Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
2.1.2. Пример подсчета условного математического ожидания [у доски]
Loading...
From the course by National Research University Higher School of Economics
Эконометрика (Econometrics)
316 оценки
From the lesson
Статистические свойства оценок коэффициентов
Бета с крышкой - друг и враг эконометриста :)
Meet the Instructors
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Для того чтобы лучше
понять концепцию условного математического ожидания, разберём простой пример.
Давайте ещё раз подчеркнём,
что s и r — это у нас случайные величины.
Мы разберём для начала скалярный пример.
Соответственно, математическое ожидание от s — это константа,
математическое ожидание от r — это константа,
а математическое ожидание от s при условии r — это случайная величина.
Ну и давайте посчитаем её на простом примере.
Но прежде всего надо понимать, к какой категории относится объект,
который мы считаем.
s и r — это случайные величины, E(s|r) — это тоже случайная величина.
Поехали.
Зададим совместное распределение пары s и r.
К примеру, r принимает значения 1 и 2, а s принимает значения 0 и 10.
Всего возможно четыре варианта, и вероятности каждого из четырёх
вариантов занесены в табличку: 0,25, 0,25, 0,2 и 0,3.
Естественно, сумма всех вероятностей равна единице: 0,25, 0,25, 0,2, 0,3.
Соответственно, происходит один из четырёх исходов,
и мы в каждом их четырёх исходов знаем значение s и r.
И нам нужно найти E(s|r).
Ну и давайте также найдём, чтобы поупражняться,
E от s-квадрат при известном r.
У нас есть определение условного математического ожидания,
но оно, к сожалению, неоперационное, им неудобно работать,
чтобы находить в каждом конкретном случае условное математическое ожидание.
Поэтому мы воспользуемся сформулированным результатом,
что E от s при условии r — это такая случайная величина, которая принимает
значение E от s при условии, что r = 1, если r = 1,
и E от s при условии r = 2, если r = 2.
Ну были бы другие значения у r, у нас был бы здесь
продолжен список потенциальных значений случайной величины E(s|r).
Сначала мы
перезапишем нашу пару случайных величин в таблицу другого вида.
Мы в строчку расположим все возможные исходы и их вероятности.
Значит, у нас случайная величина s принимает значения...
Какие у нас возможны сочетания?
s может быть равняться 0, а r может равняться 1,
s может равняться 0, а r может равняться 2, s может равняться 10,
а r может равняться 1 и s может равняться 10, а r может равняться 2.
И вероятности каждого из этих четырёх исходов: 0,
1 происходит с вероятностью 0,25; 0,
2 происходит с вероятностью 0,2; 10, 1 происходит с вероятностью 0,25; и 10,
2 происходит с вероятностью 0,3.
Вот мы записали это в такую табличку.
Давайте сначала первым шагом, соответственно,
посчитаем E от s при условии, что r равно единичке.
То есть что происходит?
Мы знаем, что r оказалось равно единичке.
Но если мы знаем, что r равно единичке,
то у нас появляются так называемые условные вероятности.
Вот это — это безусловные вероятности,
до наличия какой-либо информации о результатах эксперимента.
А если я знаю, что выпал случай r, равной единице,
то вероятности каждого из этих четырёх исходов меняются.
То есть у меня появятся условные вероятности,
вероятности тех же самых четырёх исходов при условии, что r равно единичке.
Но если r равно единичке, то, естественно, вероятность того, что r равно двум,
равна нулю.
Эти два варианта автоматом исключаются информацией о том, что r равно единичке.
Ну а дальше нам надо расставить тут числа так, чтобы, конечно,
сумма у них равнялась одному, — сумма вероятностей должна давать один,
вот эта строчка с вероятностями и эта строчка с вероятностями,
— а с другой стороны, пропорции старые должны сохраниться.
Ну, соответственно, нам надо написать два числа, которые в сумме дают один,
а пропорции такие же: 0,25, 0,25.
Ну эти два числа, как можно догадаться, это 0,5 и 0,5.
Ну более формально можно сказать, что я 0,25
делю на сумму этих чисел, на 0,25 + 0,25.
Вот я получил условные вероятности.
Ну и, соответственно, теперь я считаю обычно и условные матожидания.
Вот это условное матожидание, где здесь находится событие,
вот это будет константа, и она будет равна.
Значение s, здесь значение s 0 *0,5,
+ 10 * 0,5 = 5.
Отлично, почти половина работы сделана.
И теперь находим E от s при условии, что r равно двум.
Поступаем точно так же.
Сюда в табличку записываем новые условные вероятности,
вероятности при условии, что r = 2.
Если мы знаем, что r = 2, то это означает, что исход r,
равный единице, точно не произошёл, здесь вероятности должны равняться нулю.
