Аналогичные способы подсчета есть для случая непрерывных случайных величин.
Так, если пара случайных величин r и s имеет функцию плотности,
совместную, f(r, s), то можно посчитать условную функцию плотности,
поделив совместную функцию плотности f(r, s) на частную функцию плотности f(r), и
проинтегрировав s с помощью этой условной функции плотности f(s) при известном r,
можно получить условное математическое ожидание E(s|r) для пары
непрерывных случайных величин с совместной функцией плотности.
Еще раз напомним, что E(s|r) — это случайная величина,
в отличие от обычного математического ожидания E(s).
Условное математическое ожидание,
так же как и обычное, обладает рядом хороших свойств.
Если мы представим, что a и b — это константы, а s и r — это случайные
величины, тогда свойства условного математического ожидания,
ряд свойств будет аналогичен, ну, например,
E (as + b|r) — это aE(s|r) + b,
но еще будет ряд свойств.
Во-первых, обычное математическое ожидание от условного математического ожидания
— это все равно, что просто обычное математическое ожидание, а во-вторых,
если r известно, то любая функция от r, h(r),
например, r-квадрат или r-куб — тоже известная величина.
Соответственно, h(r), любая функция h(r) внутри условного математического
ожидания ведет себя как будто константа внутри обычного ожидания,
то есть, например, h(r) можно вынести за условное
математическое ожидание, потому что r известно, а, стало быть, и h(r) известно
и трактуется оно временно не как случайная величина, а как будто известная h(r).
Соответственно, математическое ожидание от h(r) при известном r – это просто h(r).
Помимо условного математического ожидания можно также определить
условную дисперсию и условную ковариацию.
Определяются они полностью по аналогии с тем,
как определялись обычная дисперсия и обычная ковариация.
А именно, условная дисперсия s при фиксированном r — это
условное математическое ожидание s-квадрат при известном r минус
квадрат условного математического ожидания s при известном r.
Аналогично определяется и условная ковариация.
Если знать, как считается условное математическое ожидание,
то несложно посчитать и условную дисперсию.
Я напомню определение.
Условная дисперсия одной случайной величины s при известном значении другой
случайной величины r — это есть математическое ожидание от s-квадрат при
известном r минус математическое ожидание от s при известном r, взятое в квадрат.
Это определение является полным аналогом обычной дисперсии,
ведь обычная дисперсия определяется точно также, только нет никакого условия.
Есть математическое ожидание от s-квадрат минус математическое ожидание от s,
взятое потом в квадрате.
Надо понимать концептуальную разницу, что обычная дисперсия — это константа,
а условная дисперсия — это случайная величина, потому что она зависит от r.
Действительно, вспомним наш простой пример.
В нашем простом примере было две случайных величины, s и r.
s принимало значение (0 10), r принимало значение (1 2).
И были заданы вероятности 0,25, 0,25, 0,2, 0,3.
Поскольку всего четыре исхода, сумма вероятности равнялась 1.
Мы с вами нашли, что математическое ожидание от s при
известном r — это есть 4+r, а математическое
ожидание от s-квадрат при известном r — это 40 + 10r.
В соответствии с этой формулой несложно найти
условную дисперсию s при известном r.
Это будет 40 + 10r - (4 + r)^2.
И это будет получаться
(40 - 16) = 24,
(10r - 8r) = 2r и -r^2.
Можно, в принципе, оставить ответ в таком виде, прекрасно видно,
что дисперсия s при условии r — это случайная величина,
которая принимает какие-то значения в зависимости от r,
но поскольку r — случайная величина, то и условная дисперсия — случайная величина.
Можно немножко упростить, поскольку у нас r принимает всего два значения.
r принимает либо значение 1, тогда дисперсия s при r,
равном 1, оказывается равной, 26 минус один, 25.
Или r может равняться 2, и тогда условная дисперсия s при r,
равном 2, подставляем два, (2r-r^2) уничтожилось и осталось 24.
И можно, в принципе, и проще сказать: из-за того,
что значений всего два у r, то можно выписать не квадратичную функцию,
а линейную функцию, которая принимает те же самые значения в этих же точках.
То есть, можно, в принципе, записать, запись не является однозначной,
что дисперсия s при известном r, она равняется,
например, можем так написать, 26-r.
При r, равном 1, мы получим 25, при r, равном 2, мы получим 24,
то есть, эта запись является верной, и эта запись является верной, главное,
что вот эти выражения равны с вероятностью 1, то есть вероятность того,
что 26 - r = 24 + 2r - r^2,
эта вероятность равна 1.
Соответственно, мы с вами посчитали условную дисперсию s при известном r.
У дисперсии условной и условной ковариации есть ряд хороших свойств: все они,
интуитивно их можно легко понимать, что если фиксировано r,
то любая функция h(r) ведет себя как константа.
В частности, например, дисперсия Var(s+h(r)|r) — это просто дисперсия Var(s|r),
поскольку известная величина h(r) на разброс s никак повлиять не может.
И точно так же в дисперсии Var(h(r)s|r),
h(r) можно вынести с квадратом за знак условной дисперсии.
И еще одно интересное свойство.
Дисперсия s имеет очень интересное разложение.
Дисперсия условного математического ожидания плюс
математическое ожидание от условной дисперсии.
Все эти свойства можно отчасти проиллюстрировать с
помощью геометрической иллюстрации.
Давайте нарисуем случайные величины как векторы и посмотрим,
где находится условное математическое ожидание и условная дисперсия.
Boris DemeshevSenior Lecturer
