Задача 10.4. Значит речь пойдет о переходном процессе в LR цепочке, подключенной к источнику синусоидальной ЭДС. Значит к источнику синусоидальной ЭДС, вот я его рисую, вот через ключ подключается RL цепь. Последовательно соединенная катушка индуктивности L и резистор R, вот подключается. Значит E (t) = E₀ * cos (ωt + φ). Где φ — это некая начальная фаза. И вот в момент t = 0 включается вот такое напряжение. Вот. Найти силу тока, как будет зависеть сила тока от φ. Это задача непростая. Поэтому начнем сразу как бы обсуждать в чем же ее непростота. Дело в том, что здесь, вот когда мы начнем реализовывать как бы, это переходный процесс, но включение уже синусоидальной ЭДС и уравнение этих колебаний, оно будет иметь свою специфику. Вот какую, мы сейчас увидим. Давайте напишем это уравнение E − L dI / dt должно быть равно падению напряжения на активных сопротивлениях этого контура. Значит это, вот это ЭДС E (t). Это ЭДС самоиндукции этой катушки, направленной навстречу этой ЭДС + IR. Ну это вот совершенно понятный закон, ну или Кирхгофа, правило Кирхгофа. Как его переписать? Давайте его перепишем. L dI / dt + IR и вот здесь как бы правая часть этого дифференциального уравнения E₀ cos (ωt + φ). Ну как его решать? Частное решение надо подбирать, но поскольку в момент времени t = 0 частное решение, это решение при t стремящимся к ∞. Когда уже все переходные процессы в этой цепи закончились. Это частное решение. Оно выбирается, понятно, что надо выбрать что-то типа косинусов. Но здесь возникает сложность. Когда вы продифференцируете этот ток, то здесь возникнет синус и поэтому задача становится сразу непростой. Вот. Что касается переходных процессов их определяет однородное решение этого уравнения. Что такое однородное уравнение? Это с нулевой правой частью. Общее решение этого уравнения есть сумма однородного и частного уравнения дифференциального. Которое и представляет себе развернутое во времени, начиная с t = 0, все, что произойдет в этой цепи. Значит повторяю, однородное — это переходный процесс, частное решение — это на достаточном удалении от, то есть изымаем переходный процесс. Ну вот давайте сначала однородным уравнением. Итак, однородное уравнение, однородное уравнение, ну напишу его. L dI / dt + IR = 0. Ну тут решать-то нечего. I (t) вот этого однородного уравнения, это есть некая A * e в степени − Rt / L. Ну да, оно удовлетворяет этому уравнению, это экспонента. Константа A, откуда ее взять? Константу A надо брать из начальных условий. Если вы сейчас попытаетесь взять начальные условия, то у нас ничего не получится. Дело в том, что начальные-то условия диктуются еще наличием частного решения, то есть надо общее решение взять при t = 0. Только тогда мы получим, ну правильно выразим эту константу. Поэтому пока что оставляем это, вот однородное уравнение и приступаем к решению, значит, общего уравнения. Ну начальное это условие какое... для решения всего этого дела? Нахождение константы A следующее: I общее, вот я пишу, общее от 0 = 0. То есть при t = 0, общий ток, общего, I общее — это общее решение уравнения, однородное плюс частное = 0. Только так мы можем найти эту константу A. Ну пока у нас нет частного решения. Частное решение, вот так сходу, с помощью вот гармонических функций, не возьмется. Удобно использовать метод комплексных амплитуд или комплексных, если угодно. Для этого, как это сделать? Надо перейти в область, комплекснозначную область, комплексную, вот такую. Смотрите, если нам задана вот эта функция E₀ cos (ωt + φ). Значит мы, если я возьму вот такое E со шляпкой, это некое E₀ * e в степени i (ωt + φ) — это комплекснозначная. Вот можно всегда взять действительную часть от этого выражения, вот от этого, это будет в соответствии с формулой Эйлера, это будет E₀ * cos (ωt + φ), φ — начальная фаза. Таким образом, если я вместо вот этой, вот этой вот тригонометрической функции, возьму более общую, вот такую E со шляпкой, которая есть E₀ * e в степени i (ωt + φ). То есть перейду в область комплексных функций, то тогда надо просто, тут все константы кроме токов. Вот это уравнение, вот это уравнение перепишется таким образом: L значит ну dI со шляпкой по dt + RI со шляпкой = E₀ * e в степени i (ωt + φ). То есть перешли в комплексную область и сразу работа с экспонентами уже намного проще, чем с тригонометрическими функциями. А вернуться к тригонометрическим функциям мы всегда успеем. Итак, значит поиск частного решения совершенно очевиден. Отсюда I вот это со шляпкой, это есть некое I₀ со шляпкой на e в степени i (ωt + φ). Значит частное решение надо искать вот в таком виде. Ну понятно, что I с точкой, вот со шляпкой, это будет I₀, ибо это есть комплексное число, но какое-то, мы не знаем какое, iω после дифференцирования на e в степени опять‐таки i(ωt + φ). Вот теперь мы эту производную по времени подставим в наше уравнение и найдем по существу частное решение его просто более точно определим. Итак, что у меня получается. LI₀ iω e в степени i(ωt + φ) + RI₀ * e в степени i(ωt + φ) = E₀ * e в степени i(ωt + φ). Ну совершенно понятно, что подстановка