В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Динамика материальной точки. Задачи динамики. Главный вектор и главный момент системы сил
Loading...
Из курса от партнера Moscow Institute of Physics and Technology
Динамика
9 оценки
Из урока
Основные определения и динамические характеристики механических систем
Познакомьтесь с преподавателями
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Итак, мы переходим к новому раздела курса, который называется динамика.
Если раньше в кинематике мы занимались геометрическими характеристиками движения,
ориентацией твердого тела и тому подобными вещами,
то динамика будет говорить нам, почему же механические системы движутся так,
как они движутся, откуда берется вся эта геометрия.
И начнем мы заниматься динамикой с элементарного объекта —
материальной точки.
Давайте вспомним, что нам про материальную точку известно.
Итак, динамика и материальная точка.
Про материальную точку мы знаем аксиоматически данный нам
второй закон Ньютона — масса на вторая производная по времени
от радиус-вектора равно векторная сумма всех сил, действующих на точку.
Если приглядеться повнимательней к этому уравнению будет понятно,
что это дифференциальное уравнение шестого порядка,
что от нас тщательно скрывали в школе.
Но действительно, если мы спроецируем это уравнение на оси прямоугольной
декартовой трехмерной системы координат, то получим мы для x,
y и z вот такие три довольно
похожие уравнения и каждое из них второго порядка.
Если дальше порядок каждого из них понижать,
получится два уравнения первого порядка здесь и так далее.
Итого систему дифференциальных уравнений шестого порядка.
Ну диффур шестого порядка соответственно.
И его придется решать для того, чтобы понимать, как устроена траектория точки
под действием тех сил, которые на нее действуют.
Решать его придется либо в декартовых координатах вот как мы написали,
либо иногда бывает удобнее написать то же
самое или в другой форме — масса на ускорение равно
опять же векторная сумма всех сил, которые действуют на точку.
Здесь мы знаем силы которые действуют на точку и хотим найти траекторию,
x от y, z от t, здесь мы, может быть, знаем, что-то о траектории и тогда нам из
кинематических соображений удобно будет написать — масса на тангенциальное
ускорение равно проекция силы на касательную,
масса на нормальное ускорение, проекция силы на нормаль,
и 0, нет третьей компоненты у ускорения в естественном трехграннике,
равно проекция силы на бинормаль.
Да, иногда бывает удобно написать второй закон Ньютона в естественном трехграннике.
И, в общем, эти две системы уравнений по структуре идентичны — левая часть
определяется кинематикой, кинематическими соображениями,
а в правой части стоят силы.
Силы мы получаем из моделей.
Модель существенным образом зависит от той задачи, которую мы решаем.
Вот, например, сила тяжести.
Иногда рассматривают однородное поле силы тяжести, ну как в школе,
когда мы просто писали, что сила тяжести — это mg, где масса — это
постоянная, g — это ускорение свободного падения, тоже постоянная.
Ну такая простая сила.
Иногда, когда там мы исследуем движение спутника в центральном поле,
мы пишем, что сила тяготения определяется законом всемирного тяготения Ньютона,
там чуть посложнее формула.
Иногда, если этот спутник в реальных боевых задачах проверяется,
там исследуется эффект прецессии орбиты, который связан с несферичностью Земли,
там добавляются еще какие-то вещи к модели одной и той же силы,
которая воде бы вот сила тяжести простая, как мы знаем.
Но об этом мы позже еще поговорим, а пока давайте о простых вещах.
Итак, в правой части вот этих динамических уравнений у нас стоит сила.
Давайте нарисуем какую-нибудь систему материальных точек.
С одной материальной точкой все вроде понятно.
Вот в прямоугольной декартовой системе координат векторы множества материальных
точек, объединенных общей идеей, представляют из себя механическую систему.
Вот есть точки, которые мы в систему включили и, наверное,
есть еще какие-то точки, которые мы не захотели брать в систему.
Вот эти точки будут внутренние точки системы, эти будут внешние точки.
И в этой системе действуют силы.
Силы мы будем делить на внутренние и внешние.
Внутренние силы, как вы помните, мы аксиоматически определяли,
что для каждой пары точек есть некоторое взаимодействие.
На них действуют силы вдоль линии, соединяющие эти две точки,
векторная сумма их ноль, вот такие силы для пар точек внутри системы мы
будем называть внутренними и обозначать F с индексом i, internal.
Есть силы, которые действуют на точки системы со
стороны внешних точек — это внешние силы.
