Теперь перейдем к проверке гипотез.
Допустим, мы хотим проверить гипотезу о том, что коэффициент при доле
сельскохозяйственного мужского населения равен нулю.
Напомню кратко условия задачи.
Итак, у нас есть оцененное уравнение регрессии,
есть оценка ковариационной матрицы, известно количество наблюдений.
И нам нужно проверить гипотезу о том, что на самом деле, фертильность не зависит от
показателя того, насколько этот регион является сельскохозяйственным.
Есть три способа проверить гипотезу.
Первый способ самый простой — посмотреть на построенный доверительный интервал.
Первый способ: посмотреть на доверительный интервал.
Мы строили доверительный интервал для β и доверительный интервал для β,
когда мы его построили, если его посчитать численно без корней,
окажется равным от -0.05 до 0.27.
Соответственно, мы видим, что ноль входит в этот доверительный интервал,
то есть мы не исключили ноль, значение β равное 0, когда построили доверительный интервал.
Это говорит о том, что гипотеза H0 о том, что истинное β = 0 не отвергается.
Если предварительно доверительный интервал построен, то проверить гипотезу очень
легко, достаточно посмотреть входит ли ноль в доверительный интервал.
Второй способ, он не требует построения доверительного интервала,
а соответственно, требует некоторых подсчетов.
Второй способ — это сравнить t-наблюдаемое и t-критическое.
Давайте посмотрим, как выглядит наша статистика.
t-статистика, она всегда выглядит как оценка коэффициента минус
истинное значение коэффициента делить на стандартную ошибку коэффициента.
В нашем случае, мы тестируем гипотезу о том,
что истинное значение коэффициента равно нулю.
Подставив сюда, мы получаем совсем простую формулу для t-статистики —
это отношение оценки коэффициента к стандартной ошибке.
Стало быть в нашем случае,
это отношение оценки коэффициента к стандартной ошибке,
здесь конечно находится оценка дисперсии, поэтому тут надо извлечь корень.
Это Var с крышкой, β_а с крышкой.
Соответственно, нам надо взять 0.109
поделить на корень из
0.00616 и получится примерно 1.4.
Как мы помним, у t-распределения с 44-мя
степенями свободы, у него критическое значение,
мы его уже считали, это 2.2.
И соответственно, мы видим, что t-наблюдаемое,
наше t-наблюдаемое попало в область от минус t-критического до t-критического.
А это область, где H0 не отвергается,
здесь H0 отвергается и здесь тоже H0 отвергается.
Соответственно, у нас из-за того,
что t-наблюдаемое попало в область, где H0 не отвергается,
вывод опять: H0 не отвергается.
И есть еще третий способ проверить H0,
сравнивая, который на практике используется довольно часто.
Третий способ.
Очень часто статистические пакеты считают так называемые показатели p-значения.
Что это такое?
Давайте я на одном графике покажу сложившуюся у нас ситуацию.
Вот это t-критическое, это минус t-критическое.
Вот это — это α пополам, вот это, это α пополам.
Альфа, я напомню, это 5%.
И я на соседнем графике изображу картинку с t-наблюдаемым.
В нашем случае, t-наблюдаемое оказалось чуть ближе к нулю.
Вот это 2.02.
А это t-критическое,
а t-наблюдаемое (t-observed) это 1.4.
Соответственно, α меряет площадь справа и суммарную площадь
справа и слева от t-критического.
А p-value, подобно альфа, меряет суммарную площадь справа и
слева от минус t-наблюдаемого и правее t-наблюдаемого.
То есть это P-значение пополам и это
P-значение пополам.
Соответственно, если компьютер выводит P-значение или мы сами можем его
посчитать руками, то достаточно просто сравнить P-значение
с α.
В нашем случае мы легко можем посчитать P-значение с помощью команды pt.
Посчитав t-наблюдаемое равное 1.4 мы можем
посчитать площадь, P-значение пополам, соответственно,
P-значение пополам — это будет площадь правее t-наблюдаемого,
это будет единичка минус площадь слева
в точке 1.4 и степени свободы 44,
поскольку pt показывает площадь слева.
И соответственно, домножив на два, мы выясним,
что P-значение равняется в данной задаче 0.17,
что больше α и следовательно, вывод тот же самый:
H0 не отвергается.
P-значение в данной задаче больше α.
В литературе, скажем в научных статьях,
очень часто стандартные ошибки выписывают под коэффициентами.
Это нужно для того чтобы, глядя только вот на одно выписанное
уравнение регрессии, можно было устно грубо проверить гипотезу
о значимости коэффициентов или построить доверительный интервал.
Нормальное распределение для него 95% критические значения
это примерно минус два и два соответственно, запомнив всего одно число, двойку,
можно устно строить доверительный интервал для коэффициентов.
Например, здесь оценка коэффициента β₁ с крышкой равна 59.8.
А оценка стандартной ошибки этого коэффициента равна 3.98.
Соответственно, 60 прибавляем и вычитаем два раза по четыре.
Соответственно, получается,
что доверительный интервал для неизвестного β₁ — это от 52 до 68.
60 плюс-минус 2 умножить на 4.60 плюс-минус 8.
Это очень легко, можно устно прикинуть или поделить одно на другое,
получить t-статистику, сравнить с двойкой и проверить значимость коэффициента.
Все статистические пакеты, имеющие отношение к эконометрике,
будь-то R, stata, spss, eviews, gretl,
всё, что угодно, все они выводят стандартную табличку,
по которой можно проверить гипотезы о значимости отдельного коэффициента.
Эта табличка устроена простым образом.
Сейчас мы разберем, каким конкретно.
Boris DemeshevSenior Lecturer
