В реальности мы заинтересованы в построении прогнозов. Прогноз на h шагов вперед — формально это условное математическое ожидание от Yt + h | при условии того, что Yt и все предыдущие: (Yt- 1, Yt- 2,... ) известны. Ну, для краткости на практике его часто, чтобы не тащить вот этого крокодила, обозначают Y (с крышечкой) t + h, имея в виду под записью t + h, что это прогноз, когда мне известна вся информация вплоть до момента t, а прогнозирую я на h шагов в будущее. И давайте для конкретного примера спрогнозируем на один и два шага вперед, построим точечный прогноз и интервальный прогноз, то есть построим предиктивный интервал. Наша задача построить точечные и интервальные прогнозы в рамках AR модели. Итак, у нас есть готовая AR модель: Yt = 2 + 0,5*Y(t- 1)- 0,06*Y(t- 2) + εt, мы считаем, что εt имеет нормальное распределение с конкретным математическим ожиданием 0 и конкретной дисперсией 4. У нас есть данные по прошлым наблюдениям: Y1,... Y100. И скажем, известно, что Y99 = 3, а Y100 = 4. И наша задача: a) составить точеный прогноз, то есть Y(с крышечкой) 100 + 1, ну, так я подчеркиваю, что это прогноз с 100-го шага на один шаг вперед и Y(с крышечкой)100 + 2, b) посчитать дисперсию ошибки прогноза, то есть посчитать Var(Y101 - Y(с крышечкой)100 + 1 при условии, что я знаю все текущие игреки, Y1,... Y100 мне известны. Посчитать аналогично дисперсию ошибки прогноза на два шага вперед, при условии, что я знаю все игреки до текущего момента времени. И руководствуясь a и b, далее уже следуют легкие пункты, если мы сделали a и b, то построить 95 % доверительный интервал для будущих... построить 95 % предиктивный интервал, предиктивный интервал для будущих Y101 и Y102. Первый пункт a. Мы вспоминаем, как мы строим прогнозы в рамках AR модели. Мы строим прогнозы, беря условное математическое ожидание, то есть мы берем E(Y101 при условии, что мы знаем все игреки, Y100, Y99,... ) Мы подставляем формулу для Y101. Вот она. Это есть E(2 + 0,5*Y100- 0,06 *Y99 + ε101 при условии, что я знаю все до момента времени 100. Естественно, при таком подходе Y100 и Y99 для меня это просто известные числа, а вот Y101 — это случайная величина, не зависит от информации, которой я обладаю. Поэтому ее условное математическое ожидание равно безусловному и равно 0. Я получаю 2 + 0,5, поскольку Y100 — это то, что я знаю, то я просто подставляю, раз я его знаю, это 4- 0,06*3 + 0. Я получаю, что это 2 + 2- 0,18 и получается в результате 3,82. Это точечный прогноз на один шаг вперед. Аналогично мы строим прогноз точечный на два шага вперед: Y (с крышечкой)100 + 2 равняется... Подставляем формулу для условного математического ожидания E(Y102, при условии, что я знаю Y100, Y99,... ) = Подставляем формулу для Y102. Это условное математическое ожидание E от (2 + 0,5 *Y101- 0,06*Y100 + ε102| при условии, что я знаю игреки с сотого и более ранние. Смотрите: Y100 я знаю, ε102 не зависит, —это будущая случайная составляющая, — не зависит от того, что я знаю. А E(Y101 при условии Y100, Y99,... ) мы уже считали. Собственно, вот она. Вот она. Мы ее уже считали. Поэтому это можно просто написать, что это 3,82. И теперь у нас есть все ингредиенты. Мы можем смешать их и получить Y (с крышкой) точечный прогноз на два шага вперед. Мы получим 2 + 0,5 помножить на уже найденное нами математическое ожидание от Y101 условно, это 3,82- 0,06* Y100 (4) и + 0. Упрощаем и получаем 2 плюс половина от 3,82, это 1,91 и минус (6 * 4 это 24) и мы в результате получаем результат 3,67. Соответственно, мы построили прогноз на один шаг вперед точечный и на два шага вперед тоже точечный прогноз. Теперь перейдем к дисперсии ошибки прогноза, к пункту b. Пункт b. Посчитаем Var(Y101- Y (с крышечкой) 100 + 1 при условии, что я знаю Y1,... Y100) Давайте