Следующая задача, которую мы сделаем, 9.35.
Я сначала нарисую схему.
Итак, есть катушка с индуктивностью L,
и она у нас замкнута на конденсатор,
который обладает утечкой.
Этот конденсатор, ёмкостью C,
и когда есть утечка, то эквивалентная цепь просто
параллельна этому конденсатору, рисуется сопротивление R.
Итак, этот конденсатор с утечкой, величина сопротивления которого R, ёмкость C.
Значит, пренебрегая всеми вот прочими
сопротивлениями проводов, сопротивлениями проводов вот,
которые составляют собой, активным сопротивлением катушки вот.
Нужно вывести уравнение колебания.
То есть надо написать вот первое — дифференциальное уравнение
колебаний в этом контуре.
Второе: найти собственную частоту колебаний в этом контуре.
И третье: логарифмический декремент затухания этих колебаний.
Итак, ещё раз повторяю.
Значит, имеется колебательный контур,
который состоит из катушки и ёмкости с утечкой.
Ну ёмкость с утечкой представляет собой как бы параллельное
соединение собственной чистой ёмкости без утечки и параллельного сопротивления R.
Вот для такой цепи надо вывести уравнение колебаний в этом контуре,
ну и найти частоту и логарифмический декремент затухания.
Вот чтобы вывести эти как бы уравнения этих колебаний,
надо разобраться с токами, у нас здесь есть разветвление.
Пусть вот этот ток IL течёт, это как бы общий ток,
ток собственно через ёмкость, я обозначу как q с точкой.
А ток, ответвленный в резистор, чисто формально – IR.
Итак, у меня есть три тока,
и по правилу Кирхгофа, первому правилу Кирхгофа,
IL = IR, вот IR,
+ q с точкой.
Ну вот я назначил такие направления, и потом окажется,
что эти направления, в общем-то, правильные.
Вот давайте теперь напишем,
собственно, уравнение колебаний.
Это первое уравнение Кирхгофа.
А здесь можно написать еще второе правило Кирхгофа,
сумма ЭДС действующих в замкнутом контуре,
равна сумме падения напряжения на элементах этого контура.
Собственно, это я и хочу написать: −L, значит,
IL с точкой, dI по dt.
Это что такое?
Это ЭДС самоиндукции этой катушки.
Она −L, вот это вот.
Чему оно равно?
Ну вот для этого контура это будет равно напряжению
на конденсаторе, а напряжение на конденсаторе = q / C.
Вот первое уравнение.
В свою очередь, q / C вот уже для этого контура, это всё равно,
что вот даже отдельно напишу, всё равно,
что вот падение напряжения IR * R,
то есть ток через резистор на сопротивление.
Вот два правила Кирхгофа, из которых вот мы всё и слепим.
Итак, давайте выразим отсюда IR.
Вот IR = q / RC.
Можем продифференцировать,
поскольку всё здесь меняется, продифференцировать по времени.
I с точкой R q с точкой / RC.
Ну это первое замечание.
Дальше вот это соотношение, вот это,
самое первое, его тоже можно продифференцировать по времени,
и тогда получится следующее: IL с точкой равно,
можно даже так сказать, пока что равенство оставим,
IL, IR с точкой + q с двумя точками.
То есть вторая производная заряда на конденсаторе.
Ну а это, в свою очередь… Вот можно даже подчеркнуть.
Где мне взять q с двумя точками?
Ну q с двумя точками, вот оно войдет конечно в уравнение.
У нас уравнение началось с выражения для IL с точкой,
а вот оно, у нас есть для него уравнение.
Что это такое?
Это q / LC, только знак будет «−», −q / LC.
Это уже из этого, из первого,
из уравнения Кирхгофа, которое мы написали.
Вот у нас и получилось отсюда,
ну может быть еще осталось подставить IR с точкой, вот это сюда.
Тогда получится окончательно уравнение, вот оно,
я его подчеркну, со всеми подстановками и получится следующее.
Значит, q с точкой
/ RC + q с двумя
точками = −q / LC.
