Следующая задача 10.56.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Вот
такая цепь, которая, по существу,
является таким вот...
сейчас нарисую — узнаете.
Это емкость.
Это катушка.
Здесь два резистора.
[ЧЕРТИТ СХЕМУ]
Объединяем.
[ЧЕРТИТ СХЕМУ] Это
источник.
Источник VcosΩt,
вот такой вот источник.
Это катушка с индуктивностью L, С,
два одинаковых резистора, R и R.
И вот здесь, на другой диагонали этой схемы...
Это схема мостиковая, представляет собой мостик.
В одну диагональ включается источник,
а в другой диагонали
пытаются снять напряжение, назовем его U.
Напряжение на другой диагонали этой мостиковой схемы.
Итак, в схеме, изображенной на рисунке,
требуется получить сдвиг фаз 90 ° между входным
напряжением VcosΩt и выходным U.
Значит, надо получить
сдвиг фаз
между V и U 90 °.
То есть своеобразный фазовращатель.
Ну вот как решить такую задачу?
Там еще есть вопрос: при каком соотношении между параметрами это вообще возможно?
Чему равно при этом это самое U, напряжение?
Построить векторную диаграмму для этого случая.
Ну вот чтобы построить...
ну и действительно, удобнее наверное пользоваться, чтобы понимали,
что мы тут делаем, векторной диаграммой.
Пусть у нас есть вот эта цепочка под номером 1,
а вот эта цепочка, параллельная ей, под номером 2.
Вот две цепочки, первая и вторая.
Итак, по этой веточке течет ток I₁,
по этой веточке течет ток I₂.
Значит, сразу же будем пользоваться,
поскольку и векторная диаграмма, комплексными представлениями.
То есть наш I₁ ток — это есть
V / (R + iωL).
Вот это разумно так сразу сделать.
V — это вот напряжение, действительная часть которого
составляет VcosΩt, этот уже комплексно значимый,
поэтому и ток здесь будет комплексно значимый.
I₂ также = V / (R
+ 1 / iΩC).
Только омегу вот такую: Ω, раз уж там в условии так написано.
Вот они.
Теперь...
напряжение на резисторе в первой цепочке
VR₁ — это есть RI₁, ну то есть
получается VR / (R
+ iΩL) VR₂ —
это есть RI₂,
и будет соответственно = V со
шляпкой R / (R + 1 / iΩC).
Ну вот здесь имеет смысл
преобразовать это выражение, потому что не очень удобно 1 / iΩC.
Значит, достаточно умножить числитель и знаменатель на iΩC,
и тогда получится iVR
ΩC / (1
+ iRΩC).
Значит, вот у нас выражение для падения напряжения на этих резисторах записано.
Совершенно понятно, что U,
разность потенциалов вот этих точек
между LR и CR — это есть
разность вот этих напряжений VR₁ − VR₂,
то есть ну вот VR за скобку,
здесь получается такое выражение [1 / (R
+ iΩL) −
iΩC / (1 +
RiΩC)], скобка закрывается.
Ну конечно, это все нужно представить в комплексном виде,
всю эту квадратную скобку.
Ну как это представить?
Ну вот смотрите: просто пока что возьмем эту разность.
Получается VR, здесь возникает такая вот дробь,
в которой будет (1 +
iRΩC −
iΩRC ну вот то же самое.
Дальше: + Ω²LC).
Мы перемножаем iΩL и −iΩC, получается Ω²LC.
Это числитель, в знаменателе получается следующее: R ( 1
(при перемножении) −
Ω²LC) + iΩ
* (L + CR²).
Вот такая получилась дробь.
Ну как она получилась?
В знаменателе надо перемножить R...
ну, в общем перемножить, короче, то, что есть вот в этих двух дробях.
И получается вот то, что получилось.
Здесь в числителе это благополучно сокращается, и,
таким образом, у нас числитель чисто действительный.
А вот наша задача — чтобы
вот эта дробь стала чисто мнимой.
Что значит чисто мнимой?
