Задача 10.39.
Вот теперь уже такая цепь с двумя катушками,
которые находятся в такой вот индуктивной связи.
Давайте её изобразим.
Источник, ЭДС E0*e в
степени iωt, допустим.
Резистор R1 с сопротивлением,
дальше катушка,
вот здесь ёмкость, катушка ёмкостью C.
Ой, индуктивность ёмкостью C, а катушка индуктивностью L1.
И вот с этой цепочкой,
которая питается от источника, связана следующая катушка,
её рисуем сразу рядом, и эти катушки завязаны
через коэффициент взаимной индукции, то есть каким-то образом связаны.
Катушка L2.
И нагружена эта катушка просто на
резистор сопротивлением R2.
Итак, вблизи катушки колебательного контура L1CR1,
расположена вторая катушка L2,
коэффициент взаимоиндукции которой с первой катушкой составляет M.
Какой будет резонансная частота контура,
если выводы второй катушки замкнуты накоротко.
Ну как бы в общем виде мы их замкнули на сопротивление R2.
Считать, что ωL2 на рассматриваемой
частоте много больше активного сопротивления.
Ну ещё один вопрос: при каком условии резонанс недостижим?
Итак, ещё раз повторяю, вот R1L1C контур,
питаемый от источника синусоидальной ЭДС частотой ω, и дальше катушка,
которая находится в такой вот индуктивной связи с первой катушкой,
вот, вообще говоря, подключена к сопротивлению R2.
А вообще говоря, это вообще может быть разомкнуто.
Ну я пишу же это R2 в общем виде.
Вот. Какой будет резонансная частота контура,
если выводы второй катушки замкнуты накоротко.
То есть R2 = 0.
Считать, что ωL2 на рассматриваемой частоте
много больше R активного сопротивления.
Вот здесь вот.
При каком условии резонанс недостижим?
Итак, давайте решать.
Значит, правило Кирхгоффа.
Пишем.
Кирхгофф для вот чего?
Для, собственно, контура.
Это последовательное соединение резистора катушки и
ёмкости, а нагружено вот этим источником.
Итак, что мы тут напишем?
Опять-таки, напишем вот в виде комплексных амплитуд.
Значит, R1, сопротивление R1,
+ iωL1 −
i / (ωC)
* комплексный
ток I1, который действует вот в этой цепочке.
+ неизбежно надо написать, учесть коэффициент взаимной индукции.
Почему?
Потому что в этой цепи, а по условию сказано, что вот это R2 = 0,
то есть замкнуто накоротко, и ωL2 всё-таки достаточно большая
величина по сравнению вот с активным сопротивлением того же самого R2,
мы напишем ещё один элемент: iωM I2.
Вот она – индуктивная связь.
То есть величина этого коэффициента,
этой, той ЭДС, которая порождается в этой катушке за счёт того,
что здесь есть ток вот в этой цепи, во второй цепи есть какой-то ток.
Она вычисляется вот именно таким образом.
Вот это коэффициент называется коэффициентом взаимной индукции.
Чему же всё это равно?
Это равно вот E со шляпкой, то есть записанному
так ЭДС источника.
Второе уравнение.
Это первое уравнение.
Второе для уже, для второго контура.
Вот это вот, катушка с этой индуктивностью.
Как мы это напишем?
Ну, честно говоря, написать R2 +
iωL2 вот это полное,
так сказать, сопротивление, уже этой цепочки,
с током I2 плюс, опять-таки,
взаимная индукция в этой уже, в этом контуре,
посредством вот этой связи действует ЭДС взаимной индукции, связанная с током I1.
То есть ну можно с тем, чтобы уже не путаться,
вот это у нас ток I1, а здесь какой-то ток,
соответственно, в этом контуре, вот I2.
Вот вам.
И мы его учитываем.
Итак, это + iωMI1.
Ну а чему всё это равно?
Нулю, конечно.
Потому что никаких источников здесь питания просто нет.
Поэтому мы сразу записываем вот в таком вот виде.
Ну вот R2 можно считать, по условию задачи, равным 0,
ибо это сказано, что R2 – это, практически, 0, по условию задачи.
