Следующая задача под номером 7.10.
Прочитаю текст, потом сделаю соответствующий рисунок.
«Простейшая динамо-машина состоит из прямоугольной
рамки площадью S с числом витков n».
S. Число витков будет у нас обозначено буквой
n, вот так вот.
Это число витков этой рамки.
«и внутренним сопротивлением r».
Это вот рамка, «которая вращается с угловой скоростью ω».
ω – угловая скорость вращения этой рамки.
«Все это происходит в однородном магнитном поле B.
Надо определить средний момент, приложенной к рамке».
Что такое момент?
Это момент внешних сил.
Для того чтобы вертеть рамку, понятно, что нужен какой-то...
динамо-машина.
Динамо-машина что делает?
Она вырабатывает электроэнергию вот в самом простом варианте.
Просто мы замыкаем ее на лампочку, допустим, и освещаем какое-то помещение.
Динамо-машину крутит какой-то источник вращения посторонний,
ну, например, руками вы можете крутить,
вы можете крутить с помощью какого-нибудь дизельного двигателя, неважно.
И, конечно, так просто ничего не рождается.
Нужно совершать механическую работу против вот этих вот сил электрических.
То есть то, что мы порождаем электроэнергию, мы ее...
конечно, надо совершать работу.
И вот, «надо определить средний момент, приложенной к рамке,
и среднюю мощность, идущую на вращение динамо-машины.
Сама динамо-машина работает на некую нагрузку с сопротивлением r».
Давайте вот как-то я изображу все-таки.
Итак, вот рамка, пусть она будет выглядеть,
я ее под углом так вот нарисую.
Вот это наша рамка.
Сейчас она выглядит вот так.
Мне нужно разорвать цепь, как-то ее замкнуть на что-то,
на внешнее сопротивление какое-то.
R – это нагрузка.
Вот. Сама рамка, наверное, имеет какую-то ось.
Вот я эту ось проведу.
Вот здесь вот угловая скорость ее вращения ω.
Давайте нарисуем также магнитное поле, которое пронизывает рамку.
Пусть оно направлено вот так.
Это поле B – однородное магнитное поле,
которое пронизывает эту рамку.
У этой рамки, конечно, есть,
к ней можно провести вектор нормали или вектор площади, если хотите.
Вот я его тоже так проведу.
Вот, к примеру, он так направлен.
Вот как-нибудь, вот так.
Я даже не знаю.
Может, так, что ли?
Под углом.
Да неважно.
Это вектор S – вектор площади этой рамки.
Ну, вот более-менее понятно.
Итак, сама рамка, как было сказано,
вот ее параметры вот здесь нарисованы.
Угловая скорость задана, поле B есть.
Что найти?
Еще раз повторяю.
Найти средний механический момент внешних сил,
вращающих эту рамку – раз, а также среднюю
мощность затрачиваемую на вращение этой рамки.
(ой, только вот эту стрелочку, вот).
Среднюю мощность, которую затрачиваем на эту рамку.
Итак, что же тут происходит?
А что тут происходит?
При вращении рамки, понятное дело,
возникает ℰ индукции вот на этих сторонах, противоположно направленных.
На этих сторонах этой рамки возникает ℰ индукции.
Запишем величину этой ℰ индукции ℰ инд =
−1 / C на изменение магнитного
потока Ф с точкой – магнитный поток, пронизывающий эту рамку.
Давайте напишем, какой же магнитный поток пронизывает эту рамку.
Легко посчитать.
B Sn (число витков этой рамки,
оно повторяется многократно, поэтому S * n).
И на cos α (t).
α зависит от времени.
Что же за α?
α – угол между вектором S и направлением магнитного поля.
Вот он, этот уголочек – α.
Ну, вот.
Он, конечно, переменный, потому что мы вращаем рамку с вектором угловой скорости.
Чему же он равен?
ωt, конечно.
Это ωt, то есть с постоянной угловой скоростью ее вращаем, α(t).
Таким образом, ℰ индукция найдется достаточно просто.
Дифференцируем: ℰинд, в соответствии с этой формулой,
это есть (−1 / C) * BSn.
Производная от косинуса это есть (−sin
ωt * ω).
Взять производное еще α с точкой.
Значит, что получается окончательно?
Со знаком + BSn ω /
C / / sin ωt.
Вот такая здесь действует ℰ индукции.
Ну, возникает, естественно,
индукционный ток.
У нас рамка имеет какое-то все-таки сопротивление этих проводов.
Поэтому индукционный ток I, который течет
при назначении этой рамки с тем, чтобы генерировать ток.
Величина этого генерируемого тока I это
есть ℰ инд / (R + + r), на полное сопротивление этой цепи.