Вот мы во всех через заряд и его производные
получили некое уравнение, которое является колебательным уравнением.
Оно записывается обычно так: q с двумя точками +
1 / RC q с точкой, первая производная,
+ 1 / LC q = 0.
Вот это и есть уравнение колебаний, оно имеет стандартный вид,
соответствующие коэффициенты при первой производной и при,
собственно, переменной q заряде, носят свои названия.
Ну вот это вот называется квадрат собственной частоты колебания, ω₀².
Вот этот коэффициент, он отвечает за
затухание, он так и называется, только пишется 2δ.
Он называется коэффициентом затухания колебаний в этой цепочке,
и вот здесь присутствует рассеянная энергия на резисторе.
Таким образом, окончательно можно написать q с двумя точками
+ 2δq с точкой + ω₀²q = 0.
Вот мы вывели уравнение этих колебаний – раз.
Значит, у нас сразу же есть собственная частота этих колебаний.
Ну как бы ответ на второй вопрос.
ω₀ = 1 / √LC.
Ну а третий вопрос, логарифмический декремент затухания, мы, конечно,
просто напишем чему же равно в данном случае дельта – коэффициент затухания.
Коэффициент затухания = 1 / 2RC.
Это коэффициент затухания.
И вот этот коэффициент затухания, ну сейчас мы его выразим,
как он отражается на решении этого дифференциального уравнения.
Давайте его напишем в общем виде.
q(t) = q₀ * e в степени −δt,
вот если решать аккуратно это уравнение,
* Cos(ω₀t + какая-то вот фаза постоянная φ₀).
Ну тут вот две для решения дифференциального уравнения,
оно второго порядка, два неизвестных,
то есть две постоянных интегрирования, которые находятся из начальных условий.
То есть это q₀ и φ₀.
Ну, собственно, этого от нас не требовалось,
а вот сказать, что такое логарифмический декремент
затухания… Только вот я совершил некую небольшую ошибку.
Вот здесь надо поставить не ω₀, а ωt.
Вот.
Здесь, поскольку есть затухание в этой цепи,
то тогда можно совершенно спокойно расписать эту омегу.
ω = корень квадратный из (ω₀² − δ²).
Это частота, смещённая из-за того,
что у нас в этой цепи имеет место затухание.
Вот эта частота сюда вошла вот таким образом.
Конечно, надо решать это дифференциальное уравнение, но это уже другая задача.
Здесь этого ничего не требуется,
а нужно просто написать всё-таки логарифмический декремент затухания.
Что такое логарифмический декремент затухания?
d. Можно сразу воспользоваться готовенькой
формулой, что это есть произведение δ * T,
то есть коэффициент затухания на период этих колебаний.
Период колебаний, естественно, связан 2π / ω,
то есть получается 1 / 2RC,
а здесь нужно написать как бы период колебаний 2π / ω.
Двоечки здесь благополучно сокращаются, ну и всё сводится к следующему.
Опять-таки π / RC и ω.
ω вот здесь входит, видите, какая частота колебаний?
Значит, мы дальше делаем следующее приближение,
что ω близка к ω₀,
то есть затухание мало, то здесь идут
медленно спадающие вот такие затухающие колебания, их можно изобразить, конечно.
Вот. Ну вот там вот сейчас изображу.
Но, вот посмотрите, что тогда получится.
Получается, если подставляем просто π / R,
а здесь корень из L / C.
Вот этот ответ… Здесь мы подставили ω₀, которая есть 1 / √LC.
Ну и легко получить вот то, что здесь вот написано.
Ну а затухание, в смысле как выглядят эти колебания, ну вот можно изобразить,
как они выглядят на этом графике.
Ну вот по такому закону.
Ну это я еще быстро затухающие колебания нарисовал,
а на самом деле они идут, если сопротивление утечки велико,
то они очень как бы медленно, медленно затухают, гораздо медленнее.
Вот это в данном случае q(t).
Ну вот это, собственно, время t, так это всё выглядит.
Вот вся задача.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