сначала немножко упростим эту формулу. Конечно, это ошибка прогноза, но как я строю свой прогноз? Мой прогноз он зависит только от того, что я знаю. Построить прогноз, который бы зависел от того, чего вы не знаете, не получится. Поэтому раз Y (с крышкой) 100 + 1 строится на основании того, что я знаю, то, с моей точки зрения, это известная величина, и она на дисперсию никак не влияет на условную. Поэтому я получаю Var(Y101 при условии Y1,... Y100) Ну вот теперь подставлю. Получится условная дисперсия Var(2 + 0,5*Y100 - 0,06 *Y99 + ε101 | при условии, что я знаю Y1, ... Y100). Опять же, Y100 — это известная мне величина. Y99 — это известная мне величина. И 2 — это, вообще, константа, поэтому на условную дисперсию они не влияют. Получается условная дисперсия Var(ε101 при условии Y1,... Y100) Но ε101, будущий шум, никак не зависит от текущих игреков, поэтому условная дисперсия превращается в безусловную Var(ε101) и она по условию равна 4. И аналогично мы можем посчитать дисперсию ошибки прогноза на два шага вперед. Var(Y102 - Y (с крышкой) 100 + 2 | при условии, что я знаю Y1,... Y100) равняется... Опять же, прогноз строится на основании известной мне информации, поэтому на разброс ошибки не влияет. Это есть просто дисперсия. y 102 при условии y1,..., y100. Итак, нам надо посчитать дисперсию y102 при условии, что я знаю y1,..., y100. Я быстренько напомню уравнение, что yt = 2 + 0,5yt − 1 − 0,06yt − 2 + εt. Подставляем y102 сюда, получаем дисперсию 2 + 0,5 на y101 − 0,06 на y100 + ε102 при условии, что я знаю y1, ..., y100. Поскольку величины y1, y100 мне известны, то 0,06 y100 — для меня это известная величина, она не прибавляет дисперсию 2, это — константа. Соответственно, остается дисперсия 0,5 на y101 + ε102 при условии, что я знаю, что y1,..., y100. Подставляем y101, пользуясь той же самой рекуррентной формулой. Дисперсия 0,5 помножить на 2 + 0,5 на y100, − 0,06 на y99 + ε101, и плюс еще ε102 при условии, что я знаю y1,..., y100. Что мне здесь известно? y100 мне известна. y99 известна, 2- константа, поэтому их можно в дисперсии никак не отражать. И у меня, наконец, останется совсем простое выражение: 0,5 на ε101 + ε102 при условии y1,... y100. Но и ε102 и ε102 не зависят от того, что я знаю, никак с ним не связаны, поэтому это просто безусловная дисперсия. 0,5 на ε101 + ε102, и это есть 0,5 в квадрате на дисперсию ε101. Тут я напомню, что εt предполагались нормальными с математическим ожиданием 0 и дисперсией 4, то здесь я получу 0,5 на 4, плюс дисперсия 102 — тоже 4. Получится одна четверть от 4-х +4, получится 5. А дальше все просто. Доверительный интервал, пункт с) 95 % предиктивный, предиктивный интервал для y101 будет строиться по принципу: от y100+1(с крышечкой), от нашего прогноза, минус, если я говорю про нормальное распределение и возьму 95 % квантиль, вернее границы для доверительного интервала 95 %, у меня получится от −1,96 до 1,96. Я напомню еще раз, вот эту 1,96 можно получить в R как q квантиль нормального распределения порядка 0,975. Значит доверительный интервал будет от y(с крышкой) 100 + 1 −1,96, помножить на стандартную ошибку, а стандартная ошибка — это была корень из 4-х. Но, соответственно, y100 + 1 (с крышечкой) + 1,96 помножить на корень из 4-х. И если мы подставим посчитанное нами y 100 + 1(с крышечкой), то мы получим предиктивный интервал от −0,10 до 7,74. Аналогично поступая с предиктивным интервалом для y102, мы получим интервал от точечного прогноза 100 + 2 − 1,96 помножить на корень из, на этот раз 5-ти, до y(с крышечкой) 100 + 2 + 1,96 на корень из 5-ти. Если выполнить арифметические действия, то получится доверительный интервал от −0,71 до 8,05. Соответственно, мы получили возможность строить точечные и интервальные прогнозы в модели авторегрессии.
