Вторая лекция посвящена статистическим свойствам оценок коэффициентов. Для этого мы сначала сформулируем стандартные предпосылки, и эти стандартные предпосылки, их будет довольно много, будут вести к ряду интересных свойств. Свойства позволят нам строить доверительные интервалы для неизвестных коэффициентов и проверять гипотезы о том, что коэффициент равен какому-то конкретному значению. Для того чтобы сформулировать стандартные предпосылки, нам потребуется понятие условного математического ожидания. И мы рассмотрим это понятие для начала на примере ситуации, когда у нас есть две случайные величины r и s, и мы хотим построить такую случайную величину, которая называется условным математическим ожиданием E(s|r), которая по смыслу является наиболее похожей на s случайной величиной, которая выражается только через r. С формальной математической точки зрения, E(s|r) — это некая случайная величина s с тильдой, которая является, с одной стороны, функцией от r, и, с другой стороны, эта самая s с тильдой очень похожа на s, а именно: математической ожидание от s с тильдой равно математическому ожиданию от s, и ковариация между s и любой функцией от r равна ковариации между s с тильдой и той же самой функцией от r. То есть получается, что s с тильдой и s очень похожи, s с тильдой и s невозможно отличить, если смотреть только на математическое ожидание или на ковариацию с r, с r-квадрат, с любой функцией от r. Это определение, конечно, говорит о том, что s и s с тильдой похожи, но оно немножко неконструктивное и не совсем ясно, как считать это самое условное математическое ожидание. В простых случаях, когда величина r является дискретной, математическое ожидание s при фиксированном r можно посчитать, посчитав несколько условных математических ожиданий E от s при условии, что r равно своему первому значению a, E от s при условии, что r равно своему второму значению b, и так далее. Соответственно, скомбинировав их, мы получим, что E(s|r) — это такая случайная величина, которая принимает одно из этих значений в зависимости от того, какое значение приняла случайная величина r — a, b или с. Давайте перейдём к простому примеру, на котором мы посчитаем условное ожидание случайной величины s при условии r.