Помимо точечных оценок,
интервальных оценок, интерес представляет проверка гипотез.
Если у нас есть какая-то нулевая гипотеза, которую мы хотим проверить,
и эта нулевая гипотеза сформулирована в виде системы из q уравнений на неизвестные
параметры, и есть какая-то альтернативная гипотеза о том,
что хотя бы одно из условий не выполнено, то эту гипотезу можно проверить с помощью
так называемого теста отношения правдоподобия,
по-английски Likelihood Ratio Test, и мы его будем сокращать отсюда LR.
Формула для статистики LR — это 2 умножить на разницу значения функции правдоподобия
в точке Θ с крышкой минус значение функции правдоподобия в Θ с крышкой при верной H_0.
Оказывается, что если верна H0,
эта статистика имеет хи-квадрат распределение с q степенями свободы.
Рассмотрим проверку гипотез на примере: проверим в нашей задаче гипотезу о том,
что λ = 1, против альтернативной гипотезы о том,
что λ не равно 1, на уровне значимости 5%.
Мы установили, что точечная оценка λ методом максимального правдоподобия,
λ с крышкой, равна 1/2, доверительный интервал от 0.4 до 0.6.
А теперь с помощью метода максимального правдоподобия мы проверим гипотезу H0 о
том, что λ = 1, против альтернативной
гипотезы о том, что λ не равно 1,
на уровне значимости, скажем, 5%.
Для этого посчитаем значение
статистики отношения правдоподобия, Likelihood Ratio Test.
Он равен 2 помножить на
значение функции правдоподобия в точке,
где λ равно оценке методом максимального
правдоподобия, минус значение функции правдоподобия,
когда в качестве оценки используется нулевая гипотеза.
Считаем:
равняется 2 помножить...
Подставляем полученное λ с крышкой в функцию правдоподобия.
Я напомню в сторонке, что функция правдоподобия l(λ)
равняется 100 помножить на логарифм
λ минус λ помножить на сумму y_i.
Соответственно, в нашем случае будет получаться: 100 помножить
на логарифм 1/2 минус 1/2
помножить на 200
минус 100 помножить
на логарифм 1 минус 1 помножить на 200.
Две скобки закрываются.
Упрощаем это выражение, приводя подобные слагаемые,
получаем: 2 помножить на 100 логарифм 1/2,
минус 100 и плюс 200 нам даст плюс 100,
равняется.
100 выносим за скобки,
получаем 2 умножить на 100 умножить
на минус логарифм 2 плюс 1.
Логарифм 2
примерно равен 0.69.
Соответственно, наше выражение равняется:
2 * 100 * (‒ 0.69 + 1)
= 2 * 31
= 62.
Это значение LR статистики, статистика равна 62.
Теперь нам надо понять,
отвергается ли гипотеза H0 при таком значении LR статистики или нет.
Итак, мы проверяем гипотезу H0 о том,
что λ = 1, против альтернативной гипотезы о том,
что истинное значение λ не равно 1, при уровне значимости 5%.
Мы посчитали наблюдаемое значение LR статистики,
оно оказалось равно 62.
Нам надо понять, много это или мало.
Мы знаем, что, теоретически, при верной H_0,
при верной H_0 LR статистика
имеет хи-квадрат распределение с одной степенью свободы.
В данном случае q = 1,
так как у нас одно уравнение, λ = 1: наша
нулевая гипотеза описывается с помощью одного уравнения,
это одно уравнение.
Мы рисуем график функции плотности хи-квадрат распределения.
Здесь у нас значение хи-квадрат, здесь плотность вероятности.
Функция плотности у хи-квадрат с одной степенью свободы имеет вот примерно
такой вид.
Где-то здесь находится хи-квадрат критическое.
Мы хотим, чтобы площадь слева
равнялась 0.95, а площадь справа равнялась 0.05.
Здесь будет область, где H0 отвергается,
а слева от хи-квадрат критического
будет область, где H0 не отвергается.
В нашем случае хи-квадрат критическое — это хи-квадрат
критическое для хи-квадрат распределения с одной степенью свободы.
Его можно найти либо по таблицам хи-квадрат распределения,
либо выполнив вот такую команду в R: это квантиль
хи-квадрат распределения, квантиль порядка 0,95,
и степени свободы, degrees of freedom, равны 1.
И по табличкам или с помощью R можно выяснить,
что это значение равно 3.84.
Соответственно, критическое значение хи-квадрат статистики
равно 3,84, а наблюдаемое значение LR статистики равно 62.
Наше хи-квадрат критическое — это 3,84,
а наблюдаемое значение LR статистики лежит существенно дальше.
И мы получаем вывод, что LR статистика попала в область, где H_0 отвергается.
Соответственно, мы получаем вывод: H0 о том,
что λ = 1, — эта гипотеза
отвергается.
Boris DemeshevSenior Lecturer
