Кратко сравним медианную и классическую регрессии. В классической регрессии мы задаемся вопросом: какие факторы связаны с изменением среднего значения y при фиксированных регрессорах? В медианной регрессии мы задаемся другим вопросом: мы задаемся вопросом о том от чего зависит условная медиана y_i-того? То есть вполне возможно, что в одном случае будут получаться одни оценки β с крышкой и они будут состоятельными, а в другом случае получаются другие оценки β с крышкой и они тоже будут состоятельными. Надо еще раз понимать, что медианная и классическая регрессии отвечают на разные вопросы. Поэтому то, что там не совпадают оценки, — это вполне возможно и ничего плохого в этом нет. Одна не является более правильной, чем другая. Они отвечают на разные вопросы. В них совершенно сходна проверка гипотез. Асимптотически мы можем сказать, что β с крышкой — коэффициент оцененной регрессии минус истинное значение коэффициента делить на стандартную ошибку, по распределению эта случайная величина стремится к нормальной стандартной случайной величине. То есть фактически при большом количестве наблюдений способ проверки гипотез, способ построения доверительных интервалов будет абсолютно сходный. Ну, единственное, конечно что оценки β с крышкой и стандартные ошибки β с крышкой считаются по разным формулам. Одни формулы для классической регрессии, другие формулы для медианной регрессии, но тем не менее, в целом подходы совершенно сходны. И, конечно, надо отметить, что медиана и среднее медианное математическое ожидание для симметричного распределения совпадают, поэтому, если распределение ε_i-тое симметричное, то асимптотически никакой разницы между медианной регрессией и регрессией среднего не окажется. Среди минусов медианной регрессии можно отметить, пожалуй, что нет явных формул для β с крышкой и нет явных формул для стандартных ошибок β с крышкой, то есть некие численные компьютерные алгоритмы, которые позволяют их оценить, но какой-то компактной формулы, чтобы можно было написать на доске — такого в медианной регрессии нет. И, в частности поэтому, у медианой регрессии нет хороших распределений для конечных выборок. То есть в классической регрессии если предположить нормальность остатков, то можно получить какие-то результаты для малых выборок. В медианной регрессии такое, к сожалению, не получается. Даже если ε_i-тые нормальные, все равно в медианной регрессии мы не получим каких-то удобных простых законов распределения в конечной выборке. Ну плюсом медианной регрессии основным является то, что она позволяет по-другому взглянуть на данные, это очень важно — другой взгляд на данные. Ну другим тоже хорошим свойством, но все-таки не таким важным, как другой взгляд, является то, что медианная регрессия более устойчива по сравнению с классической к «выбросам» — резко экстремальным значениям, резко отрицательным сильно или сильно положительным значениям случайной ошибки ε_i-тое. И медианную регрессию можно обобщить до квантильной регрессии. Поскольку медиана — это, говоря другим языком, квантиль порядка 50 %, то есть ниже нее находится 50 % наблюдений, то можно говорить о квантильной регрессии порядка τ. Что такое квантиль порядка τ? Это такое число, вероятность попасть левей которого равна τ. И, соответственно, можно говорить, скажем, о квантиле порядка 10 % или о квантиле порядка 90 %. Соответственно, квантиль порядка 10 % — это такое число, вероятность попасть левей которого 10 %. Соответственно, скажем, квантиль доходов 10 %-ная — это, соответственно, такой доход, ниже которого имеют доходы 10 % населения. И в квантильной регрессии предполагается, что квантиль порядка τ линейно зависит от объясняющих переменных, то есть q_τ = β_1 + β_2 * x_i. И хотя зависимость предполагается линейной, но она может быть разной для разных квантилей. То есть квантиль порядка 10 % может зависеть от регрессора одной зависимостью, а квантиль порядка 90 % может зависеть от регрессоров, от объясняющих переменных другой зависимостью. То есть хотя зависимость там и там линейная, она может быть разной линейной. Для получения оценок в квантильной регрессии минимизируется не сумма квадратов ошибок прогнозов, как в классической, не сумма модулей ошибок прогнозов, как в медианной, а взвешенная или асимметричная сумма модулей ошибок прогнозов. А именно сумма w_i-тое — какие-то веса — помножить на разницу по модулю y_i-тое минус прогноз y_i-тое с крышкой. Соответственно, веса w_i-тое определяются следующим образом: если в этом наблюдении y_i-тое меньше, чем прогноз yi-тое с крышкой, то вес равен 1 – τ, а если y_i-тое больше, чем y с крышкой, то вес определяется как τ. И можно показать, что при выполнении некоторых предпосылок при минимизации этой взвешенной асимметричной суммы модулей ошибок, мы получим состоятельные оценки β₁ с крышкой и β₂ с крышкой для коэффициентов β₁ и β₂. И, соответственно, если вернуться к изучавшемуся нами набору данных по стоимости квартир в Москве, если построить регрессию ну по условно назовем недорогому жилью 10 %-ный квантиль, соответственно, квантиль 10 %-ный зависит как 3,9 + 1,3 умножить на общую площадь квартиры, а для дорогого жилья — 90 %-ная квантиль окажется что квантиль зависит как –102 + 3,6 умножить на общую площадь. Что это означает? Это означает, что для ну условно недорогого жилья при росте общей площади на 1 метр цена растет на 1,3 тысячи y.e., а для дорогого жилья при росте общей площади на 1 метр цена растет на 3,6 тысяч y.e.. Ну, соответственно, можно изобразить эту зависимость на графике следующим образом: по горизонтали отложена общая площадь квартиры, по вертикали отложена цена в тысячах y.e. и, соответственно, две линии на графике — это зависимость 10 %-ного квантиля в предположении что она линейная, и зависимость 90 %-ного квантиля в предположении что она линейная. И, соответственно, эти две линии они позволяют по-другому взглянуть на наш набор данных. Они отвечают на вопрос не как средняя стоимость квартиры зависит от метража, они отвечают на вопрос как у дорогих квартир и как у дешевых квартир выглядит зависимость цены от общего метража.
