В курсе рассматриваются применения закона электромагнитной индукции и базовые закономерности колебаний в электрических цепях. Студенты познакомятся с описанием свободных и вынужденных колебаний, квазистационарных процессов, получат представление о спектральном разложении и принципах работы параметрических и автоколебательных систем. Учебный материал основан на лекциях и семинарах по общей физике, читаемых студентам МФТИ в третьем семестре. Лекционный материал сопровождается наглядными демонстрациями. Для закрепления знаний и получения навыков решения задач в конце каждой недели студентам предлагается решить проверочные задания в виде теста и четырех задач. Итоговая контрольная работа помимо основного блока заданий содержит задачи повышенной сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ на семестровых контрольных работах.
7. Переходный процесс в LR-цепи
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Переходные процессы в электрических цепях
3 оценки
Из урока
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Резонанс. Амплитудная и фазовая характеристики колебательного контура. Векторные диаграммы. Переходные процессы. Биения. Комплексная форма представления колебаний. Правила Кирхгофа для переменных токов. Работа и мощность переменного тока.
Познакомьтесь с преподавателями
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Задача 10.4.
Значит речь пойдет
о переходном процессе в LR цепочке,
подключенной к источнику синусоидальной ЭДС.
Значит к источнику синусоидальной ЭДС,
вот я его рисую, вот через ключ
подключается RL цепь.
Последовательно соединенная катушка
индуктивности L и резистор R, вот подключается.
Значит E (t)
= E₀ * cos (ωt + φ).
Где φ — это некая начальная фаза.
И вот в момент t = 0 включается вот такое напряжение.
Вот.
Найти силу тока, как будет зависеть сила тока от φ.
Это задача непростая.
Поэтому начнем сразу как бы
обсуждать в чем же ее непростота.
Дело в том, что здесь,
вот когда мы начнем реализовывать как бы, это переходный процесс,
но включение уже синусоидальной
ЭДС и уравнение этих колебаний,
оно будет иметь свою специфику.
Вот какую, мы сейчас увидим.
Давайте напишем это уравнение E − L
dI / dt должно быть равно
падению напряжения на активных сопротивлениях этого контура.
Значит это, вот это ЭДС E (t).
Это ЭДС самоиндукции этой катушки, направленной навстречу этой ЭДС + IR.
Ну это вот совершенно понятный закон, ну или Кирхгофа, правило Кирхгофа.
Как его переписать?
Давайте его перепишем.
L dI / dt + IR и вот здесь
как бы правая часть этого дифференциального уравнения E₀
cos (ωt + φ).
Ну как его решать?
Частное решение надо подбирать,
но поскольку в момент времени t = 0 частное решение,
это решение при t стремящимся к ∞.
Когда уже все переходные процессы в этой цепи закончились.
Это частное решение.
Оно выбирается, понятно, что надо выбрать что-то типа косинусов.
Но здесь возникает сложность.
Когда вы продифференцируете этот ток,
то здесь возникнет синус и поэтому задача становится сразу непростой.
Вот.
Что касается переходных процессов их определяет
однородное решение этого уравнения.
Что такое однородное уравнение?
Это с нулевой правой частью.
Общее решение этого уравнения есть сумма
однородного и частного уравнения дифференциального.
Которое и представляет себе развернутое во времени,
начиная с t = 0, все, что произойдет в этой цепи.
Значит повторяю, однородное — это переходный процесс,
частное решение — это на достаточном удалении от,
то есть изымаем переходный процесс.
Ну вот давайте сначала однородным уравнением.
Итак, однородное уравнение,
однородное уравнение,
ну напишу его.
L dI / dt + IR = 0.
Ну тут решать-то нечего.
I (t) вот этого однородного уравнения,
это есть некая A * e в степени − Rt / L.
Ну да, оно удовлетворяет этому уравнению, это экспонента.
Константа A, откуда ее взять?
Константу A надо брать из начальных условий.
Если вы сейчас попытаетесь взять начальные условия, то у нас ничего не получится.
Дело в том, что начальные-то условия диктуются еще наличием частного решения,
то есть надо общее решение взять при t = 0.
Только тогда мы получим, ну правильно выразим эту константу.
Поэтому пока что оставляем это, вот однородное уравнение и
приступаем к решению, значит, общего уравнения.
Ну начальное это условие какое...
