Var(Y102 -
Y (с крышкой) 100 + 2 |
при условии, что я знаю Y1,...
Y100) равняется...
Опять же, прогноз строится на основании известной мне информации,
поэтому на разброс ошибки не влияет.
Это есть просто дисперсия.
y 102 при условии y1,..., y100.
Итак, нам надо посчитать дисперсию y102 при условии,
что я знаю y1,..., y100.
Я быстренько напомню уравнение,
что yt = 2 + 0,5yt − 1
− 0,06yt − 2 + εt.
Подставляем y102 сюда, получаем дисперсию 2
+ 0,5 на y101 −
0,06 на y100 + ε102 при условии,
что я знаю y1, ..., y100.
Поскольку величины y1, y100 мне известны, то 0,06 y100 —
для меня это известная величина, она не прибавляет дисперсию 2, это — константа.
Соответственно, остается дисперсия 0,5
на y101 + ε102 при условии,
что я знаю, что y1,..., y100.
Подставляем y101, пользуясь той же самой рекуррентной формулой.
Дисперсия 0,5 помножить на
2 + 0,5 на y100,
− 0,06 на
y99 + ε101,
и плюс еще ε102 при условии, что я знаю y1,..., y100.
Что мне здесь известно?
y100 мне известна.
y99 известна, 2- константа, поэтому их можно в дисперсии никак не отражать.
И у меня, наконец, останется совсем простое выражение: 0,5
на ε101 + ε102 при условии y1,...
y100.
Но и ε102 и ε102 не зависят от того, что я знаю,
никак с ним не связаны, поэтому это просто безусловная дисперсия.
0,5 на ε101 + ε102,
и это есть 0,5 в квадрате на дисперсию ε101.
Тут я напомню, что εt предполагались нормальными с математическим
ожиданием 0 и дисперсией 4, то здесь я получу 0,5 на 4,
плюс дисперсия 102 — тоже 4.
Получится одна четверть от 4-х +4, получится 5.
А дальше все просто.
Доверительный интервал, пункт с) 95 % предиктивный,
предиктивный интервал
для y101 будет
строиться по принципу: от y100+1(с крышечкой),
от нашего прогноза, минус, если я говорю про нормальное
распределение и возьму 95 % квантиль,
вернее границы для доверительного интервала 95 %,
у меня получится от −1,96 до 1,96.
Я напомню еще раз, вот эту 1,96 можно получить в R как q квантиль нормального
распределения порядка 0,975.
Значит доверительный интервал будет от y(с крышкой)
100 + 1 −1,96, помножить на стандартную ошибку,
а стандартная ошибка — это была корень из 4-х.
Но, соответственно,
y100 + 1 (с крышечкой) + 1,96 помножить на корень из 4-х.
И если мы подставим посчитанное нами y 100 + 1(с крышечкой),
то мы получим предиктивный интервал от −0,10 до 7,74.
Аналогично поступая с предиктивным интервалом для y102,
мы получим интервал от точечного прогноза 100 + 2 − 1,96
помножить на корень из, на этот раз 5-ти,
до y(с крышечкой) 100 + 2
+ 1,96 на корень из 5-ти.
Если выполнить арифметические действия,
то получится доверительный интервал от −0,71 до 8,05.
Соответственно, мы получили возможность строить
точечные и интервальные прогнозы в модели авторегрессии.