Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
5.1.1. Гомоскедастичность [+доска]
Loading...
Из курса от партнера National Research University Higher School of Economics
Эконометрика (Econometrics)
357 оценки
Из урока
Гетероскедастичность
В древнерусском Разноразбросие :)
Познакомьтесь с преподавателями
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Сегодня мы разберем — что такое гетероскедастичность,
чем она нам грозит, и как с нею бороться, если это нужно.
Если бы гетероскедастичность придумали в Древней Руси,
ее бы называли «разноразбросие».
Что такое гетероскедастичность?
При проверке гипотез, построении доверительных интервалов мы предполагали,
что условная дисперсия ошибки ε_i при известных иксах равна константе.
Это называется «условная гомоскедастичность».
В отличие от условной гомоскедастичности в условной гетероскедастичности
предполагается, что дисперсия ε_i при фиксированных Х не постоянна,
то есть не равна константе и как-то определяется самими регрессорами.
Это и называется — гетероскедастичность.
Давайте посмотрим,
чем нарушение предпосылки о гомоскедастичности нам грозит.
Ну для начала давайте разберем небольшую тонкую разницу между условной
гетероскедастичностью и безусловной гетероскедастичностью.
Итак, условная гетероскедастичность — это когда
дисперсия ε_i при фиксированных Х непостоянна.
А безусловная гетероскедастичность — это когда дисперсия ε_i просто непостоянна.
Давайте на примере поймем аккуратно в чем разница.
Чтобы лучше разобраться в разнице между условной гетероскедастичностью
и безусловной гетероскедастичностью, рассмотрим три случая,
три простых примера.
Случай А.
Мы рассмотрим случайную выборку,
то есть наблюдения будут независимые и одинаково распределены.
В частности, пара: ошибка в первый момент и регрессор в первый момент,
объясняющий переменную, будут распределены точно так же, как ошибка во второй
момент времени и регрессор, относящийся ко второму моменту времени.
И эти две пары будут не только одинаково распределены, но и независимы.
И зададим закон распределения.
Пара x₁ε₁ табличкой.
x₁ε₁.
x₁ будет принимать значения либо 1, либо 10.
ε₁ — мы напишем потенциальное значение: -10, -1, 1, 10.
Но по факту в случае А используем меньшее количество вариантов.
В табличку занесем вероятность.
И в силу независимости и одинаковой распределенности, закон распределения пары
ε₂х₂ будет точно такой же.
Полностью я переписывать не буду, поставлю здесь «аналогично».
И в рамках этого условия я хочу выяснить, имеет ли у меня место условная
гетероскедастичность, имеет ли у меня место безусловная гетероскедастичность.
Для этого я посчитаю математическое ожидание от ε₁ при условии x₁,
математическое ожидание от ε₁ в квадрате при условии x₁.
Дисперсию ε₁ при условии х₁.
Обычное математическое ожидание от ε₁ безусловное
и обыкновенную безусловную дисперсию ε₁.
Поскольку закон распределения связки ε₂х₂ такой же,
то аналогичные характеристики для пары х₂ε₂ будут точно такими же.
Поехали!
Математическое ожидание от ε₁ при условии х₁.
Поскольку х₁ принимает всего два значения, то нам и надо рассмотреть эти два случая.
Какие значения может принимать ε₁, если известно, что х₁ равно 1?
Составляем табличку с вероятностями.
Получаем, что если х₁ = 1,
то есть первая строчка, то ε₁ может
принимать значения либо -1, либо 1.
Поскольку мы вычеркнули вторую строчку, и мы точно знаем,
что мы находимся в рамках первой строчки,
то все вероятности пропорционально возрастают так, чтобы в сумме составить 1.
То есть вот эти две вероятности с 1/4 увеличиваются в 2 раза,
чтобы в сумме дать 1.
Значит здесь будет 1/2, 1/2.
И аналогично математическое ожидание ε1 при условии, что х₁ равняется 10,
значения потенциальные у ε₁ такие же — -1 и 1.