для решения всего этого дела?
Нахождение константы A следующее: I общее, вот я пишу,
общее от 0 = 0.
То есть при t = 0, общий ток,
общего, I общее — это общее решение уравнения, однородное плюс частное = 0.
Только так мы можем найти эту константу A.
Ну пока у нас нет частного решения.
Частное решение, вот так сходу,
с помощью вот гармонических функций, не возьмется.
Удобно использовать метод комплексных амплитуд или комплексных, если угодно.
Для этого, как это сделать?
Надо перейти в область,
комплекснозначную область, комплексную, вот такую.
Смотрите, если нам задана вот эта функция E₀ cos (ωt + φ).
Значит мы, если я возьму вот такое E со шляпкой,
это некое E₀ *
e в степени i (ωt + φ) — это комплекснозначная.
Вот можно всегда взять действительную часть от этого выражения,
вот от этого, это будет в соответствии с формулой Эйлера,
это будет E₀ * cos (ωt + φ), φ — начальная фаза.
Таким образом, если я вместо вот этой,
вот этой вот тригонометрической функции,
возьму более общую, вот такую E со шляпкой,
которая есть E₀ * e в степени i (ωt + φ).
То есть перейду в область комплексных функций,
то тогда надо просто, тут все константы кроме токов.
Вот это уравнение, вот это уравнение перепишется таким
образом: L значит ну dI со
шляпкой по dt + RI
со шляпкой = E₀ * e в
степени i (ωt + φ).
То есть перешли в комплексную область и сразу
работа с экспонентами уже намного проще,
чем с тригонометрическими функциями.
А вернуться к тригонометрическим функциям мы всегда успеем.
Итак, значит поиск частного решения совершенно очевиден.
Отсюда I вот это со шляпкой, это есть некое I₀ со
шляпкой на e в степени i (ωt + φ).
Значит частное решение надо искать вот в таком виде.
Ну понятно, что I с точкой, вот со шляпкой,
это будет I₀, ибо это есть комплексное число, но какое-то, мы не знаем какое,
iω после дифференцирования на e в степени опять‐таки i(ωt + φ).
Вот теперь мы эту производную по времени
подставим в наше уравнение и найдем по
существу частное решение его просто более точно определим.
Итак, что у меня получается.
LI₀ iω
e в степени i(ωt + φ)
+ RI₀
* e в степени i(ωt + φ)
= E₀ * e в степени i(ωt + φ).
Ну совершенно понятно,
что подстановка удачная, успешная.
Экспонента, зависящая от времени, у нас сократилась,
значит действительно удовлетворяет, остается алгебраическое уравнение
для поиска амплитуды этого комплексного тока.
Ну оно тут вот прекрасно расписывается.
I₀ = E₀ /
(R + iωL).
Значит, R – это активное сопротивление, а IωL – это вот комплексное,
как бы реактивное сопротивление этой катушки.
Ну истинное решение, I со шляпкой-то уже комплексное,
это есть E₀, вот я просто восстанавливаю,
R+ iωL на e в
степени (iωt + φ).
Ну это ещё неполное выражение, дело в том, что оно не очень удобное.
У нас вот iωL находится в знаменателе.
А настоящее выражение для комплексного числа какое?
Это есть типа вот любое комплексное число какое-нибудь, это а + bi.
Вот я к этому виду и привожу.
То есть я хочу домножить и разделить на комплекснозначное число.
Что у меня тут получится?
E₀ (R − iωL), я умножил числитель и знаменатель.
Если я знаменатель умножу на это, смотрите, что получается.
(R + iωL) * (R − iωL),
ну вот ещё e в степени iωt + φ.
Вот всё пока сократилось просто.
Спрашивает, что будет в числителе?
R² + ω² L².
Давайте его напишем.
Будет E₀ поделить i,
значит, на… В таком
вот виде: R² + ω² L²
– раз, в числителе.
Вот.
Здесь R, я выделяю действительную часть этого выражения.
Значит, минус, ну −i,
i ωLE₀, ну,
то есть ωLE₀ поделить на
это же самое R² + ω² L².
Ну вот всё это надо умножить также на экспоненту
e в степени iωt + φ.
То есть видите, у нас уже как бы амплитуда распалась
вот на две части, на действительную и на мнимую часть.
Вот этот коэффициент.
