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那么接下来呢我们来看看第二种 特殊的二元关系,称之为序关系
那么序关系的定义是这样的 它是一个集合A上的自反、
反对称和传递的一个二元关系 那么自反呢跟等价关系一样,叫做xRx,就是任意x
那么反对称这个跟等价关系是不一样的,等价关系是对称,而序关系呢是反对称
所以呢反对称是这样,任意的x,y,有xRy 同时又有yRx的话,那么就意味着x等于y
那么传递性呢是跟等价关系是一样的
所以呢它序关系和等价关系只在 中间的这个对称和反对称有所差别
那么看来,我们接下去看看这个序关系跟等价关系在这么一点的特性差别的情况下
那么它有多大的这个差别?那么同样地我们把存在这个序关系R的这个
集合A就称之为有序集,也就是说这个集合A再加上这个A上定义的一个
序关系R,那么把这两个东西合起来合称为这个有序集 那么有续集呢可以用二元组<A,
R>来表示它 那么一般的这个有序集我们可以表示成<A
≤ >,这个小于等于呢就是一个序关系的一个 很好的一个写照。
那我们待会再去看看为什么会是小于等于 那么首先呢序关系的例子
第一个例子就是自然数集合上的小于等于,这个关系呢它就是一个序关系 把这个有序集记做为<N,
≤ >,为什么是这样?我们来看看序关系的这个定义 序关系首先呢它是自反,那么任何一个自然数都跟
自身肯定是满足小于等于,它就等于自身嘛 然后呢是反对称,反对称也就是说如果说
A小于等于B,而同时又有B小于等于A的话 那就说明这两个自然数A,B是相等的
N呢正好它就是符合反对称的这个性质。
那么传递也是一样的 A小于等于B,B小于等于C的话,那么A是小于等于C的,这是 这个有传递性。
所以自然数N集合上的小于或者等于关系 那就是一个序关系,那么这样构造出来的这个有序集就称作N小于等于
第二个集合A上呢,集合A幂集ρ(A)上的这个包含关系
视为一个序关系,那么它的有序集呢记作为ρ(A),然后呢包含 我们知道包含呢是集合之间的一种关系
那么在幂集,A的一个幂集间,也就是说它的A的所有的子集所构成的 一个集合。
那么子集之间呢它必然会有这个包含关系 那么对于包含来说呢,子集自身的一个集合跟自身肯定是包含的
那么反对称这也是有的 如果说A包含于B,B呢
又包含于A的话,那么就A就是,这两个集合是相等的 这由集合的公理来规定的,所以呢这个包含关系它也是一个
序关系,那当然传递也是一样的 第三个呢是关于正整数集合I+上的这个
整除关系,那么整除关系呢它也是一种序关系 一个整数能够整除自身,这是自反性质
那么一个整,一个整数能够整除B,那么B又能整除A的话,如果这两个都能满足
那就说明这两个,这个整数是同一个整数,如果不是同一个整数的话,它不会满足 这个反对称这个性质。
第三呢是有传递性 A能够整除B,B能整除C的话,那么就意味着A能整除C,这也满足传递性
所以呢正整数集合I+上的整数整除关系 它也是一个序关系,也就是说上面我们举得这三个例子
那么它的这个关系,小于等于、 包含和整除 都满足这个自反、
反对称和 传递这三个性质,所以呢它们都是序关系
那么我们说二元关系呢可以用很多方式来 表达它,那么其中一个很重要的手段呢就是关系图
那么关于序关系呢有一种特殊的关系图的画法 那么它把这个关系图一般的带箭头,带圈
啊这样的这个关系图呢进行了一个简化 那么这种简化呢就称之为哈斯图
哈斯图呢就是我们右边所展示的这种 它是怎么简化的呢
首先呢因为这个序关系满足有自反性 所谓的自反呢那么就是每一个节点都有到自己的环,那么既然每一个结点都有
那我们就可以把它省略,就把它省去了,我们把所有的环都省掉
那么第二个因为这个序关系它是反对称而且传递的
那么既然是反对称,所以呢在关系图当中任何两个不同的结点它
只会有单向的边,而不会有双向的,然后一去一回这样的边回来
那么它是传递的,所以呢它甚至呢都不会有说这种单向的一个
从比如说从A节点出发,然后饶了一圈以后再
回到一节这样的一个通路,一个闭合的这种单向通路,也不会有
所以呢它是整个呢是一个具有单向性,所以呢我们把 关系图上的所有的这个边的箭头都给它去掉