И вероятности тоже такие же — 1/2, 1/2.
Соответственно, в данной ситуации я вижу,
что математическое ожидание от ε₁, если я знаю, что х₁ равно 1,
равно -1 * 1/2, +1 * 1/2, = 0.
Математическое ожидание от ε₁, если я знаю, что х₁ = 10,
= -1 * 1/2 + 1 * 1/2 = 0.
Следовательно, я прихожу к выводу, что неважно,
что я знаю про х₁, то, что оно равно 1 или то, что оно равно 10,
я вижу, что среднее значение ε₁ равно в любом случае 0.
Я могу этот факт отразить в виде одной записи, что математическое ожидание от ε₁
при условии, что я знаю х₁, равно 0 вне зависимости от х₁.
Аналогично, составляя таблички для ε₁ в квадрате и
для ε₁ в квадрате при разных значениях х₁,
получаем математическое ожидание от ε₁ в квадрате при условии х₁.
Составляем.
Значения ε₁ в квадрате, если я знаю, что х₁ = 1.
Тут все гораздо проще.
Поскольку ε само принимает значения: -1, 1, то квадрат ε, естественно,
принимает только значение 1.
И вероятность этого = 1.
Аналогично для ε₁ в квадрате, если я знаю, что х₁ = 10.
ε₁ в квадрате опять же = 1,
и вероятность = 1.
Стало быть, я вижу, что математическое ожидание от
ε₁ в квадрате, если я знаю, что х₁ = 1, = 1.
Математическое ожидание от ε₁ в квадрате,
если я владею информацией, что х₁ = 10, также = 1.
То есть вне зависимости от информации и об иксе,
я знаю, что математическое ожидание от ε₁
в квадрате при условии х₁, = 1.
Остальные показатели мы уже можем посчитать по,
не зная закона распределения,
а руководствуясь только имеющейся здесь информацией, по стандартным формулам.
Соответственно, дисперсия ε₁ при условии х₁,
это есть математическое ожидание от ε₁ в квадрате при условии х₁,
минус квадрат условного математического ожидания.
Это есть 1- 0 в квадрате, это есть 1.
Обыкновенная, безусловная, без наличия информации об иксе.
Математическое ожидание от ε₁,
пользуясь свойством, что можно внутри без изменения
результата дописать любое условное математическое ожидание.
Я допишу условное по х₁.
Это равняется математическое ожидание от нуля, как мы выяснили, и это 0.
И наконец, обычная безусловноя
дисперсия ε₁,
используя теорему Пифагора, это дисперсия от ε₁,
от условного математического ожидания ε₁ при условии х₁,
плюс математическое ожидание от условной дисперсии ε₁ при условии х₁.
И это есть дисперсия от 0,
плюс математическое ожидание от 1,
и это есть 1.
Соответственно, мы в данной задаче нашли все необходимые
нам математические ожидания условной и безусловной и дисперсии.
И мы можем теперь сделать вывод о наличии или отсутствии условной и безусловной
гетероскедастичности.
А именно — что означало бы,
что означает условная,
условная гомоскедастичность?
Условная гомоскедастичность означает, что дисперсия
ε_i при условии х_i равно константе.
Ну в нашем случае, поскольку результаты не зависят от номера,
у нас имеет место случайная выборка с одинаковыми табличками,
поэтому, если здесь мы пришли к выводу, что условная дисперсия ε₁ при
условии х₁ равна 1, то для любого i это будет в нашем случае всегда равно 1.
То есть у нас тут имеет место условная гомоскедастичность.
И точно так же в нашем случае, в случае А,
имеет место безусловная, безусловная гомоскедастичность.
Если я рассмотрю просто дисперсию ε_i,
то она вне зависимости от номера, как у первого ε равна 1,
так же у второго ε будет равна 1, и у любого ε она будет равна 1.
А условия постоянства обыкновенной дисперсии мы называем
безусловной гомоскедастичностью.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
