Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
8.1.9. Прогнозирование процессов авторегрессии [+доска]
Loading...
Из курса от партнера National Research University Higher School of Economics
Эконометрика (Econometrics)
333 оценки
Из урока
Стационарные временные ряды
Даты, встаньте в ряд! :)
Познакомьтесь с преподавателями
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
В реальности мы заинтересованы в построении прогнозов.
Прогноз на h шагов вперед — формально это условное математическое ожидание от Yt + h
| при условии того, что Yt и все предыдущие: (Yt- 1, Yt- 2,...
) известны.
Ну, для краткости на практике его часто, чтобы не тащить вот этого крокодила,
обозначают Y (с крышечкой) t + h, имея в виду под записью t + h, что это прогноз,
когда мне известна вся информация вплоть до момента t,
а прогнозирую я на h шагов в будущее.
И давайте для конкретного примера спрогнозируем на один и два шага вперед,
построим точечный прогноз и интервальный прогноз,
то есть построим предиктивный интервал.
Наша задача построить точечные и интервальные прогнозы в рамках AR модели.
Итак, у нас есть готовая AR модель: Yt = 2 +
0,5*Y(t- 1)- 0,06*Y(t- 2) + εt,
мы считаем, что εt имеет нормальное распределение с
конкретным математическим ожиданием 0 и конкретной дисперсией 4.
У нас есть данные по прошлым наблюдениям: Y1,...
Y100.
И скажем, известно, что Y99 = 3, а Y100 = 4.
И наша задача: a) составить точеный прогноз,
то есть Y(с крышечкой) 100 + 1, ну, так я подчеркиваю,
что это прогноз с 100-го шага на один шаг вперед и Y(с крышечкой)100 + 2,
b) посчитать дисперсию ошибки прогноза,
то есть посчитать Var(Y101 - Y(с крышечкой)100 + 1 при условии,
что я знаю все текущие игреки, Y1,...
Y100 мне известны.
Посчитать аналогично дисперсию ошибки прогноза на два шага вперед, при условии,
что я знаю все игреки до текущего момента времени.
И руководствуясь a и b, далее уже следуют легкие пункты, если мы сделали a и b,
то построить 95 % доверительный
интервал для будущих...
построить 95 % предиктивный интервал,
предиктивный интервал для будущих Y101 и Y102.
Первый пункт a.
Мы вспоминаем, как мы строим прогнозы в рамках AR модели.
Мы строим прогнозы, беря условное математическое ожидание,
то есть мы берем E(Y101 при условии, что мы знаем все игреки, Y100, Y99,...
) Мы подставляем формулу для Y101.
Вот она.
Это есть E(2
+ 0,5*Y100-
0,06 *Y99
+ ε101 при условии,
что я знаю все до момента времени 100.
Естественно, при таком подходе Y100
и Y99 для меня это просто известные числа, а вот Y101 — это случайная величина,
не зависит от информации, которой я обладаю.
Поэтому ее условное математическое ожидание равно безусловному и равно 0.
Я получаю 2 + 0,5, поскольку Y100 — это то, что я знаю, то я просто подставляю,
раз я его знаю, это 4- 0,06*3 + 0.
Я получаю, что это 2 +
2- 0,18
и получается в результате 3,82.
Это точечный прогноз на один шаг вперед.
Аналогично мы строим прогноз точечный на два шага
вперед: Y (с крышечкой)100 + 2 равняется...
Подставляем формулу для условного математического
ожидания E(Y102, при условии, что я знаю Y100, Y99,...
) = Подставляем формулу для Y102.
Это условное математическое ожидание E от (2 +
0,5 *Y101-
0,06*Y100 + ε102| при условии,
что я знаю игреки с сотого и более ранние.
Смотрите: Y100 я знаю,
ε102 не зависит, —это будущая случайная составляющая,
— не зависит от того, что я знаю.
А E(Y101 при условии Y100, Y99,...
) мы уже считали.
Собственно, вот она.
Вот она.
Мы ее уже считали.
Поэтому это можно просто написать, что это 3,82.
И теперь у нас есть все ингредиенты.
Мы можем смешать их и получить Y (с крышкой) точечный прогноз на два шага
вперед.
Мы получим 2 + 0,5 помножить на уже
найденное нами математическое ожидание от Y101 условно,
это 3,82- 0,06*
Y100 (4) и + 0.
Упрощаем и получаем
2 плюс половина от 3,82,
это 1,91 и
минус (6 * 4 это 24)
и мы в результате получаем результат 3,67.
Соответственно, мы построили прогноз на один шаг вперед
точечный и на два шага вперед тоже точечный прогноз.
Теперь перейдем к дисперсии ошибки прогноза, к пункту b.
