравнения,
это есть некая A * e в степени − Rt / L.
Ну да, оно удовлетворяет этому уравнению, это экспонента.
Константа A, откуда ее взять?
Константу A надо брать из начальных условий.
Если вы сейчас попытаетесь взять начальные условия, то у нас ничего не получится.
Дело в том, что начальные-то условия диктуются еще наличием частного решения,
то есть надо общее решение взять при t = 0.
Только тогда мы получим, ну правильно выразим эту константу.
Поэтому пока что оставляем это, вот однородное уравнение и
приступаем к решению, значит, общего уравнения.
Ну начальное это условие какое...
для решения всего этого дела?
Нахождение константы A следующее: I общее, вот я пишу,
общее от 0 = 0.
То есть при t = 0, общий ток,
общего, I общее — это общее решение уравнения, однородное плюс частное = 0.
Только так мы можем найти эту константу A.
Ну пока у нас нет частного решения.
Частное решение, вот так сходу,
с помощью вот гармонических функций, не возьмется.
Удобно использовать метод комплексных амплитуд или комплексных, если угодно.
Для этого, как это сделать?
Надо перейти в область,
комплекснозначную область, комплексную, вот такую.
Смотрите, если нам задана вот эта функция E₀ cos (ωt + φ).
Значит мы, если я возьму вот такое E со шляпкой,
это некое E₀ *
e в степени i (ωt + φ) — это комплекснозначная.
Вот можно всегда взять действительную часть от этого выражения,
вот от этого, это будет в соответствии с формулой Эйлера,
это будет E₀ * cos (ωt + φ), φ — начальная фаза.
Таким образом, если я вместо вот этой,
вот этой вот тригонометрической функции,
возьму более общую, вот такую E со шляпкой,
которая есть E₀ * e в степени i (ωt + φ).
То есть перейду в область комплексных функций,
то тогда надо просто, тут все константы кроме токов.
Вот это уравнение, вот это уравнение перепишется таким
образом: L значит ну dI со
шляпкой по dt + RI
со шляпкой = E₀ * e в
степени i (ωt + φ).
То есть перешли в комплексную область и сразу
работа с экспонентами уже намного проще,
чем с тригонометрическими функциями.
А вернуться к тригонометрическим функциям мы всегда успеем.
Итак, значит поиск частного решения совершенно очевиден.
Отсюда I вот это со шляпкой, это есть некое I₀ со
шляпкой на e в степени i (ωt + φ).
Значит частное решение надо искать вот в таком виде.
Ну понятно, что I с точкой, вот со шляпкой,
это будет I₀, ибо это есть комплексное число, но какое-то, мы не знаем какое,
iω после дифференцирования на e в степени опять‐таки i(ωt + φ).
Вот теперь мы эту производную по времени
подставим в наше уравнение и найдем по
существу частное решение его просто более точно определим.
Итак, что у меня получается.
LI₀ iω
e в степени i(ωt + φ)
+ RI₀
* e в степени i(ωt + φ)
= E₀ * e в степени i(ωt + φ).
Ну совершенно понятно,
что подстановка удачная, успешная.
Экспонента, зависящая от времени, у нас сократилась,
значит действительно удовлетворяет, остается алгебраическое уравнение
для поиска амплитуды этого комплексного тока.
Ну оно тут вот прекрасно расписывается.
I₀ = E₀ /
(R + iωL).
Значит, R – это активное сопротивление, а IωL – это вот комплексное,
как бы реактивное сопротивление этой катушки.
Ну истинное решение, I со шляпкой-то уже комплексное,
это есть E₀, вот я просто восстанавливаю,
R+ iωL на e в
степени (iωt + φ).
Ну это ещё неполное выражение, дело в том, что оно не очень удобное.
У нас вот iωL находится в знаменателе.
А настоящее выражение для комплексного числа какое?
Это есть типа вот любое комплексное число какое-нибудь, это а + bi.
Вот я к этому виду и привожу.
То есть я хочу домножить и разделить на комплекснозначное число.
Что у меня тут получится?
E₀ (R − iωL), я умножил числитель и знаменатель.
Если я знаменатель умножу на это, смотрите, что получается.
(R + iωL) * (R − iωL),
ну вот ещё e в степени iωt + φ.
Вот всё пока сократилось просто.
Спрашивает, что будет в числителе?
R² + ω² L².
Давайте его напишем.
Будет E₀ поделить i,
значит, на… В таком
вот виде: R² + ω² L²
– раз, в числителе.
Вот.
Здесь R, я выделяю действительную часть этого выражения.
Значит, минус, ну −i,
i ωLE₀, ну,
то есть ωLE₀ поделить на
это же самое R² + ω² L².