А дальше нам надо написать вероятности так, чтобы сумма равнялась единице,
а пропорция сохранилась.
Ну тут отношение два к трём, это числа 2/5 и 3/5, тогда в сумме будет один.
Ну если формально считать, то как я вот здесь нахожу число?
Это 0,2 делить на их сумму 0,2 + 0,3.
Это, соответственно, 2/5.
Значит, здесь получается 2/5, здесь получается 3/5.
Соответственно, эти два числа в сумме дают один,
однако сохраняют пропорцию меж тем, что могло произойти.
И математическое ожидание от s стало быть
равняется: 0 * 2/5 +
10 * 3/5 И,
получается, равняется шести.
И теперь мы можем записать наш итоговый результат.
E от s при условии r равняется 5,
если r равняется 1.
И 6, если r равняется 2.
Вот мы получили условное математическое ожидание.
Это случайная величина.
Почему? Потому что r случайна, соответственно,
когда выпадает r и мы узнаём r, то мы можем посчитать E от s при условии r.
И в зависимости от r оно примет своё значение.
Ну вместо такой длинной записи списком значений «если»,
можно поступить несколько компактнее.
Давайте заметим, что наша случайная величина r принимает всего два значения.
И мы отложим здесь вот r, а здесь отложим E от s, по вертикали, при условии r.
Значит, если r = 1,
то 5, а если r = 2, то 6.
И вместо
вот этого длинного условия можно взять абсолютно любую функцию: линейную,
нелинейную, которая бы проходила через эти точки.
Ну самая простая функция, которая проходит через две точки, это, конечно же,
линейная, хотя можно было бы взять какой-нибудь квадрат вот так провести.
Но мы возьмём самую простую, линейную.
Уравнение этой прямой, которая бы проходила через (1, 5) и (2,
6), наклон у неё должен быть единичный, за единичку, — она прошла по
вертикали единичку, а в точке ноль она, соответственно, должна равняться четырём.
Ну ещё единичку отступим, значит, еще единичку от пяти надо убрать.
И получится, что эту пару точек можно записать
ещё проще: E(s|r) = 4
коэффициент пересечения с вертикальной осью, + r.
Соответственно, вот эта простая
формула — она на самом деле подменяет собой вот это длинное условие.
Ну, действительно, если r = 1, получится 5, если r = 2, получится 6.
И вот в такой постановке совершенно уже понятно,
что E(s|r) — это функция от r, да, давайте обратим внимание,
это функция от r, и кроме того это действительно случайная величина.
Точно таким же образом можно посчитать
E от s-квадрат при условии r.
Что поменяется в наших вычислениях,
если мы попробуем посчитать математическое ожидание s-квадрат при известном r?
Ну, собственно, надо добавить строчку с s-квадратом в табличку.
Если s принимает значения 0, 0, 10, 10, то s-квадрат,
естественно, принимает значения 0, 0, 100, 100.
Условные вероятности никоим образом не поменяются.
Поменяются только вот эти вот условные математические ожидания
при конкретных значениях r.
E от s-квадрат при условии r равно единичке будет в 10 раз больше.
Тут будет 0, тут будет 100.
Будет, стало быть, 50.
E от s-квадрат при условии r равно двоечке тоже увеличится в 10 раз, будет 60.
Ну и, соответственно, мы получим,
что всё просто увеличилось в 10 раз.
И в данном конкретном случае, это, конечно, не всегда так,
но в данном конкретном случае E от s-квадрат при условии r — это не что иное,
как 40 плюс 10 помножить на r.
Это тоже случайная величина, которая зависит от r.
И в качестве маленького наблюдения можно заметить такой любопытный факт.
Если я посчитаю математическое ожидание от (4 + r),
я получу 4 плюс математическое ожидание от r.
Это будет 4 плюс...
Математическое ожидание от r у нас выходит: 1
* 0,5,
+ 2 * 0,5,
ну поскольку r равновероятно принимает значения 1 и 2.
И, стало быть, это будет 4 + 1,5 это будет 5,5.
А с другой стороны,
если я возьму математическое ожидание от s,
то математическое ожидание от s равняется...
s принимает значение либо 0, либо 10.
Ноль, вероятность нуля 0,45.
Вероятность десятки 0,55.
И получится тоже 5,5.
Таким образом, мы на примере проиллюстрировали такое важное свойство
условного математического ожидания, а именно:
если s с тильдочкой — это условное математическое
ожидание при известном r, ну в нашем случае s с тильдочкой мы нашли,
что это просто 4 + r, — то оказывается, что математическое
ожидание от s с тильдой равняется математическому ожиданию от s.
И так будет всегда, это не просто случайное совпадение в данном примере.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.
