Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
3.1.1. Прогнозирование во множественной регрессии
Loading...
Из курса от партнера National Research University Higher School of Economics
Эконометрика (Econometrics)
320 оценки
Из урока
Дамми-переменные, сравнение вложенных моделей
Дамми для дам и не только :)
Познакомьтесь с преподавателями
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
В сегодняшней третьей лекции мы разберём два сюжета.
Первый сюжет — это прогнозирование, как строить прогнозы и,
более интересно, как строить доверительные интервалы для прогнозов.
И второй сюжет — это как выбрать наилучшую модель.
Вот если у меня есть две модели, как сравнить, как проверить гипотезу о том,
верна ли первая модель или верна ли вторая модель.
Итак, начнём с прогнозирования.
У нас есть теоретическая модель на примере двух
объясняющих переменных y_i = β₁ + β₂ x_i + β_3 z_i + ε_i,
и, соответственно, оценив неизвестные коэффициенты β₁, β₂,
β_3 методом наибольших квадратов, мы получаем оценённую регрессию,
которая нам позволяет делать точечные прогнозы: ŷ i-тое
равно β₁ с крышкой плюс β₂ с крышкой на x с β_3 с крышкой на z.
Естественно, случайную составляющую ε мы спрогнозировать не можем,
вместо неё стоит ноль.
Но интересно не точечные прогнозы построить,
а интересно построить доверительный интервал.
Интересно, вот мы, хорошо спрогнозировали,
что завтра будет минус 20 градусов: это от минус 21-го до минус 19-ти?
Или это от минус 40-ка до нуля?
То есть интересно потроить доверительный интервал, понять,
насколько наш прогноз является точным.
И вот здесь, чтобы говорить о ширине доверительного интервала, надо,
вообще говоря, уточнить, а что мы, собственно, прогнозируем.
Представим себе, что мы исследуем, например, что-то такое простое, скажем,
зависимость веса человека от его характеристик: от,
скажем, роста, пола и других характеристик.
И, соответственно, что является неизвестным?
Под неизвестным можно рассмотреть две величины.
Допустим, я хочу построить прогноз для человека с заданным ростом,
скажем, с ростом 170 сантиметров для мужчины.
И тут возникает два варианта: я могу строить доверительный интервал
для веса среднестатистического мужчины с ростом 170 сантиметров,
а могу строить доверительный интервал, который называется предиктивный интервал,
для конкретного мужчины с ростом в 170 сантиметров.
В чём разница?
Одно дело, если я возьму всех мужчин ростом 170 сантиметров,
а, другое дело, вот сейчас в комнату войдёт мужчина ростом 170 сантиметров.
И моя неуверенность в моём прогнозе роста в этих двух случаях разная.
Почему?
В первом случае средний рост всех мужчин,
которые, вернее, средний вес всех мужчин,
которые имеют рост 170 сантиметров — это какая-то константа.
Вот эта вот одна константа — средний рост всех мужчин.
Я его не знаю, и я имею выборку наблюдений,
могу попытаться его спрогнозировать.
Соответственно, ошибка прогноза, которая возникает,
она связана только с тем, что у меня данные не по всем мужчинам Земли,
а у меня данные только по небольшой случайной выборке.
А вторая задача, если я пытаюсь спрогнозировать рост конкретного мужчины,
который вот сейчас войдёт в комнату, и у него рост 170 сантиметров.
Если я пытаюсь спрогнозировать его вес, то здесь источников ошибки два.
Первый источник ошибки — это то,
что я руководствовался при оценке модели выборкой,
а второй источник ошибки состоит в том, что это не среднестатистический мужчина,
рост которого равен константе, а это случайный мужчина ростом 170 сантиметров.
Поэтому во втором случае два источника ошибки,
и предиктивный интервал будет шире.
Давайте посмотрим более детально.
Если я прогнозирую условное среднее, то есть E от у при фиксированных регрессорах,
то у меня возникает понятие ошибки прогнозирования условного среднего, то
есть ŷ, прогноз, минус средний вес всех мужчин ростом 170 сантиметров,
и дисперсия этой ошибки прогноза, ошибки прогнозирования среднего веса,
— она при фиксированном регрессоре просто равна дисперсии прогноза,
потому что при фиксированных регрессорах математическое ожидание условное
— это константа, и, соответственно, её условная дисперсия равна нулю.
И, соответственно, мы получаем, что нам надо просто,
фактически, посчитать дисперсию β₁ с крышкой плюс β₂ с крышкой x_i
плюс β_3 с крышкой z_i при фиксированных регрессорах.
Однако если меня интересует дисперсия ошибки
прогнозирования конкретного наблюдения, то конкретное наблюдение - это что такое?
Это среднестатистическое плюс эта самая случайная составляющая ε.
И у неё дисперсия, конечно, больше.
Если я посчитаю дисперсию ошибки при прогнозировании конкретного наблюдения,
у меня получится, что к дисперсии β₁
с крышкой плюс β₂ с крышкой x_i плюс β_3 с крышкой z_i
условной прибавляется условная дисперсия ε_i.
То есть дисперсия во втором случае больше и, стало быть, доверительный интервал,
предиктивный интервал будет шире во втором случае.
Надо опять же сказать, что σ²,
дисперсия прогноза, дисперсия ε — они неизвестны,
и вместо них мы всегда сможем посчитать и будем использовать во всех расчётах не
настоящие дисперсии, а оценки дисперсий: вместо Var будет стоять Var с крышкой.
Мы будем использовать стандартные ошибки, то есть стандартная ошибка y_i с
крышечкой — это корень из оценки дисперсии y_i с крышечкой при фиксированных иксах.
Соответственно, подходить к построению доверительного интервала,
как и в случае с доверительными интервалами для коэффициентов,
можно двумя способами: либо нужно иметь большое количество наблюдений,
либо нужно верить в нормальный закон распределения ε_i при фиксированных иксах.
В одном случае мы будем получать, что ошибка,
делённая на стандартную ошибку, стремится к нормальному распределению,
в другом случае ошибка прогноза, делённая на стандартную ошибку,
будет иметь t-распределение с n – k степенями свободы.
И в соответствии с этим мы получим два подхода к подсчёту доверительного
интервала: один при нормальном распределении, другой при большой выборке.
Аналогично, абсолютно то же самое будет с предиктивным интервалом,
то есть с интервалом для конкретного наблюдения.
Можно работать в рамках предположения о большом количестве наблюдений,
можно работать в рамках предположения о нормальном распределении ε_i.
И сейчас мы на конкретном примере посмотрим, как строить доверительный
интервал и как строить предиктивный интервал для отдельного наблюдения.
Ещё раз о терминологии: когда говорят «доверительный интервал», обычно
имеют в виду доверительный интервал для среднего значения зависимой переменной,
когда говорят «предиктивный интервал», обычно имеют в виду интервал
для значения зависимой переменной для конкретного наблюдения.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.
