Помимо точечных оценок, интервальных оценок, интерес представляет проверка гипотез. Если у нас есть какая-то нулевая гипотеза, которую мы хотим проверить, и эта нулевая гипотеза сформулирована в виде системы из q уравнений на неизвестные параметры, и есть какая-то альтернативная гипотеза о том, что хотя бы одно из условий не выполнено, то эту гипотезу можно проверить с помощью так называемого теста отношения правдоподобия, по-английски Likelihood Ratio Test, и мы его будем сокращать отсюда LR. Формула для статистики LR — это 2 умножить на разницу значения функции правдоподобия в точке Θ с крышкой минус значение функции правдоподобия в Θ с крышкой при верной H_0. Оказывается, что если верна H0, эта статистика имеет хи-квадрат распределение с q степенями свободы. Рассмотрим проверку гипотез на примере: проверим в нашей задаче гипотезу о том, что λ = 1, против альтернативной гипотезы о том, что λ не равно 1, на уровне значимости 5%. Мы установили, что точечная оценка λ методом максимального правдоподобия, λ с крышкой, равна 1/2, доверительный интервал от 0.4 до 0.6. А теперь с помощью метода максимального правдоподобия мы проверим гипотезу H0 о том, что λ = 1, против альтернативной гипотезы о том, что λ не равно 1, на уровне значимости, скажем, 5%. Для этого посчитаем значение статистики отношения правдоподобия, Likelihood Ratio Test. Он равен 2 помножить на значение функции правдоподобия в точке, где λ равно оценке методом максимального правдоподобия, минус значение функции правдоподобия, когда в качестве оценки используется нулевая гипотеза. Считаем: равняется 2 помножить... Подставляем полученное λ с крышкой в функцию правдоподобия. Я напомню в сторонке, что функция правдоподобия l(λ) равняется 100 помножить на логарифм λ минус λ помножить на сумму y_i. Соответственно, в нашем случае будет получаться: 100 помножить на логарифм 1/2 минус 1/2 помножить на 200 минус 100 помножить на логарифм 1 минус 1 помножить на 200. Две скобки закрываются. Упрощаем это выражение, приводя подобные слагаемые, получаем: 2 помножить на 100 логарифм 1/2, минус 100 и плюс 200 нам даст плюс 100, равняется. 100 выносим за скобки, получаем 2 умножить на 100 умножить на минус логарифм 2 плюс 1. Логарифм 2 примерно равен 0.69. Соответственно, наше выражение равняется: 2 * 100 * (‒ 0.69 + 1) = 2 * 31 = 62. Это значение LR статистики, статистика равна 62. Теперь нам надо понять, отвергается ли гипотеза H0 при таком значении LR статистики или нет. Итак, мы проверяем гипотезу H0 о том, что λ = 1, против альтернативной гипотезы о том, что истинное значение λ не равно 1, при уровне значимости 5%. Мы посчитали наблюдаемое значение LR статистики, оно оказалось равно 62. Нам надо понять, много это или мало. Мы знаем, что, теоретически, при верной H_0, при верной H_0 LR статистика имеет хи-квадрат распределение с одной степенью свободы. В данном случае q = 1, так как у нас одно уравнение, λ = 1: наша нулевая гипотеза описывается с помощью одного уравнения, это одно уравнение. Мы рисуем график функции плотности хи-квадрат распределения. Здесь у нас значение хи-квадрат, здесь плотность вероятности. Функция плотности у хи-квадрат с одной степенью свободы имеет вот примерно такой вид. Где-то здесь находится хи-квадрат критическое. Мы хотим, чтобы площадь слева равнялась 0.95, а площадь справа равнялась 0.05. Здесь будет область, где H0 отвергается, а слева от хи-квадрат критического будет область, где H0 не отвергается. В нашем случае хи-квадрат критическое — это хи-квадрат критическое для хи-квадрат распределения с одной степенью свободы. Его можно найти либо по таблицам хи-квадрат распределения, либо выполнив вот такую команду в R: это квантиль хи-квадрат распределения, квантиль порядка 0,95, и степени свободы, degrees of freedom, равны 1. И по табличкам или с помощью R можно выяснить, что это значение равно 3.84. Соответственно, критическое значение хи-квадрат статистики равно 3,84, а наблюдаемое значение LR статистики равно 62. Наше хи-квадрат критическое — это 3,84, а наблюдаемое значение LR статистики лежит существенно дальше. И мы получаем вывод, что LR статистика попала в область, где H_0 отвергается. Соответственно, мы получаем вывод: H0 о том, что λ = 1, — эта гипотеза отвергается.