Значит из этого соотношения вот из второго, вот прямо отсюда,
следует следующее, что I2 – это
есть −M / L2 I1.
Ну и, естественно, это можно уже
подставить вот в это соотношение.
Вот я показываю стрелкой, куда это всё можно подставить,
и найти соответствующий ток I1.
Давайте подставим.
Значит, что у нас тут получится вот сразу же отсюда?
Это будет, значит,
R1 + i (ωL1
− 1 / ωC) + i ωM,
здесь будет надо подставить этот ток,
−, вот он,
−ML2 ну умноженное,
естественно, на вот всё это,
закрываем скобку, I1 = вот этой самой ЭДС.
Вот оно.
Это всё нужно решить.
Значит, ну понятно,
что здесь ещё небольшие такие преобразования можно сделать.
Вот я это и сделаю.
Давайте так напишем.
Значит, R + i (ω
L1 − M² / L2,
два раза M,
−1 / ω C.
Скобка закрывается.
И ещё одна скобка закрывается.
Вот это I1, = E.
Вот нам сказано найти, по условию задачи,
каким какой будет резонансная частота контура.
Ну какой она будет?
Условие резонанса.
Давайте его напишем.
Условие резонанса Если
реактивное сопротивление равно 0.
Мы уже об этом говорили.
То есть что имеется в виду?
Где тут реактивное сопротивление?
А вот оно, то, что я сейчас подчеркну –
это вот мнимая часть вот в этом, в квадратных скобках.
Мнимая часть.
Это и есть реактивное сопротивление.
Вот оно должно быть равно нулю.
Вот эта величина должна быть нулём.
Давайте это напишем.
Отсюда получается,
что ωL1 − M² /
L2 * ω минус...
Да, а у меня как-то вот...
Ах да, у нас есть и ещё это I, простите.
Я скобку одну упустил.
Вот она.
Я смотрю, почему же тут то нет, это я просто не провёл до конца.
Вот она вся эта величина.
И сюда тоже, также относится.
Вот.
Тогда получится −1
/ (ωC) = 0.
Вот это выражение.
Если это равно нулю, то есть реактивная часть вот этого
импеданса равна нулю, это означает, что отсюда ω,
ну вот придётся перейти на эту доску и написать
следующее: ω = 1 /
√(С (L1
− M² / L2 ) ),
это скобка под корнем.
Вот такая частота.
Это и есть резонансная частота данной...
Данного контура при наличии вот такой активной связи.
Ну понятное дело, что резонанса нет, когда,
нас спрашивают ещё один вопрос – когда нет резонанса?
Резонанса нет в каком случае?
А вот в каком: когда L1 − (M² / L2) = 0.
Отсюда следует, что коэффициент взаимной индукции равен ровно √(L1*L2).
Вот это условие, то есть сопротивление контура чисто активное,
то есть нечему резонировать.
То есть то, что находится, как бы является индуктивностью,
вот эта часть может оказаться равной нулю.
Поэтому резонировать нечему, значит это условие отсутствия резонанса.
То есть мы видим, что эта часть может быть равна нулю,
и зависит она от коэффициента взаимной индукции.
Вот если коэффициент взаимной индукции равен вот этой величине,
√(L1*L2), всё, никакого резонанса нет.
Вот это активное...
Сопротивление, вот этот импеданс носит емкостной характер,
то есть сопротивление контура становится как бы чисто емкостным.
Вот.
Ну если...
Можно крайний случай проверить.
Если M = 0, коэффициент взаимной индукции отсутствует, то то тогда,
конечно, в этом контуре нет никакой связи,
то есть мы отнесли эту катушку подальше, M отсутствует,
то тогда в этом контуре будет условие резонанса, что √(L1*C).
1 / (√ (L1*C) ).
Ну это мы и так видим.
Вот оно – условие резонанса, если M = 0.
То есть всё правильно, да?
И, как мы говорим, асимптотика этой задачи, она соответствует,
она естественна, и поэтому никаких здесь ошибок не, у нас, наверное, нет.
Вот такое решение.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
