Перейдём к свойствам, которые требуют нормальности ошибок ε. Опять же это свойство для конечных выборок. Мы говорили о том, что можно проверять гипотезы о значимости отдельного коэффициента или строить доверительные интервалы для отдельного коэффициента с помощью t-статистики. Раньше t-статистика считалась как оценка коэффициента β_j минус предполагаемое значение коэффициента — если тестировалась гипотеза о незначимости данного фактора, то, естественно, предполагаемое значение равнялось нулю, — делить на стандартную ошибку оценки коэффициента. Так выглядела t-статистика. Если мы, игнорируя нарушение предпосылки, будем по-прежнему использовать эту t-статистику, то окажется, к сожалению, что она только называется t-статистикой, а t-распределения она не имеет. И проверять таким образом гипотезу с помощью неё о значимости отдельного коэффициента или строить доверительные интервалы для значимости отдельного коэффициента сейчас нельзя. Также мы говорили, что RSS, делённое на σ² при фиксированных регрессорах, имеет хи-квадрат распределение с n – k степенями свободы, что позволяло нам, например, построить доверительный интервал для неизвестного параметра σ². На этот раз это снова не так. К сожалению, для конечных выборок, несмотря на то, что ε нормально, в силу того, что нарушена одна из предпосылок, оказывается, что RSS, деленное на σ² при фиксированном X, уже не имеет хи-квадрат распределение с n – k степенями свободы. И очередная неприятная новость — если мы раньше могли проверить гипотезу о нескольких ограничениях сразу, построив две регрессии, — одну ограниченную, другую неограниченную, — и посчитав f-статистику по формуле RSS ограниченной регрессии минус RSS неограниченной регрессии, делённое на количество ограничений, и в знаменателе RSS неограниченной регрессии, делённое на степени свободы, на (n – k), — и мы могли быть уверены раньше, при выполнении всех предпосылок, что эта статистика, недаром она называется F, имеет F-распределение с r и n – k степенями свободы, в текущей ситуации, в ситуации гетероскедастичности, к сожалению, эта дробь уже не имеет F-распределение с r и n – k степенями свободы. То есть, можно подвести краткий итог, все свойства, которые связаны с точным законом распределения в конечной выборке, перестали выполняться. Дробь, которая раньше была t-статистикой, теперь не t-статистика, а только так называется, а t-распределения не имеет. Дробь, которая раньше была, называлась хи-квадрат и была хи-квадрат статистикой, теперь не имеет такого распределения. И дробь, которая называлась F-статистикой, — её по-прежнему можно называть F-статистикой, — но F-распределения она уже не имеет, и проверять гипотезы с помощью неё уже нельзя. Перейдём к асимптотическим свойствам. Асимптотические свойства — это свойства наших оценок при большом количестве наблюдений, при n, стремящемся к бесконечности. Первая новость хорошая. К счастью, как и раньше, при росте числа наблюдений, если сделать наблюдений всё больше и больше, и больше, если у вас очень много наблюдений, то β с крышкой стремится по вероятности к неизвестному параметру β, который мы хотим оценить. То есть, несмотря на нарушение предпосылки о гетероскедастичности, если у вас много наблюдений, то вам хорошо, ваша β с крышкой примерно похожа на то, что вы хотите оценить, на настоящий вектор β. Вторая хорошая новость. По-прежнему, несмотря на нарушение одной из предпосылок, несмотря на условную гетероскедастичность, дробь RSS, делённое на n – k, по вероятности стремится к σ². То есть, если ваша задача узнать, чему равен разброс дисперсии ε_i безусловная, то эта задача также решается очень легко при большом количестве наблюдений. Дальше идут две плохие новости. t-статистика, а именно оценка коэффициента β_j с крышкой минус β_j делить на стандартную ошибку β_j с крышкой, раньше при большом количестве наблюдений становилась нормально распределена, то есть даже не предполагая нормальность отдельно взятых ε, можно было при большом количестве наблюдений проверять гипотезы, используя не t-распределение, а нормальное. На этот раз это, увы, не так. Статистика t, которая называется t и имеет вид β_j с крышкой минус β_j делить на стандартную ошибку β_j с крышкой, даже при большом количестве наблюдений на этот раз не имеет нормального распределения, и проверять с помощью неё гипотезы, используя нормальные критические значения, или строить доверительные интервалы, нельзя. Точно так же, если мы не предполагали нормальность ε, но при этом мы были уверены раньше, что у нас много наблюдений, мы по-прежнему могли проверять гипотезу о нескольких ограничениях сразу. Для этого нам надо было построить две регрессии, ограниченную и неограниченную, и разница сумм квадрат остатков, деленное на сумму квадратов остатков в неограниченной модели, подправленная на степени свободы n – k, имела при большом количестве наблюдений хи-квадрат распределение с r степенями свободы, где r — это количество ограничений, которое вы проверяли. В нашем случае это снова не работает, то есть дробь посчитать можно без проблем, но она даже при большом количестве наблюдений не имеет хи-квадрат распределение.
