Если у вас есть несколько случайных величин.
Вот случайная величина s и r из нашего примера.
Их тоже можно рисовать вот так вот.
Это вот s, и это вот r.
Соответственно, здесь наша главная задача — просто
отразить тот факт, что иногда сумма двух случайных величин является третьей.
То есть тот факт, что если у меня будут какие-нибудь случайные величины,
Допустим,
a и b — это будут случайные величины, и они будут равняться третьей.
Это будет случайная величина.
Этот факт мы будем изображать.
Вот вектор a, вектор b и вектор c.
Оказывается, что даже вот такие простые
изображения что-то помогут понять и увидеть формулы.
Соответственно, это случайная величина r, это случайная величина s.
Рассмотрим множество тех случайных величин,
которые можно получить как функции от r.
То есть вот это вот облачко — это все случайные величины,
которые получаются как функции от r.
То есть в этом облачке лежит вот кончик случайной величины r в кубе
и ещё куча других случайных величин.
То есть это облачко — это все функции от r.
И среди функций от r есть функция от r такая, которая больше
всего похожа на случайную величину s, которая является к ней ближайшей.
Вот эта функция — это есть s с тильдочкой, и s с тильдочкой
— это есть математическое ожидание от s при известном r.
И вот этот угол, он тоже прямой.
Откуда это следует?
Чем мы будем измерять для случайных величин косинус угла?
Скалярным произведением между случайными
величинами s и r мы будем считать ковариацию s и r.
Такая у нас будет геометрическая интерпретация.
Но, соответственно, в силу этой геометрической интерпретации,
поскольку длина случайной величины в квадрате — это должно быть
скалярное произведение случайной величины самой с собой,
а ковариация случайной величины самой с собой — это есть её дисперсия.
Соответственно, у нас появится геометрический смысл дисперсии.
Дисперсия — это будет квадрат длины случайной величины.
У каждой случайной величины, помимо математического ожидания,
появится ещё и квадрат длины.
Что мы на этом рисунке видим?
Почему я здесь нарисовал прямой угол?
По определению, по определению условного математического
ожидания ковариация между
s минус s с тильдочкой и любой
функцией g(r) должна равняться нулю.
Но что это за вектор s минус s с тильдочкой?
s минус s с тильдочкой — это вот этот вот вектор.
Вот этот вектор — это s минус s с тильдой.
То есть это условие говорит о том,
что скалярное произведение вектора s минус s с тильдой,
вот этого вертикального вектора, и любого вектора из этого облачка равняется нулю.
Но раз ковариация равна нулю, значит,
выходит, что и косинус угла равен нулю.
Поскольку косинус угла между двумя случайными величинами мы определим,
естественно, как скалярное произведение s делить на r,
делённое на длину одного, на длину другого.
Соответственно, если ковариация между случайными величинами равна нулю,
то мы будем считать, что эти величины перпендикулярны.
То есть это означает, что случайная величина s минус s с тильдой,
косинус угла между ней и любой случайной величиной вида g(r) равен нулю,
это означает, что s минус s с тильдой перпендикулярна g(r).
Таким образом получается, что разница между случайной
величиной и её условным математическим ожиданием некоррелирована,
или перпендикулярна любой функции от r.
У нас получается такая замечательная геометрическая интерпретация.
Отсюда у нас будет действовать теорема Пифагора.
И теорема Пифагора будет говорить,
что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Но что такое квадрат длины?
Мы договорились, что квадрат длины — это дисперсия.
Соответственно, у нас возникнет теорема Пифагора, которая говорит,
что дисперсия s равняется дисперсия s
с тильдой плюс дисперсия s минус s с тильдой.
Этот факт напрямую следует из того,
что величины s с тильдой и s минус s с тильдой некоррелированы.
И можно ещё вот так вот записать: дисперсия s равняется
дисперсия от условного математического
ожидания s при условии r плюс дисперсия разницы между
случайной величиной и её условным математическим ожиданием.
И, оказывается, эту формулу можно записать в довольно неожиданно симметричном виде.
Можно доказать, что вот эта дисперсия
разницы между случайной величиной и её условным математическим ожиданием,
можно доказать, что дисперсия s минус
s с тильдой равняется обыкновенному
матожиданию от условной дисперсии r.
И тогда у нас получится потрясающей неожиданности формула,
что дисперсия s равняется дисперсия условного математического
ожидания плюс математическое ожидание от условной дисперсии.
Вот такая вот у нас геометрическая интерпретация.
Boris DemeshevSenior Lecturer