Ну вот всё это надо умножить также на экспоненту
e в степени iωt + φ.
То есть видите, у нас уже как бы амплитуда распалась
вот на две части, на действительную и на мнимую часть.
Вот этот коэффициент.
Но у нас есть ещё эта экспонента,
которая несёт в себе также действительную и мнимую часть.
Вот здесь я хотел бы напомнить, что формула Эйлера гласит
следующее: e в степени iα =
cosα + i sinα.
Вот я просто напоминаю эйлеровское выражение.
Вот поэтому я эту экспоненту представлю как
косинус вот этого аргумента + i синус аргумента.
Но мне придется тут вот перемножать это опять-таки,
вот это комплексное число на это комплексное число.
В этом-то и была вся сложность в этой задаче.
Ну давайте перемножим.
Что у меня получается?
E₀R / (R²
+ ω² L²),
cos(ωt + φ).
Дальше надо поставить знак «+».
Вот этот «+» переношу сюда, наверх и уже наверху пишу.
[БЕЗ ТЕКСТА] Следующий член будет уже мнимым.
+ i E₀R /
R² + ω² L²,
sin(ωt + φ).
Это ещё не всё.
У нас есть ещё вот этот вот iωLE₀,
который также даст нам ещё одно комплексное число.
−iE₀ωL на
то же самое R² + ω² + L²
* cos(ωt + φ).
Ну и, наконец, последнее, это произведение вот этого,
этой мнимой части на эту мнимую часть.
Ну вот произведение этих мнимых частей даст ещё такую добавку.
+.
Она нам, конечно же, будет так же важна.
+, ну вот я её напишу так,
E₀ωL поделить на R², она действительная,
+ ω² L² * sin(ωt + φ).
Вот это длинное выражение,
состоящее из раз, два, три, четыре члена.
Нас должна интересовать только действительная часть
этого комплексного числа.
Значит, я её подчеркну.
Вот эта действительная часть и вот последняя, это тоже действительная часть.
Вот по существу это и есть ответ, который мы можем теперь уже и написать.
То есть I, вот частное решение от t теперь уже,
это есть действительная часть вот этого I со шляпкой.
Что это такое?
Что это такое?
E₀, E₀ / (R² +
ω² L²) за скобкой,
это общая, так сказать, у них часть.
Дальше здесь будет R R cos,
косинус, (ωt
+ φ) +
ωL sin(ωt + φ).
Скобка здесь закроется.
Это частное решение.
Значит, общее решение, ну что ж, напишу его.
I общее от t.
Надо вот к этому I частному добавить… Я уж тогда,
чтобы двадцать раз не переписывать, напишу.
Iчас(t) + вот то, что мы там и написали, A на е в степени,
неизвестная константа A на е в степени −Rt / L.
Вот.
И теперь можно уже выполнить начальное условие.
То есть при t равном,
при t = 0 I общ(0) = 0.
Что я и сделаю.
Я напишу, что E₀ /
(R² + ω² L²).
И дальше зануляю вот здесь время t.
Ну тогда эти ωt, они не будут сюда входить,
будет Rcosφ + ωLsinφ,
скобка закрывается, + A.
Совершенно понятно, что и эта величина,
вот то, что я написал, должна быть равна нулю.
Отсюда следует значение этой константы.
Отсюда A =, ну и дальше
вот −E₀ / (R² + ω²
L²) на скобку и так далее, закрывается.
Вот это, оно тут достаточно очевидно, двадцать раз переписывать не следует.
И, наконец, последнее, окончательно, окончательно, конец.
I общее от t тогда выразится таким
образом: E₀ / (R² + ω²
L²), скобка,
R cos(ωt + φ)
+ ωL
ωL sin(ωt + φ), закрыли,
+ опять-таки
вот, ну ладно,
+ E₀ / (R² + ω² L²),
е в степени −Rt / L,
и здесь вот простенькое вот это выражение
Rcosφ + ωLsinφ.
Вот задача полностью решена, то есть получился вот
такой вот большой-большой слоник.
Выражение сложное, но оно полностью удовлетворяет
этому условию.
Значит, мы получили, во-первых, переходный процесс, вот он.
Это частное решение с константой A, которую мы нашли вот здесь она,
я её переписал просто, в зависимости от начальной фазы.
Какая у нас будет начальная фаза?
Ну, например, если начальная фаза равна нулю, то этот член исчезает,
получается просто E₀ Rcosφ на это е в степени –Rt / L.
И при t, стремящемся к бесконечности, это вообще всё исчезает.
Остается только чисто частное решение.
Вот вся задача.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