Пункт b.
Посчитаем Var(Y101- Y
(с крышечкой) 100 + 1 при условии, что я знаю Y1,...
Y100) Давайте сначала немножко упростим эту формулу.
Конечно, это ошибка прогноза, но как я строю свой прогноз?
Мой прогноз он зависит только от того, что я знаю.
Построить прогноз, который бы зависел от того, чего вы не знаете, не получится.
Поэтому раз Y (с крышкой) 100
+ 1 строится на основании того, что я знаю, то, с моей точки зрения,
это известная величина, и она на дисперсию никак не влияет на условную.
Поэтому я получаю Var(Y101 при условии Y1,...
Y100) Ну вот теперь подставлю.
Получится условная дисперсия Var(2 + 0,5*Y100
- 0,06 *Y99 +
ε101 | при условии, что я знаю Y1, ...
Y100).
Опять же, Y100 — это известная мне величина.
Y99 — это известная мне величина.
И 2 — это, вообще, константа, поэтому на условную дисперсию они не влияют.
Получается условная
дисперсия Var(ε101 при условии Y1,...
Y100) Но ε101, будущий шум, никак не зависит от текущих игреков,
поэтому условная дисперсия превращается в безусловную
Var(ε101) и она по условию равна 4.
И аналогично мы можем посчитать дисперсию ошибки прогноза на два шага вперед.
Var(Y102 -
Y (с крышкой) 100 + 2 |
при условии, что я знаю Y1,...
Y100) равняется...
Опять же, прогноз строится на основании известной мне информации,
поэтому на разброс ошибки не влияет.
Это есть просто дисперсия.
y 102 при условии y1,..., y100.
Итак, нам надо посчитать дисперсию y102 при условии,
что я знаю y1,..., y100.
Я быстренько напомню уравнение,
что yt = 2 + 0,5yt − 1
− 0,06yt − 2 + εt.
Подставляем y102 сюда, получаем дисперсию 2
+ 0,5 на y101 −
0,06 на y100 + ε102 при условии,
что я знаю y1, ..., y100.
Поскольку величины y1, y100 мне известны, то 0,06 y100 —
для меня это известная величина, она не прибавляет дисперсию 2, это — константа.
Соответственно, остается дисперсия 0,5
на y101 + ε102 при условии,
что я знаю, что y1,..., y100.
Подставляем y101, пользуясь той же самой рекуррентной формулой.
Дисперсия 0,5 помножить на
2 + 0,5 на y100,
− 0,06 на
y99 + ε101,
и плюс еще ε102 при условии, что я знаю y1,..., y100.
Что мне здесь известно?
y100 мне известна.
y99 известна, 2- константа, поэтому их можно в дисперсии никак не отражать.
И у меня, наконец, останется совсем простое выражение: 0,5
на ε101 + ε102 при условии y1,...
y100.
Но и ε102 и ε102 не зависят от того, что я знаю,
никак с ним не связаны, поэтому это просто безусловная дисперсия.
0,5 на ε101 + ε102,
и это есть 0,5 в квадрате на дисперсию ε101.
Тут я напомню, что εt предполагались нормальными с математическим
ожиданием 0 и дисперсией 4, то здесь я получу 0,5 на 4,
плюс дисперсия 102 — тоже 4.
Получится одна четверть от 4-х +4, получится 5.
А дальше все просто.
Доверительный интервал, пункт с) 95 % предиктивный,
предиктивный интервал
для y101 будет
строиться по принципу: от y100+1(с крышечкой),
от нашего прогноза, минус, если я говорю про нормальное
распределение и возьму 95 % квантиль,
вернее границы для доверительного интервала 95 %,
у меня получится от −1,96 до 1,96.
Я напомню еще раз, вот эту 1,96 можно получить в R как q квантиль нормального
распределения порядка 0,975.
Значит доверительный интервал будет от y(с крышкой)
100 + 1 −1,96, помножить на стандартную ошибку,
а стандартная ошибка — это была корень из 4-х.
Но, соответственно,
y100 + 1 (с крышечкой) + 1,96 помножить на корень из 4-х.
И если мы подставим посчитанное нами y 100 + 1(с крышечкой),
то мы получим предиктивный интервал от −0,10 до 7,74.
Аналогично поступая с предиктивным интервалом для y102,
мы получим интервал от точечного прогноза 100 + 2 − 1,96
помножить на корень из, на этот раз 5-ти,
до y(с крышечкой) 100 + 2
+ 1,96 на корень из 5-ти.
Если выполнить арифметические действия,
то получится доверительный интервал от −0,71 до 8,05.
Соответственно, мы получили возможность строить
точечные и интервальные прогнозы в модели авторегрессии.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.
