Итак, давайте обсудим, что же такое математическое ожидание. Давайте рассмотрим случайную величину в общем виде. Пусть у нас случайная величина f задана на распределении пусть с четырьмя исходами, вероятности исходов — это p1, p2, p3 и p4, и значения случайной величины — это a1, a2, a3 и a4. Повторим случайный эксперимент много раз. Пусть у нас есть четыре исхода, вот их вероятности здесь подписаны, мы пробуем первый раз, выпало p3, попали в исход p3, во второй раз мы попали в исход p1, потом в третий столбец снова, потом во второй, потом снова в первый, потом в третий, потом в четвертый и снова в четвертый. Если так повторим много раз, то выпадут вот какие-то значения. Повторяем n раз для какого-то большого числа n. Хорошо, тогда в первом столбце у нас окажется примерно, то есть мы ожидаем, что окажется примерно p1 * n попаданий. Во втором столбце будет p2 * n попаданий, в третьем — p3 * n, в четвертом — p4 * n. Можно вот такие приблизительные оценки сделать. Чему тогда равно среднее значение функции f, случайной величины f в этих экспериментах? Мы провели n экспериментов, значение ai встретилось примерно pi * n раз. Тогда в среднем мы должны сложить все значения, тогда надо просто каждое значение ai сложить столько раз, то есть умножить на то число, сколько раз оно встретилось. И у нас получится такое выражение, в конце нужно поделить на n. Получится такое выражение, (a1p1 * n + a2p2 * n... a4p4 * n) / n. Видно, что n сокращается, и остается вот такая величина, a1p1 + a2p2 + a3p3 + a4p4, все это мы складываем. Эта величина обозначается через Ef и называется математическим ожиданием случайной величины f, или, если кратко, то матожиданием f. Эта величина не зависит от n, и она равна, примерно равна тому, что мы ожидаем получить в среднем при многократном повторении эксперимента. В общем случае значение f a1, ..., ak, то есть число значений может быть не четыре, а больше, но произвольные значения a1, ..., ak, вероятности p1, pk. На самом деле все рассуждения аналогичны, и для вычисления математического ожидания надо просто перемножить ai на pi для всех i и сложить. В результате мы что получаем, что математическое ожидание — это число. Случайная величина — это функция, то есть мы каждому исходу приписываем свое значение. А математическое ожидание от случайной величины — это уже число. И это на самом деле важная характеристика случайной величины. Давайте обсудим еще геометрический смысл математического ожидания. Пусть у нас есть случайная величина f, она принимает значения a1, a2, a3 и a4 с вероятностями p1, p2, p3 и p4. Матожидания выписаны здесь, давайте нарисуем картинку на графике. Давайте возьмем отрезок от нуля до единицы на оси x и разделим его на отрезки длины p1, p2, p3 и p4, это можно сделать, поскольку сумма вероятностей должна быть равна единице. И давайте отложим вот такие отрезки на этом графике. Как мы их откладываем? Над отрезком p1 мы откладываем отрезок на уровне a1, над отрезком p2 мы откладываем отрезок на уровне a2, над отрезком p3 мы откладываем отрезок на уровне a3, над отрезком p4 мы откладываем отрезок на уровне a4. Итак, мы отложили такие отрезки. И где же на этой картинке математическое ожидание? Оказывается, что его здесь можно увидеть. Математическое ожидание — это площадь под этими отрезками, то есть площадь, которая сейчас выделена на слайде. Почему это так? Действительно, тут четыре прямоугольника, площадь каждого прямоугольника равна произведению одной его стороны на другую. Например, для первого прямоугольника — это p1 * a1, для второго — p2 * a2. И дальше мы должны сложить площади этих прямоугольников, получается вот ровно математическое ожидание. На самом деле для более сложных недискретных случайных величин математическое ожидание определяется подобным образом, то есть геометрический смысл сохраняется, и это будет площадь под некоторым графиком. Итак, математическое ожидание встречается повсюду, например, в статистике, в социологии и не только. Например, это может быть средний возраст людей или средняя продолжительность жизни, или средняя оценка за время обучения. В следующем уроке мы обсудим, почему математическое ожидание не только часто встречается, но еще оказывается очень удобным для работы. [МУЗЫКА]