удачная, успешная. Экспонента, зависящая от времени, у нас сократилась, значит действительно удовлетворяет, остается алгебраическое уравнение для поиска амплитуды этого комплексного тока. Ну оно тут вот прекрасно расписывается. I₀ = E₀ / (R + iωL). Значит, R – это активное сопротивление, а IωL – это вот комплексное, как бы реактивное сопротивление этой катушки. Ну истинное решение, I со шляпкой-то уже комплексное, это есть E₀, вот я просто восстанавливаю, R+ iωL на e в степени (iωt + φ). Ну это ещё неполное выражение, дело в том, что оно не очень удобное. У нас вот iωL находится в знаменателе. А настоящее выражение для комплексного числа какое? Это есть типа вот любое комплексное число какое-нибудь, это а + bi. Вот я к этому виду и привожу. То есть я хочу домножить и разделить на комплекснозначное число. Что у меня тут получится? E₀ (R − iωL), я умножил числитель и знаменатель. Если я знаменатель умножу на это, смотрите, что получается. (R + iωL) * (R − iωL), ну вот ещё e в степени iωt + φ. Вот всё пока сократилось просто. Спрашивает, что будет в числителе? R² + ω² L². Давайте его напишем. Будет E₀ поделить i, значит, на… В таком вот виде: R² + ω² L² – раз, в числителе. Вот. Здесь R, я выделяю действительную часть этого выражения. Значит, минус, ну −i, i ωLE₀, ну, то есть ωLE₀ поделить на это же самое R² + ω² L². Ну вот всё это надо умножить также на экспоненту e в степени iωt + φ. То есть видите, у нас уже как бы амплитуда распалась вот на две части, на действительную и на мнимую часть. Вот этот коэффициент. Но у нас есть ещё эта экспонента, которая несёт в себе также действительную и мнимую часть. Вот здесь я хотел бы напомнить, что формула Эйлера гласит следующее: e в степени iα = cosα + i sinα. Вот я просто напоминаю эйлеровское выражение. Вот поэтому я эту экспоненту представлю как косинус вот этого аргумента + i синус аргумента. Но мне придется тут вот перемножать это опять-таки, вот это комплексное число на это комплексное число. В этом-то и была вся сложность в этой задаче. Ну давайте перемножим. Что у меня получается? E₀R / (R² + ω² L²), cos(ωt + φ). Дальше надо поставить знак «+». Вот этот «+» переношу сюда, наверх и уже наверху пишу. [БЕЗ ТЕКСТА] Следующий член будет уже мнимым. + i E₀R / R² + ω² L², sin(ωt + φ). Это ещё не всё. У нас есть ещё вот этот вот iωLE₀, который также даст нам ещё одно комплексное число. −iE₀ωL на то же самое R² + ω² + L² * cos(ωt + φ). Ну и, наконец, последнее, это произведение вот этого, этой мнимой части на эту мнимую часть. Ну вот произведение этих мнимых частей даст ещё такую добавку. +. Она нам, конечно же, будет так же важна. +, ну вот я её напишу так, E₀ωL поделить на R², она действительная, + ω² L² * sin(ωt + φ). Вот это длинное выражение, состоящее из раз, два, три, четыре члена. Нас должна интересовать только действительная часть этого комплексного числа. Значит, я её подчеркну. Вот эта действительная часть и вот последняя, это тоже действительная часть. Вот по существу это и есть ответ, который мы можем теперь уже и написать. То есть I, вот частное решение от t теперь уже, это есть действительная часть вот этого I со шляпкой. Что это такое? Что это такое? E₀, E₀ / (R² + ω² L²) за скобкой, это общая, так сказать, у них часть. Дальше здесь будет R R cos, косинус, (ωt + φ) + ωL sin(ωt + φ). Скобка здесь закроется. Это частное решение. Значит, общее решение, ну что ж, напишу его. I общее от t. Надо вот к этому I частному добавить… Я уж тогда, чтобы двадцать раз не переписывать, напишу. Iчас(t) + вот то, что мы там и написали, A на е в степени, неизвестная константа A на е в степени −Rt / L. Вот. И теперь можно уже выполнить начальное условие. То есть при t равном, при t = 0 I общ(0) = 0. Что я и сделаю. Я напишу, что E₀ / (R² + ω² L²). И дальше зануляю вот здесь время t. Ну тогда эти ωt, они не будут сюда входить, будет Rcosφ + ωLsinφ, скобка закрывается, + A. Совершенно понятно, что и эта величина, вот то, что я написал, должна быть равна нулю. Отсюда следует значение этой константы. Отсюда A =, ну и дальше вот −E₀ / (R² + ω² L²) на скобку и так далее, закрывается. Вот это, оно тут достаточно очевидно, двадцать раз переписывать не следует. И, наконец, последнее, окончательно, окончательно, конец. I общее от t тогда выразится таким образом: E₀ / (R² + ω² L²), скобка, R cos(ωt + φ) + ωL ωL sin(ωt + φ), закрыли, + опять-таки вот, ну ладно, + E₀ / (R² + ω² L²), е в степени −Rt / L, и здесь вот простенькое вот это выражение Rcosφ + ωLsinφ. Вот задача полностью решена, то есть получился вот такой вот большой-большой слоник. Выражение сложное, но оно полностью удовлетворяет этому условию. Значит, мы получили, во-первых, переходный процесс, вот он. Это частное решение с константой A, которую мы нашли вот здесь она, я её переписал просто, в зависимости от начальной фазы. Какая у нас будет начальная фаза? Ну, например, если начальная фаза равна нулю, то этот член исчезает, получается просто E₀ Rcosφ на это е в степени –Rt / L. И при t, стремящемся к бесконечности, это вообще всё исчезает. Остается только чисто частное решение. Вот вся задача.
