1.1.4. Пример 2. Парная регрессия. Окончание [у доски]

Loading...

Из курса от партнера National Research University Higher School of Economics

Эконометрика (Econometrics)

320 оценки

National Research University Higher School of Economics

Эконометрика (Econometrics)

320 оценки

Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.

Из урока

Метод наименьших квадратов или рабочая лошадка эконометриста, введение в R

Материалы всех недель доступны сразу, но в системе указаны рекомендуемые сроки выполнения всех заданий. Форум также открыт для Ваших вопросов. Ознакомьтесь с правилами оценивания и проведения контрольных работ. Обращаем Ваше внимание на то, что тест можно делать сколько угодно раз, но на каждые 8 часов даются только три попытки. Если Вы начали выполнять тест, то время на его выполнение неограничено. Ссылки на pdf-файлы лекций и скрипты для всех недель находятся в разделе Ценные ресурсы так же, как и правки к видео-фрагментам :) В первых же тестах есть вопросы, где необходимо использовать R, поэтому надеемся, что Вы уже успели поставить его на свои компьютеры. Если нет, то в Ценных ресурсах лежат подробные инструкции по установке софта. После установки не забудьте открыть в R-Studio (File -> Open file) файл "install_all.R" и запустите его, чтобы поставить все необходимые нам в ближайшее время пакеты. Выделите все строчки и запустите с помощью сочетания Ctrl + Enter на Windows или Cmd + Enter на Mac. Чтобы познакомиться с R поближе, в данной виньетке представлено краткое и наглядное описание интерфейса R-studio, шоткатов и других полезных вещей. Успехов!

1.1.1. Суть метода наименьших квадратов8:45

1.1.2. Пример 1. Регрессия на константу [у доски]8:21

1.1.3. Пример 2. Парная регрессия. Начало [у доски]6:58

1.1.4. Пример 2. Парная регрессия. Окончание [у доски]8:17

1.1.5. МНК на графике. Случай множества регрессоров11:17

Познакомьтесь с преподавателями

Boris Demeshev
Senior Lecturer
Department of Applied Economics

Выражаю β₁ с крышкой и подставляем во второе уравнение.

β₁ с крышкой равняется y среднее минус β₂ с крышкой на x среднее,

и подставляем это выражение для β₁ с крышкой во второе уравнение.

Получаем: сумма y_ix_i минус

y среднее минус β₂ с крышкой на x

среднее помножить на сумму

x_i минус β₂ с крышкой на

сумму x_i в квадрате равняется нулю.

И приводим подобные слагаемые.

Наша задача — собрать все с β₂ с крышкой, все без β₂ с крышкой.

Сначала выпишем все, что без β₂ с крышкой.

Сумма y_ix_i без β₂ с крышкой,

дальше минус y среднее на сумму x_i.

Это тоже без β₂ с крышкой, и дальше пошли слагаемые с β₂ с крышкой.

Плюс β₂ с крышкой на минус (минус,

соответственно, даст плюс) x среднее на сумму x_i,

а здесь еще минус β₂ с крышкой на сумму x_i в квадрате, все это равняется 0.

Слагаемые без β₂ с крышкой переносим в правую часть,

а в левой части β₂ с крышкой вынесем за скобку, получим β₂ с крышкой

помножить на x среднее минус сумма x_i, ой,

помножить на x_i минус сумма x_i в квадрате.

А в правой части получим y среднее

на сумму x_i минус сумма y_ix_i.

И отсюда получаем, что β₂ с крышечкой

равняется y среднее на сумму x_i минус сумма y_ix_i,

поделить на x среднее на сумму x_i минус сумма x_i в квадрате.

Давайте немножко приведем это выражение к тому виду,

более красивому и симметричному, которое встречается в учебниках,

то есть это уже есть правильный ответ, но он немножко несимметричный,

в нем не видна сильная похожесть числителя и знаменателя.

Давайте, во-первых, помножим числитель и знаменатель одновременно на -1.

Получится сумма y_ix_i, а потом,

смотрите: y среднее — это константа, ее можно внести внутрь знака суммы,

и то же самое, x среднее — это константа, можно внести внутрь знака суммы.

Минус сумма y среднее на x_i,

а в знаменателе находится сумма x_i квадрат минус сумма x среднее на x_i.

Вносим все под одну сумму.

Сумма y_i

минус y среднее помножить на x_i,

делить на сумма x_i минус x среднее на x_i.

Это тоже правильный ответ,

но он уже немножко более красивый, видно, что числитель и знаменатель похожи.

Можно еще сделать одно преобразование, которое из правильного ответа сделает

правильный ответ, но сделает числитель и знаменатель совсем интересной формы.

Давайте заметим, что мы уже говорили о том,

что сумма x_i минус

x среднее,

эта сумма равна 0.

Соответственно, если я домножу эту сумму на любой показатель,

абсолютно на любой показатель, допустим, на x среднее,

то она, естественно, тоже будет равняться 0.

И, соответственно, мы получаем такой интересный факт,

что сумма x среднее помножить на x_i минус x среднее равняется 0.

И чтобы сделать числитель и знаменатель здесь совсем интересной формы,

мы сделаем следующее преобразование.

В знаменателе мы к имеющемуся выражению,

сумма x_i минус x среднее на x_i, вычтем 0.

Вычтем сумму x среднее на x_i минус x среднее.

Это 0.

Ноль можно вычесть просто так.

И в знаменателе мы сделаем то же самое.

Это сумма y_i минус y среднее на x_i, мы тоже вычтем ноль, ноль,

правда, немножко в другой форме.

Сумма x среднее на y_i минус y среднее.

Это выражение, которое мы вычитаем, тоже равно нулю.

Соответственно, что мы получим,

если внесем все под один знак суммы.

y_i минус y среднее вынесется за скобки, и останется x_i минус x среднее,

а здесь x_i минус x среднее вынесется за скобки, останется x_i минус x среднее.

И в результате мы получим еще одну форму записи итогового ответа, у нас уже

есть две правильных, мы получили третью правильную форму записи итогового ответа.

Сумма y_i минус y среднее на x_i минус x среднее,

деленная на сумму x_i минус x среднее в квадрате.

Эта форма записи хороша тем,

что везде фигурирует отклонение наблюдений от среднего значения.

Что такое x_i минус x среднее?

Это отклонение роста i-человека от среднего роста по выборке.

Что такое y_i минус y среднее?

Это отклонение веса i-человека от среднего веса по выборке,

и, соответственно, в отклонениях,

если бы мы говорили про отклонения,

то здесь везде фигурируют одни и те же отклонения.

Соответственно, для нашей ситуации,

если мы подставим все x_i в эту формулу и все y_i,

то мы получим следующие оценки: β₂ с крышкой

по указанной формуле окажется равно 1,36,

а зная β₂ с крышкой, можно воспользоваться формулой для β₁ с крышкой,

и, посчитав x среднее и y среднее, мы получим,

что β₁ с крышкой равняется -166,8.

Таким образом, мы получили две формулы для β₁ с крышкой и β₂ с крышкой.

Вот у нас формула для β₂ с крышкой, это дробь, где фигурируют

отклонения зависимой и объясняющей переменной от своих средних значений.

И формула для β₁ с крышкой, которую можно посчитать после того,

как посчитана β₂ с крышкой.

Ознакомьтесь с нашим каталогом

Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.

Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.

© Coursera Inc., 2018 Все права защищены.

Загрузить из App Store

Загрузить в Google Play