Давайте решим задачу по динамике точки. Задача следующая. Есть шероховатое горизонтальное кольцо радиуса R, по нему движется колечко массой m. Коэффициент трения скольжения для кольца задан — это f. Требуется найти, с какой начальной скоростью V0 нужно запустить колечко, так чтобы оно, совершив полный оборот по большому кольцу, остановилось с нулевой скоростью в начальной точке. Что мы будем делать, какими инструментами пользоваться? У нас есть второй закон Ньютона, который говорит, что масса точки умножить на ускорение точки равно сумма всех сил, действующих на нашу точку. Давайте для данной задачи нарисуем, какие силы действуют на маленькое колечко. Со стороны Земли действует гравитационная сила, то есть сила тяжести. Направлена вертикально вниз и величине равна mg. Со стороны колечка действует сила реакции. Так как колечко шероховатое, то сила реакции состоит из двух частей. Из силы трения, которая направлена по касательной в сторону, противоположную скорости, отобразим ее, силу трения. И из реакции, которая перпендикулярна силе трения и направлена каким-то таким образом. Теперь, что мы видим? У нас автоматически получился базис, которым следует воспользоваться, чтобы записать уравнение Ньютона в проекции на этот базис. Вспоминаем. Здесь логично ввести сопровождающий трехгранник. Ось τ трехгранника по скорости, ось нормаль к центру окружности, к центру большого кольца, и бинормаль по нормали к плоскости кольца, как правая тройка из векторов τ, N и B. Давайте на эту систему координат и спроецируем наши силы и запишем уравнение Ньютона в проекции на локальную систему координат. Как будет выглядеть уравнение Ньютона? На касательное направление. Давайте заменим обратно черную пасту... На касательное направление масса точки умножить на касательную компоненту ускорения, касательная компонента ускорения равна масса умножить на производную от модуля скорости по времени. И в касательном направлении мы видим, что действует сила трения, но в сторону, противоположную вектору τ, поэтому это минус сила трения. Что мы еще знаем про силу трения? Что сила трения по модулю равна минус коэффициент трения скольжения умножить на модуль силы реакции N. Теперь, в проекции на нормальное направление ускорение выглядит следующим образом. Масса умножить на скорость в квадрате, разделить на радиус кольца, и в нормальном направлении у нас действует сила реакции, спроецированная на нормальное направление. То есть обозначим ее Nn. И остается бинормальное направление. Мы знаем, что в проекции на бинормаль ускорение отсутствует, поэтому 0 равен... И в направлении бинормали у нас действуют две силы: вертикальная компонента силы реакции — обозначим ее NB; и силы тяжести — так как она в противоположном направлении, то со знаком минус. Получили такую систему из уравнений. Далее. Обозначим уравнение это 1, это 2, это 3. И из 2 и 3 уравнений мы можем найти силу реакции N. Сила реакции состоит из двух компонент — из проекции на нормаль и проекции на бинормаль. То есть ее модуль — это корень квадратный из N в проекции на нормаль в квадрате + N в проекции на бинормаль в квадрате. И из этих уравнений мы получаем, что сила реакции — это m²g² + m²V² / радиус... m в четвертой, простите. Разделить на радиус в квадрате. И теперь, подставляя это в первое уравнение, получаем, что масса умножить на производную от модуля скорости по времени равна −f * N. N — мы видим, что это корень квадратный. Массу можно вынести, останется корень квадратный из скорости в 4-й степени поделить на R² + g². Как мы видим, масса сокращается, и у нас остается следующее дифференциальное уравнение. Производная от модуля скорости по времени равняется −f * √ (g² + V⁴ / R²). Давайте избавимся от времени и перейдем к дифференцированию по пути. Почему? Потому что у нас задача задана именно с точки зрения, какой путь мы пройдем от начального момента времени к конечному. dV / dt = производная dV / dS, где S — это пройденное расстояние по кольцу, * dS / dt. dS / dt — это скорость. И в результате производная dV / dt преобразуется к следующему виду. 1 / 2 призводная от квадрата скорости по переменной S. И дифференциальное уравнение теперь будет выглядеть следующим образом. 1 / 2 dv² / dS = −f... Давайте еще и радиус вынесем из-под корня. И тогда под корнем останется V⁴ + g²R². Что мы видим? Что у нас получилось дифференциальное уравнение, в котором переменные разделились. Давайте перенесем все зависящее от скорости в квадрате в одну сторону, все зависящее от пути и какие-нибудь еще константы оставим в правой части. То есть dV² / √ (V⁴ + g²R²) = −2f / R * dS. Справа у нас... Давайте нарисуем знаки интегрирования. В первом случае, первый интеграл мы должны проинтегрировать от V0 до 0, второй интеграл — от 0 до 2πR. Так как наша точка должна пройти полный оборот. Интеграл слева является табличным, его значение вы можете посмотреть в таблице, либо вывести, воспользовавшись гиперболической заменой, но ответ такой, что интеграл равен гиперболический арксинус от V² / gR, в пределах от V0 до 0. А интеграл справа равен равен −2f * 2π. R я уже сократила, так как оно есть и в показателе в пределе интегрирования и в знаменателе. Равно −4πf. Теперь, арксинус от 0 = 0, остается только арксинус от начальной скорости в квадрате разделить на gm. То есть в результате получаем после подстановки пределов интегрирования, что это обратный гиперболический синус на V0² / gR, = 4πf. Отсюда получаем, что начальная скорость — это √(gR * гиперболический синус от 4πf). Вот наш окончательный ответ. С такой скоростью нужно запустить точку, чтобы она, совершив один оборот, оказалась в начальном месте. Спасибо. Задача решена.