И для сил мы введем понятие главного вектора.
Главный вектор…
Главный вектор системы сил, действующих на множество материальных точек,
будем обозначать R — это векторная
сумма по всем точкам системы всех сил внешних и
внутренних, которые у нас в системе найдутся.
В силу того же самого третьего закона Ньютона,
внутренние силы должны здесь взаимно уничтожиться,
и в главный вектор окончательно войдут только силы внешние,
Fν внешние, сумма по всем точкам системы.
Итак, вот характеристика систем и сил,
которые присутствуют в задаче — главный вектор.
Дальше.
Введем понятие момента силы.
Под моментом будем понимать вот что.
Пускай у нас есть некоторая точка ν, пускай к ней приложена некоторая сила F,
мы выбираем произвольный полюс A, говорим,
что вот из полюса A к точке ν идет радиус-вектор rAν,
и моментом силы F
относительно полюса A будем
называть векторное произведение — rAν * F.
У нас будет встречаться не только этот момент, еще момент импульса будет,
еще момент чего-нибудь будет.
Момент — это всегда плечо векторно умножить на то, чего момент.
Здесь — плечо умножить на силу.
И дальше введем понятие главного момента системы сил,
приложенных к точкам механической системы MA — это будет
сумма по всем точкам
rAν умножить на соответствующую ν силу.
И здесь, в силу тех же самых соображений, что и выше,
останутся только внешние силы — rAν
* Fν.
Вот это выражение — главный момент сил системы.
Следующая характеристика силы, которая нам понадобится,
это мощность.
Мощность силы мы будем определять как скалярное
произведение силы на скорость той точки, к которой эта сила приложена.
И мощность нам будет нужна не столько сама по себе,
сколько как инструмент для вычисления работы силы.
Работа силы — это
у нас будет интеграл от t1 до t2, от,
собственно, мощности по времени.
Вот силы, оказывается, совершают какую-то работу,
и мы будем этим в вычислениях пользоваться.
Здесь нужно отметить вот что.
Если у нас сила задана стационарно, то есть не зависит явно от времени,
то обычно работу пишут вот таким интегралом — криволинейный
интеграл вдоль траектории движения точки от Fdr.
И вот это подинтегральное выражение, ну как обычно,
подинтегральные выражения называют элементарной работой.
Элементарная работа силы, естественно.
И вот про элементарную работу силы давайте получим некоторое утверждение,
которое нам будет нужно в задачах.
Давайте я перейду на следующую доску.
Элементарная работа
системы сил,
[БЕЗ СЛОВ] приложенных или действующих на твердое тело.
[БЕЗ СЛОВ] Ну смотрите.
Элементарная работа δA — это у нас сумма,
сила… Давайте сразу напишем определение верхнее — Fv * dt.
Сумма по всем точкам тела, сила, приложенная к ν точке тела,
скорость тоже ν точки тела.
Теперь, пользуясь тем, что скорость у нас точки твердого тела,
мы ее с помощью формулы Эйлера представим вот в таком виде
— сила осталась * скорость некоторого полюса o +
угловая скорость тела * радиус-вектор от полюса к точке ν и * dt.
Написали.
Теперь берем, раскрываем скобки.
Получаем, естественно, два слагаемых.
Сумма по всем
точкам Fν * скорость полюса,
первое слагаемое кончилось,
+ сумма
Fν * (ω * roν) * dt.
Ну смотрите,
в первом слагаемом у нас скорость в каждом из слагаемых суммы одинаковая,
то есть мы суммируем просто силы и получаем главный вектор системы сил.
= главный вектор *
скорость полюса и * dt.
dt я кстати в этой формуле потерял.
Вот оно тут тоже стояло.
Умножить на dt.
Плюс второе слагаемое.
Тут стоит смешанное произведение, оно, как мы знаем, перестановочно,
то есть циклические перестановки допускаются, поэтому здесь мы легко и
непринужденно получаем момент, главный момент этой системы сил
относительно полюса o, скалярно умножить на угловую скорость и на dt.
Вот, собственно, та формула, к которой мы стремились.
Элементарная работа системы сил, приложенных к твердому телу.
Ознакомьтесь с нашим каталогом
Присоединяйтесь бесплатно и получайте персонализированные рекомендации, обновления и предложения.
Coursera делает лучшее в мире образование доступным каждому, предлагая онлайн-курсы от ведущих университетов и организаций.
© Coursera Inc., 2019 Все права защищены.