Надо потребовать, чтобы, напоминаю условие,
чтобы V и U были со сдвигом фазы под π/2.
Сдвиг фазы π/2 обеспечивается, естественно, чистой мнимостью.
Вот.
То есть умножением на i, или на e в степени iπ/2.
Как это сделать чисто мнимым?
Значит, вот это чисто мнимое...
вот это, вот оно.
Чисто мнимое...
мнимое, если
вот это 1-
Ω²LC равна нулю.
Вот это условие, которое требуется выполнить.
Замечательное условие.
Мы его узнаём.
Ω должна быть равна единица на...
в квадрате...
должна быть 1 на LC.
То есть резонансное условие.
Вот, то есть мы видим, что это условие можно переписать так.
Значит, как Ω²LC = 1.
То есть мы ответили на этот вопрос.
При этом...
вот при этом что у нас получается?
У нас получается U = (ну со шляпкой, конечно),
это есть V вот
так вот напишу: −2iVR
/ Ω (L + CR²).
Вот таким должно быть напряжение Расписаны...
ну ее можно...
расписаны через вот вот эти вот комплекснозначные значения.
Ну можно переписать еще и так: (−i) *
((2R * √LC),
/ (L + СR²)) * V.
Итак, U и V,
возникла какая фаза?
(−i).
Что такое (−i)?
e в степени (−i) пополам.
Вот это e в степени (−i) * π пополам.
Вот что это такое.
То есть это дополнительная фаза * на π пополам.
Осталось построить векторную диаграмму.
Давайте попробуем.
Итак, векторная диаграмма.
Как она строится?
В данном случае это будет следующее.
Во-первых, у нас есть как бы общее
напряжение Vcos ΩT, тут вот это V со шляпкой.
Ну вот давайте сначала
я нарисую круг,
а потом поясню, иначе будет некрасивая картинка.
А круг-то у меня сразу получится хороший.
Вот.
А теперь вот это, то самое V — вектор напряжения.
Спрашивается, зачем я этот круг нарисовал?
А вот зачем.
Дело в том, что у меня в одной цепочке L и R,
а в другой — C и R.
Вот напряжение, токи-то у них, ток через L и R общий,
а напряжение-то находится под π пополам.
Поэтому очень разумно, например, нарисовать так, вот сейчас вы поймете,
что я сделал.
Вот.
Это VL — напряжение,
вектор напряжения на катушке,
а это — вектор напряжения VR в первой цепочке.
Ну мы знаем, что у нас катушка,
вот напряжение на катушке опережает ток по фазе на π пополам.
Ток по фазе, вот он.
Это ток в этой цепочке.
Вот этот вектор можно...
вот это направление — это направление этого тока.
Значит, VL опережает на π пополам этот ток.
Значит опережает на π пополам напряжение на...
падение напряжения на сопротивление R1.
Значит, π пополам, вот оно.
Оно получается из геометрии.
Если мы опираемся на диаметр, то вот этот угол будет ровно π пополам.
Ровно то же самое вон в той цепочке.
Этого фазовращателя.
Что там?
Падение напряжения на...
я так вот и поступлю, вот раз, два.
Это — VС, а это — VR второй цепочки.
Они равны, поэтому эти длины этих векторов по существу одинаковы.
Вот это есть как бы направление изменения тока во второй цепочке.
Напряжение на емкости отстает по фазе.
Напоминаю, что у нас это векторная диаграмма,
вращается вот против часовой стрелки с этой частотой Ω, то есть
соответствующие векторы VC, отстает по фазе от тока и от этого напряжения.
И смотрите, вот эта разность двух этих напряжений VR1
и VR2, вот она.
Она выглядит следующим образом: это
есть как раз напряжение U, вектор напряжения U.
И он находится ровно, вот смотрите, 90 градусов, то есть на π пополам.
Смотрит этот вектор вниз, отстает по фазе на (−π) пополам, то есть
соответствует нашему аналитическому решению и построению векторной диаграммы.
Вот вам векторная диаграмма в этой задаче.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