就没有,不需要这个来回了,所以把边的箭头去掉 而把这个向上的这个方向变为箭头的方向
所以呢我们会看到这个哈斯图是一个一个的往上落,从下往上去落的
那么这是一个箭头的方向,所以在我们右边的这个图里头 这个1,2,3,4,5它的这个集合的小于等于
关系那么也是1 在最下面,然后上面是2
3,4,5,这就意味着1小于等于2,2小于等于3,3小于等于4,4小于等于5 那么实际上呢它最后呢因为
序关系是传递的,所以呢本来应该有1小于等于3,或者1小于等于4或者2小于等于5
这些都是有边的,那么既然都存在着这个 推定的边,所以呢我们就把,干脆就把这个推定的边呢都去掉它
也就是说A小于等于B,B小于等于C,有A小于等于C的话 那么我们把A小于等于C的这个边就省略了,就省略了
所以呢我们最后哈斯图看起来,序关系的哈斯图看起来就是像右边的这个样子
1,2,3,4,5逐渐地由下往上 那么同样你有没有想到这个等
价关系它是有自反、 对称、 传递这三个性质 那如果我们把等价关系的这个关系图也做一个简化的话
有没有想过它简化成是一个什么样的呢? 好,我们再来看这个其他的这个
序关系的这个哈斯图是什么样子的?那么其他的这个哈斯图呢 你看2,3,6,
12, 24,36 这六个数字它们之间的整除关系它是一个序关系,对吧
那么这样呢它哈斯图就画成2和3呢在最底下 然后2能整除6,3也能整除6,但是2和3之间它们不会有
连接,因为2不能够整除3,但是6能够整除12 然后12能整除24,12能整除36
那么这样呢同样24和36之间没有任何关系。
所以呢这个 这个整除关系的这个哈斯图就画成了这个样子的。
所以我们 说这个有序关系呀它并不只是说像小于等于那样
是一个单向的一个自下往上的这么一个链条,那么它也会有分叉的时候,分叉
所以呢像这样2,3然后6,12,24,36这么一个分叉过去
第三个例子呢就是关于包含关系的
就是把a,b,c这三个元素组成的这个集合它的幂集拿出来
然后成为一个集合组,那么它们之间的这个包含这个关系所形成的这么一个序关系
它画成的这个哈斯图它是这个样子 也就是它所有的空集是在最下面
然后空集呢是三个单元集的子集,所以a,b,c,那么空集呢到了a,b,c就有
那么a呢是ab这个双元集的子集 那么a呢又是ac双元集的子集,b呢是ab和bc的子集
那么c是ac和bc的子集,所以呢它现在画起来就是
两个,三个节点分别有两个叉往上,然后还交错在一起
然后三个双元集ac,bc,ab
又同时又是a,b,c的子集,所以呢它们又在最高的那一层又汇拢起来
大家看看这个样子像是一个什么呀 像是一个三维的这个立方体的一个这样在二维平面上的一个投影,对吧
只是说它是两个顶点,一个顶点朝上,一个顶点朝下 那么如果大家有兴趣的话,你可以去画一画
ρab两个,就是ab所形成的集合它们的
也用这个包含这个关系作为序关系的话 那么它这个哈斯图画起来是什么样子呢?它是不是一个
正方形的或者是一个菱形的投影啊,那么单元集A是什么呀 还有呢或者说abcd四个元素的这个幂集
跟这个包含于这个关系它们首先呢 哈斯图是什么样子的?我想一定会很有趣的,会让你
跟几何的图形进行对比的话,会有一个很好的这个 遐想哈。
那么 在有序集这个集合当中的元素
它们之间呢就会有一个排序的关系,那么所以呢我们会把
原来二元关系里头都是aRb,那么既然这个R呢是一个有序集
是一个序关系呢,那么序关系呢一般会小于等于 那么所以呢我们把aRb呢就写成a小于等于b
用这样的一个符号,那么也可以称做为a先于或者等于b
当然也可以叫a小于或者等于b 那这两种称呼都可以,当然我们一看到这个符号我们就直接把它叫做a小于等于b就算了啊
那么当然如果说aRb,a小于等于b不成立的话 不成立的话,那可会说这个a大于等于,a大于
b呀,不是这样的,因为我们并没有定义什么是大于 那么在序关系里面,a小于等于b不成立,那只
是说明说a和b呢它是不可比较,或者说叫做不可排序的
比如说像刚才这个2,3,6六个整数自然数之间的这个
整除关系,那么2和3之间它不存在相互整除,所以呢2和3之间呢是
不可比较的,在整除关系这么一个序关系里边