Выражаю β₁ с крышкой и подставляем во второе уравнение. β₁ с крышкой равняется y среднее минус β₂ с крышкой на x среднее, и подставляем это выражение для β₁ с крышкой во второе уравнение. Получаем: сумма y_ix_i минус y среднее минус β₂ с крышкой на x среднее помножить на сумму x_i минус β₂ с крышкой на сумму x_i в квадрате равняется нулю. И приводим подобные слагаемые. Наша задача — собрать все с β₂ с крышкой, все без β₂ с крышкой. Сначала выпишем все, что без β₂ с крышкой. Сумма y_ix_i без β₂ с крышкой, дальше минус y среднее на сумму x_i. Это тоже без β₂ с крышкой, и дальше пошли слагаемые с β₂ с крышкой. Плюс β₂ с крышкой на минус (минус, соответственно, даст плюс) x среднее на сумму x_i, а здесь еще минус β₂ с крышкой на сумму x_i в квадрате, все это равняется 0. Слагаемые без β₂ с крышкой переносим в правую часть, а в левой части β₂ с крышкой вынесем за скобку, получим β₂ с крышкой помножить на x среднее минус сумма x_i, ой, помножить на x_i минус сумма x_i в квадрате. А в правой части получим y среднее на сумму x_i минус сумма y_ix_i. И отсюда получаем, что β₂ с крышечкой равняется y среднее на сумму x_i минус сумма y_ix_i, поделить на x среднее на сумму x_i минус сумма x_i в квадрате. Давайте немножко приведем это выражение к тому виду, более красивому и симметричному, которое встречается в учебниках, то есть это уже есть правильный ответ, но он немножко несимметричный, в нем не видна сильная похожесть числителя и знаменателя. Давайте, во-первых, помножим числитель и знаменатель одновременно на -1. Получится сумма y_ix_i, а потом, смотрите: y среднее — это константа, ее можно внести внутрь знака суммы, и то же самое, x среднее — это константа, можно внести внутрь знака суммы. Минус сумма y среднее на x_i, а в знаменателе находится сумма x_i квадрат минус сумма x среднее на x_i. Вносим все под одну сумму. Сумма y_i минус y среднее помножить на x_i, делить на сумма x_i минус x среднее на x_i. Это тоже правильный ответ, но он уже немножко более красивый, видно, что числитель и знаменатель похожи. Можно еще сделать одно преобразование, которое из правильного ответа сделает правильный ответ, но сделает числитель и знаменатель совсем интересной формы. Давайте заметим, что мы уже говорили о том, что сумма x_i минус x среднее, эта сумма равна 0. Соответственно, если я домножу эту сумму на любой показатель, абсолютно на любой показатель, допустим, на x среднее, то она, естественно, тоже будет равняться 0. И, соответственно, мы получаем такой интересный факт, что сумма x среднее помножить на x_i минус x среднее равняется 0. И чтобы сделать числитель и знаменатель здесь совсем интересной формы, мы сделаем следующее преобразование. В знаменателе мы к имеющемуся выражению, сумма x_i минус x среднее на x_i, вычтем 0. Вычтем сумму x среднее на x_i минус x среднее. Это 0. Ноль можно вычесть просто так. И в знаменателе мы сделаем то же самое. Это сумма y_i минус y среднее на x_i, мы тоже вычтем ноль, ноль, правда, немножко в другой форме. Сумма x среднее на y_i минус y среднее. Это выражение, которое мы вычитаем, тоже равно нулю. Соответственно, что мы получим, если внесем все под один знак суммы. y_i минус y среднее вынесется за скобки, и останется x_i минус x среднее, а здесь x_i минус x среднее вынесется за скобки, останется x_i минус x среднее. И в результате мы получим еще одну форму записи итогового ответа, у нас уже есть две правильных, мы получили третью правильную форму записи итогового ответа. Сумма y_i минус y среднее на x_i минус x среднее, деленная на сумму x_i минус x среднее в квадрате. Эта форма записи хороша тем, что везде фигурирует отклонение наблюдений от среднего значения. Что такое x_i минус x среднее? Это отклонение роста i-человека от среднего роста по выборке. Что такое y_i минус y среднее? Это отклонение веса i-человека от среднего веса по выборке, и, соответственно, в отклонениях, если бы мы говорили про отклонения, то здесь везде фигурируют одни и те же отклонения. Соответственно, для нашей ситуации, если мы подставим все x_i в эту формулу и все y_i, то мы получим следующие оценки: β₂ с крышкой по указанной формуле окажется равно 1,36, а зная β₂ с крышкой, можно воспользоваться формулой для β₁ с крышкой, и, посчитав x среднее и y среднее, мы получим, что β₁ с крышкой равняется -166,8. Таким образом, мы получили две формулы для β₁ с крышкой и β₂ с крышкой. Вот у нас формула для β₂ с крышкой, это дробь, где фигурируют отклонения зависимой и объясняющей переменной от своих средних значений. И формула для β₁ с крышкой, которую можно посчитать после того, как посчитана β₂ с крышкой.