Итак, мы вывели оценки для дисперсии β₂ с крышкой, ковариации β₁, β₂ с крышкой при фиксированном Х и дисперсии β₁ с крышкой при фиксированном Х. Соответственно, пожалуй самая важная формула, это то, что дисперсия условная — β₂ с крышкой при фиксированном Х, это σ² делённое на сумму x_i минус х среднее в квадрате. И аналогичным образом мы получили две других формулы для дисперсии β₁ с крышкой и ковариации β₁, β₂ с крышкой условной по регрессерам. Тот, кто когда-либо слушал другой курс эконометрики, возможно встречался с тем, что рассчитывались коэффициенты просто дисперсии: безусловная дисперсия, β₁ с крышкой, безусловная дисперсия β₂ с крышкой и регрессоры иксы были не стохастические. И этот человек с удивлением увидит точно такую же формулу и спросит: «ну, а зачем все эти сложности со стохастическими иксами, если получаются точно такие же формулы. Зачем нужна эта условная дисперсия? Почему нельзя было обойтись безусловной?» Ответ на этот вопрос следующий: формула как раз получается такой, потому что человеку хочется как-то рассуждать попроще. Рассуждать в сложном случае примерно так же, как он рассуждает в простом. Именно поэтому формула выходит такой. А формула для настоящей дисперсии β₂ с крышкой, она к сожалению будет громоздкой, она будет зависеть от того, как конкретно распределены иксы в случае со стохастическими регрессорами. Что касается общего случая, не случая парной регрессии, когда у нас одна объясняющая переменная x_i, а если у нас много объясняющих переменных: x, z, w и так далее, то в общем случае формулу для условной дисперсии β_j с крышкой написать в явном виде сложно, в скалярном, но однако можно предложить простой способ получения этой дисперсии. А именно, условная дисперсия оценки j-го коэффициента при фиксированных иксах, ее можно получить следующим образом: можно взять σ² поделить на RSS в специальной вспомогательной регрессии. Этот RSS вспомогательной регрессии это RSS, то есть сумма квадратов остатков в регрессии этого самого j-го регрессора, j-ой объясняющей переменной на остальные объясняющие переменные. Соответственно, эта формула является обобщением той формулы для условной дисперсии β₁ с крышкой при фиксированном X и дисперсии β₂ с крышкой при фиксированном X. Что мы вывели? К счастью, используя линейную алгебру, можно доказать, что вся ковариационная матрица, условная ковариационная матрица вектора β с крышкой при фиксированных иксах имеет очень простой вид, а именно, это σ² умножить на Х транспонированное Х в минус в первой степени. То есть для тех, кто не знаком с линейной алгеброй, можно просто понимать, что средства линейной алгебры позволяют в компактном виде записать ковариационную матрицу вектора β с крышкой. А для тех, кто знаком с линейной алгеброй, мы докажем этот факт, поскольку он доказывается довольно просто и показывает некоторую неплохую технику работы с ковариационными матрицами. А именно, подобно дисперсии, из дисперсии, если вы помните, константа выносится с квадратом. Такое свойство у дисперсии. Дисперсия а на случайную величину х — это а² на дисперсию х. Для ковариационных матриц свойство очень похожее. А именно, ковариационная матрица A умножить на какой-то вектор у, это A умножить на ковариационную матрицу вектора у умножить на A транспонированное, на A-штрих. И еще для того чтобы легче понимать доказательства, давайте вспомним два простых факта про транспонирование, а именно, что если надо транспонировать произведение матрицы — А на B-штрих, то это то же самое, что перемножить транспонированные матрицы в обратном порядке B-штрих на А-штрих. И второй факт про транспонирование то, что транспонирование матрицы и обращение можно менять местами. Можно сначала обратить матрицу, потом транспонировать. Можно сначала транспонировать, а потом обратить матрицу, от этого результат не поменяется. Из этих двух простых фактов следует, что Х транспонированное Х это симметричная матрица. Если транспонировать Х транспонированное Х, то останется Х транспонированное Х. И то же самое относится к этой матрице в минус первой степени. Теперь переходим, собственно, к выводу ковариационной матрицы для вектора β с крышкой средствами линейной алгебры.