Но у нас есть ещё эта экспонента,
которая несёт в себе также действительную и мнимую часть.
Вот здесь я хотел бы напомнить, что формула Эйлера гласит
следующее: e в степени iα =
cosα + i sinα.
Вот я просто напоминаю эйлеровское выражение.
Вот поэтому я эту экспоненту представлю как
косинус вот этого аргумента + i синус аргумента.
Но мне придется тут вот перемножать это опять-таки,
вот это комплексное число на это комплексное число.
В этом-то и была вся сложность в этой задаче.
Ну давайте перемножим.
Что у меня получается?
E₀R / (R²
+ ω² L²),
cos(ωt + φ).
Дальше надо поставить знак «+».
Вот этот «+» переношу сюда, наверх и уже наверху пишу.
[БЕЗ ТЕКСТА] Следующий член будет уже мнимым.
+ i E₀R /
R² + ω² L²,
sin(ωt + φ).
Это ещё не всё.
У нас есть ещё вот этот вот iωLE₀,
который также даст нам ещё одно комплексное число.
−iE₀ωL на
то же самое R² + ω² + L²
* cos(ωt + φ).
Ну и, наконец, последнее, это произведение вот этого,
этой мнимой части на эту мнимую часть.
Ну вот произведение этих мнимых частей даст ещё такую добавку.
+.
Она нам, конечно же, будет так же важна.
+, ну вот я её напишу так,
E₀ωL поделить на R², она действительная,
+ ω² L² * sin(ωt + φ).
Вот это длинное выражение,
состоящее из раз, два, три, четыре члена.
Нас должна интересовать только действительная часть
этого комплексного числа.
Значит, я её подчеркну.
Вот эта действительная часть и вот последняя, это тоже действительная часть.
Вот по существу это и есть ответ, который мы можем теперь уже и написать.
То есть I, вот частное решение от t теперь уже,
это есть действительная часть вот этого I со шляпкой.
Что это такое?
Что это такое?
E₀, E₀ / (R² +
ω² L²) за скобкой,
это общая, так сказать, у них часть.
Дальше здесь будет R R cos,
косинус, (ωt
+ φ) +
ωL sin(ωt + φ).
Скобка здесь закроется.
Это частное решение.
Значит, общее решение, ну что ж, напишу его.
I общее от t.
Надо вот к этому I частному добавить… Я уж тогда,
чтобы двадцать раз не переписывать, напишу.
Iчас(t) + вот то, что мы там и написали, A на е в степени,
неизвестная константа A на е в степени −Rt / L.
Вот.
И теперь можно уже выполнить начальное условие.
То есть при t равном,
при t = 0 I общ(0) = 0.
Что я и сделаю.
Я напишу, что E₀ /
(R² + ω² L²).
И дальше зануляю вот здесь время t.
Ну тогда эти ωt, они не будут сюда входить,
будет Rcosφ + ωLsinφ,
скобка закрывается, + A.
Совершенно понятно, что и эта величина,
вот то, что я написал, должна быть равна нулю.
Отсюда следует значение этой константы.
Отсюда A =, ну и дальше
вот −E₀ / (R² + ω²
L²) на скобку и так далее, закрывается.
Вот это, оно тут достаточно очевидно, двадцать раз переписывать не следует.
И, наконец, последнее, окончательно, окончательно, конец.
I общее от t тогда выразится таким
образом: E₀ / (R² + ω²
L²), скобка,
R cos(ωt + φ)
+ ωL
ωL sin(ωt + φ), закрыли,
+ опять-таки
вот, ну ладно,
+ E₀ / (R² + ω² L²),
е в степени −Rt / L,
и здесь вот простенькое вот это выражение
Rcosφ + ωLsinφ.
Вот задача полностью решена, то есть получился вот
такой вот большой-большой слоник.
Выражение сложное, но оно полностью удовлетворяет
этому условию.
Значит, мы получили, во-первых, переходный процесс, вот он.
Это частное решение с константой A, которую мы нашли вот здесь она,
я её переписал просто, в зависимости от начальной фазы.
Какая у нас будет начальная фаза?
Ну, например, если начальная фаза равна нулю, то этот член исчезает,
получается просто E₀ Rcosφ на это е в степени –Rt / L.
И при t, стремящемся к бесконечности, это вообще всё исчезает.
Остается только чисто частное решение.
Вот вся задача.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.
