Давайте решим следующую задачу: есть тонкий однородный диск радиуса R,
масса известна, центр O диска неподвижен и совпадает с вершиной конуса.
Диск обкатывает без проскальзывания неподвижный конус с углом 2α при вершине,
ось конуса OM перпендикулярна плоскости основания конуса,
то есть направлена вертикально, и необходимо найти модуль,
направление и точку приложения равнодействующей силы реакции
конуса и реакции в неподвижной точке O во время движения диска.
Известно, что в начальный момент диску сообщена угловая скорость ω0.
Каким образом мы будем решать эту задачу?
В первую очередь давайте докажем, что диск будет совершать регулярную прецессию.
Как направлена угловая скорость диска при движении?
Известно, что диск катится без проскальзывания,
поэтому абсолютная угловая скорость направлена по образующей конуса.
Угловая скорость абсолютна.
Теперь давайте разложим угловую скорость абсолютного движения на направление,
перпендикулярное плоскости диска, и направление вдоль оси конуса.
Назовем одно Ω, другое ω.
И что получаем?
Что угловая скорость абсолютная — это сумма ω и Ω.
В этой задаче силы, которые совершают работу,
потенциальны, так как движение происходит без проскальзывания.
Поэтому кинетическая энергия плюс потенциальная в силу закона
сохранения энергии — это константа.
При движении центр масс диска неподвижен, то есть потенциальная энергия не меняется.
А значит, и кинетическая энергия — тоже константа.
Чему равна кинетическая энергия?
Кинетическая энергия — это ½I,
где I — это момент инерции для диска вдоль оси,
по которой направлена абсолютная угловая скорость, и ω абсолютная в квадрате.
Если кинетическая энергия — константа и в силу симметрии
диска всегда одно и то же, отсюда получаем автоматически,
что угловая скорость абсолютная по модулю — всегда константа.
И известно, что в начальный момент времени она равна ω0,
поэтому ω абсолютная равна по модулю ω0 начальному значению.
Теперь, как ω абсолютная проецируется на ω и Ω?
Ω *
на косинус α равняется модулю
ω абсолютная, то есть ω0,
и ω − Ωsinα = 0.
Это в проекции в направлении, перпендикулярное ω абсолютной.
Отсюда получаем,
что Ω = ω0 / cosα,
и ω = ω0 tgα.
ω0 — заданное значение,
и углы постоянны, поэтому Ω и ω — это константы.
Что это за величины для нашей задачи?
Ω — это угловая скорость прецессии диска,
а ω — это угловая скорость собственного вращения диска.
Кроме того, вектор Ω, он неподвижен в пространстве, он направлен по оси конуса.
А это значит, что диск совершает регулярную прецессию.
Эти же выражения можно получить,
заметив, что угловые скорости образуют прямоугольный треугольник,
где ω абсолютная — это один катет, ω
— угловая скорость
собственного вращения — другой катет, и Ω — угловая скорость прецессии,
это гипотенуза в этом прямоугольном треугольнике.
И угол здесь равен α.
Теперь регулярную прецессию должен вызывать некий момент,
в нашей задаче — вынужденная регулярная прецессия.
Давайте выпишем, чему равен момент относительно точки O,
который вызывает регулярную прецессию с такими параметрами.
Формула для момента относительно
точки O следующая: момент инерции диска относительно оси симметрии
умножить на векторное произведение угловой скорости прецессии и угловой
скорости собственного вращения и умножить на следующую скалярную величину: 1
+ (C − A) / C,
модуль угловой скорости прецессии разделить на модуль угловой
скорости собственного вращения и умножить на косинус угла между ними.
Косинус угла между ними — это π пополам плюс α.
С другой стороны, этот же момент возникает из-за чего?
Из-за того, что на диск действует реакция со стороны конуса, поэтому
этот же момент равен плечо
равнодействующей силы реакции умножить на саму силу реакции.
В этой задаче существует равнодействующая.
Мы говорили, в каких случаях существует равнодействующая.
Вы можете вспомнить об этом и доказать,
что действительно для данной задачи равнодействующая существует.
По модулю чему равна эта равнодействующая?
В нашей системе действуют две силы: сила тяжести и главный вектор для сил реакции.
Поэтому mg равняется минус N,
так как центр масс находится в неподвижном состоянии.
Теперь давайте подставим все эти значения
сюда и посмотрим, что получается.
Оставим после проведения векторного произведения
только компоненту, перпендикулярную Ω и ω.
Останется CΩω
cosα * (1 −
(C − A) / C * Ω/ω * sinα).
И равно это mgx * sinα,
где x — это расстояние от вершины конуса до точки приложения равнодействующей.
Отсюда, если мы подставим все значения для диска,
то что C — это 2A и равно mR квадрат пополам.
Значения для Ω и ω, в зависимости от ω0,
мы получили на предыдущем слайде, и α известен,
и отсюда после подстановки получаем,
что x = ω0 в квадрате * R в квадрате
/ 4g cosα.
Можете проверить, что действительно все получается.
Таким образом, что мы сделали?
Мы заметили, что в этой задаче у нас возникает регулярная прецессия,
вспомнили о том, что регулярную прецессию вызывает момент внешних сил,
вспомнили формулу для момента внешних сил, когда возникает регулярная
прецессия при заданных параметрах Ω и ω и угол нутации между ними,
и отсюда нашли точку приложения равнодействующей для сил реакции.
Задача решена.
Спасибо за внимание.
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
