Сейчас подходящий момент, чтобы завести удобный язык для обсуждения подсчетов — язык множеств. Множеством называется произвольная совокупность объектов. И мы будем обозначать множество заглавными латинскими буквами: A, B, C, S и так далее. Множество можно задавать, например, списком их элементов. Например, вот здесь написано множество, состоящее из элементов 0, 1, 2 и 3. Список элементов мы помещаем в фигурные скобки, это множество состоит из четырех элементов. При этом порядок, в котором мы перечисляем элементы, неважен: множество, состоящее из элементов 0, 1, 2, 3, и множество, состоящее из элементов 2, 0, 3, 1, — это одно и то же множество, порядок несуществен. Также неважны повторы. Скажем, два множества, написанные на слайде, это одно и то же множество, состоящее из четырех элементов (0, 1, 2 и 3), неважно, что мы повторили некоторые элементы несколько раз, элемент либо входит в множество, либо нет. Нам множества задают удобный язык, просто для обсуждения подсчетов. Но на самом деле в фундаментальной математике множества играют очень важную ключевую роль. И для нас множества могут состоять из чего угодно. Например, вот множество, состоящее из нуля, корня из двух, Исаака Ньютона и из русалки. Но здесь есть тонкости. Оказывается, что "множество, состоящее из всех множеств" — такая конструкция опасная, и ее лучше избегать. Но мы с таким и не столкнемся, в наших курсах мы такого не увидим и такие трудности мы обсуждать не будем. Множество удобно изображать с помощью диаграмм Венна. На этой картинке элементы множества A изображаются как левый круг, то есть они лежат в левом круге. Элементы множества B лежат в правом круге, а в пересечении этих двух кругов лежат элементы, принадлежащие сразу обоим множествам. Пусть у нас есть два множества A и B. Тогда вот таким способом обозначается пересечение множеств A и B — это множество, состоящее из всех элементов, лежащих в обоих множествах (и в A, и в B), оно нарисовано на картинке. Вот таким образом мы обозначаем объединение множеств A и B, то есть множество всех элементов, которые лежат или в множестве A, или в множестве B, или там и там, опять же, на картинке можно видеть это множество. Если всякий элемент A является также элементом множества B, то A называется подмножеством множества B, и тогда мы пишем это вот так: A вложено в B, такие слова мы для этого используем. Если x является элементом множества A, то мы пишем это следующим образом и говорим, что x принадлежит A. Заметьте, что у нас есть два разных значка, и на самом деле — две разные вещи: когда подмножество вложено в множество, и когда элемент принадлежит множеству. Количество элементов множества A обозначается следующим образом: A в палочках (заметим, что оно может быть бесконечным). Множество без элементов обозначается следующим образом и называется пустым множеством (в нем ноль элементов).