Поэтому получается, BSn ω / /
(C (R + r)), сумму сопротивлений этой цепи,
sin ωt, это индукционный ток.
Как только течет этот индукционный ток,
он течет по этому кольцу, по этой рамке,
то естественно, возникает у этой рамки,
как у всякого замкнутого контура, возникает магнитный момент.
Магнитный момент, мы его обозначаем вот так, подобно тому,
как в книжке Дмитрия Васильевича Сивухина, m такое готическое.
m = 1 / c и умножить на S.
ISn.
Индукционный ток на S и повторенный много раз.
ISn – это магнитный момент.
Мы его тоже сейчас выразим.
Это нам очень важно.
Подставляем сюда, получаем: BS в 2 n
в 2 (2-й раз n) ω
/ C в 2 (R + r)
sin ωt
Поскольку я написал здесь вектор, а S у меня возвелось в квадрат,
давайте напишем вот n – это единичный вектор,
единичный вектор нормали.
Нормали.
Он направлен так же, как и вектор площади этой рамки S.
А вектор площади этой рамки, опять-таки, как ее выбирать, ее направление?
В соответствии с тем направлением, как течет ток, то есть по правилу буравчика.
Если у нас ток течет вот так, то и вектор S сюда смотрит.
Вот.
Значит, написали это.
А на магнитный момент этот в
магнитном поле B действует механический момент.
Его-то нам и нужно найти.
Итак, механический момент этих уже магнитных сил, которые здесь возникают,
это есть векторное произведение M = = [m
* B] Вот оно как.
И отсюда, по модулю, можно раскрыть мне
нужно именно модуль этого механического момента.
Это есть m B на sin α.
Раскрываем это векторное произведение.
Что у меня получается?
Ну я так и напишу: mB * sin
ωt =, ну вот смотрим, тут у нас синус квадрат появляется.
Итак, B в квадрате S в квадрате, n в квадрате,
ω /, опять-таки C в квадрате снова,
(R + r) * sin квадрата ωt.
Ну а тут теперь можно уже и среднее значение посмотреть.
Нас спрашивают: а чему равно среднее значение?
Среднее значение ну, наверное, одна вторая от этого,
потому что среднее значение синус квадрата,
ну можно сразу вот здесь вот провести: M среднее и вот так вот эту черту.
Усредняется только вот эта переменная величина.
sin квадрат, одна вторая, его среднее значение.
Поэтому будет B в квадрате, S в квадрате,
n в квадрате, ω / 2 C в квадрате, (R + r).
Так вот, замечу, как направлен этот момент.
Если наш момент, вот этот ω,
связанный с этим вращением, это момент внешних сил,
он направлен вот сюда, это M механическое,
механическое внешних сил, внешний,
он направлен вот по оси сюда, связан с угловой скоростью ω,
то этот момент магнитных сил направлен в противоположную сторону.
Это легко в этом убедиться, вот я его даже сейчас вот так вот, вот сюда вот обозначу.
Это наш M вот вектор этого уже
магнитного момента, ну механического,
связанного с магнитным взаимодействием, ток этой рамки с магнитным полем.
Видите, какая интересная штука?
То есть обязательно уравновешивать.
То есть совершается работа вот этих сил против этого магнитного момента.
Так происходит всегда при образовании индукционных токов.
Я хочу напомнить, что, если у нас есть вот такая петля,
ну в теории там же, помните, есть перемычка, вот есть поле B,
и, когда вы тащите вот здесь вот в этом направлении с постоянной скоростью,
тащите эту перемычку, то у вас возникает V * B — векторное произведение,
то есть сила Лоренца, которая тащит заряды вот в этом направлении.
То есть возникает индукционный ток вот в этом направлении.
Опять-таки, используя правило левой руки, вы сразу же увидите,
что здесь возникает сила Ампера, F Ампера.
Она, конечно...
вы не задаром с постоянной скоростью тащите эту перемычку в магнитном поле,
вы тоже работаете, Эта сила, вот которую вот уже
совершаете вы, F — это ваша сила механическая.
Она должна быть равна амперовой силе, то есть отсюда,
собственно, именно поэтому,
именно поэтому это тащится с постоянной скоростью в условии равенства этих сил.
Именно поэтому возникает ЭДС индукции,
то есть вам нужно совершать работу против этих магнитных сил.
Ровно то же самое в этой задаче.
Только здесь уже вращательное движение.
Ну нам осталось написать,
по условию задачи осталось написать одно-единственное.
Сказано: а чему равна средняя мощность,
вот я даже, идущая на вращение динамо-машины?
А чему она равна?
Ну, понятное дело, что вот этот момент этих сил M * ω.
Это чисто механическое соотношение, которое даёт ответ на этот вопрос.
Вот вся задача.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
