Для решения следующей задачи давайте применим теорему об изменении импульса в неинерциальной системе отсчета. Задача такая. Есть сфера. Точка A, которая неподвижно прикреплена к потолку. При этом радиус сферы меняется по времени. Что это означает? Что точка C, центр сферы, по вертикали изменяет свое положение в зависимости от изменения радиуса сферы. На сферу — сфера гладкая — положили без начальной скорости материальную точку M. Причем положили ее таким образом, что радиус-вектор от центра до точки составляет угол α с горизонталью. Масса точки и угол α заданы. Нам необходимо найти, по какому закону следует изменять радиус сферы, чтобы угол α все время был тем же самым, чтобы точка не меняла своего положения на сфере. Как мы и говорили, будем решать эту задачу, пользуясь теоремой об изменении импульса в неинерциальной системе отсчета. Для этого давайте введем систему отсчета. Введем мы ее таким образом. Ось y по вектору CM, ось x перпендикулярна, и ось z перпендикулярна и x, и y, чтобы составлять правую тройку. Заметим, что такая система координат движется поступательно. То есть у нее нет угловой скорости относительно неподвижной системы координат. Почему так? Потому что угол α, который составляет с горизонталью ось y, все время остается одним и тем же. То есть ось y движется параллельно сама себе. Давайте выпишем теорему об изменении импульса. Она говорит, что масса на ускорение точки M относительное равно сумме внешних сил. Внешние силы, действующие на точку, — это сила тяжести плюс сила реакции. Силы трения нет, так как мы говорили, что сфера гладкая. Минус масса на ускорение переносное, минус масса на ускорение Кориолиса. Для той же точки M. Теперь. Ускорение кориолисово у точки M равно 0, так как система x, y не имеет угловой скорости относительно неподвижной системы координат. Поэтому кориолисово ускорение равно 0, а значит и сила кориолисова тоже равна 0. Остается такое выражение. Теперь, что такое переносное ускорение точки M? Ускорение переносное точки M равно ускорению точки C. C — это начало координат для системы x, y. И так как мы говорили, что угловой скорости у x, y нет, то ускорение у точки C равняется ускорению точки M переносное. Теперь давайте спроецируем на ось x вот эту вот теорему об изменении импульса. В проекции на ось x ускорение точки M относительное будет равно 0. Почему? Потому что мы не хотим, чтобы точка двигала и меняла свой угол α. То есть она все время будет оставаться на оси y. Далее. Сила тяжести. Изобразим ее на рисунке. Сила тяжести проецируется на ось x как −mg * cosα. Сила реакции. Она перпендикулярна поверхности, то есть она по оси y. И проекцию на ось x она не создает. Далее, остается выписать ускорение точки C. О чем мы говорили? Что точка C движется по вертикали за счет изменения радиуса сферы. Значит, ускорение точки C = R две точки. И направлено оно в сторону увеличения радиуса. Соответственно, проецируется оно на ось x точно так же, как и сила тяжести. И здесь еще есть знак минус, так как мы должны вычесть его переносную. Поэтому будет плюс масса умножить на R две точки cosα. Из этого соотношения что мы получаем? Что R две точки = g. Теперь давайте проинтегрируем. Сначала R с точкой = gt. После второго интегрирования радиус сферы меняется по закону gt² / 2... Простите, здесь забыли постоянное интегрирование, некое g0. + g0 * t + некий начальный радиус сферы. Если нам заданы начальный радиус сферы и скорость изменения радиуса сферы, то мы сможем выписать закон, по которому изменяется радиус сферы, таким образом, чтобы точка M не меняла своего угла α между горизонталью и радиус-вектором на эту точку. Ответ получен, спасибо за внимание.
