В этом уроке мы обсудим важное свойство математического ожидания — его линейность. Пусть у нас есть две случайные величины f и g на одном и том же вероятностном пространстве. И значения f равны a1, ..., ak, значения g равны b1, ..., bk. И вероятности выпадения этих значений — p1, ..., pk. Тогда мы можем рассмотреть f + g. И это тоже случайная величина на том же вероятностном пространстве. Ее значения — это это a1 + b1, ..., ak + bk, и вероятности выпадения те же самые — p1, ..., pk. Итак, можем ли мы что-то сказать о математическом ожидании величины f + g? И оказывается, что да, можем. Оказывается, что если у нас есть две такие случайные величины f и g над одним и тем же вероятностным распределением, тогда матожидание их суммы равняется сумме матожиданий. И доказательство тут очень простое. Действительно, давайте просто распишем, чему равняется математическое ожидание f + g просто по определению. Это вероятность первого исхода умножить на его значение, то есть (f1 + g1)p1, ..., (fk + gk)pk. И дальше в этой сумме можем раскрыть скобки и отдельно выписать часть суммы, в которой встречаются f1, ..., fk, и отдельно выписать часть суммы, в которой встречаются g1, ..., gk. И если мы так сделаем, то мы увидим, что у нас получается в первой скобке матожидание f, просто по определению, и во второй скобке — матожидание g, просто по определению. Вот, собственно, и все доказательство. Это свойство называется линейностью математического ожидания, математическое ожидание суммы величин равняется просто сумме математических ожиданий. И линейность — это очень полезное свойство, она очень упрощает вычисление математических ожиданий. Давайте разберем это на примере. Пусть мы бросаем два кубика. Чему равно математическое ожидание суммы чисел на этих кубиках? Если мы будем считать это по определению, то нам придется посчитать вероятности всех возможных значений суммы. Это, в принципе, не очень сложно, но это требует времени. С другой стороны, в место этого мы можем посчитать это по линейности, мы можем рассмотреть две случайные величины на нашем вероятностном распределении, такие: величина f1 — это значение, которое выпало на первом кубике, величина f2 — это значение, которое выпало на втором кубике. И тогда нас интересует f1 + f2, а точнее, даже ее математическое ожидание. Нас интересует ожидаемое значение суммы этих двух величин, f1 и f2. При этом математическое ожидание f1, и f2 на самом деле тоже, то есть математическое ожидание результата бросания одного кубика мы уже вычисляли, и то, и то — это просто 3,5. И тогда математическое ожидание их суммы — это математическое ожидание f1 плюс математическое ожидание f2, 3,5 + 3,5 — это 7. То есть математическое ожидание суммы мы посчитали, в общем-то, не делая каких-то сложных вычислений. Хорошо, давайте рассмотрим другой пример. Пусть мы бросаем монетку пять раз подряд. Чему равно математическое ожидание числа выпавших орлов? Вновь можно все, конечно, посчитать напрямую. Но тогда нам придется для каждого возможного количества выпавших орлов посчитать его вероятность. Это, опять же, можно сделать, но тогда придется вспоминать, как мы это делали в комбинаторике, и придется что-то на самом деле делать. С другой стороны, по линейности ответ можно посчитать практически мгновенно без каких-либо усилий. Давайте посмотрим, почему это. Для этого мы заведем пять случайных величин. Величина fi — это результат i-того бросания. Она равна единице, если выпал орел, и она равна нулю, если выпала решка. И тогда, что нас на самом деле интересует? Нас интересует количество выпавших орлов, а это в точности сумма f1, ..., f5. Действительно, выпавший орел дает вклад 1 в эту сумму, а решка дает вклад 0. Поэтому количество выпавших орлов — это просто сумма этой случайной величины. Нас интересует матожидание этого. Дальше, матожидание отдельных fi посчитать очень легко, и, по сути, мы это делали уже. Вероятность выпадения орла или решки в i-том бросании — это 1/2. И мы должны умножить 1/2 на 0, умножить 1/2 на 1, и результат будет 1/2. То есть матожидание каждой отдельной fi — это просто 1/2. Дальше мы просто по линейности пишем, что матожидание суммы — это сумма матожиданий, и получается ответ 2,5. То есть ожидаемое число орлов — это 2,5, половина. Хорошо, давайте рассмотрим еще одну задачу. Пусть у нас средний доход на душу населения в какой-то стране равен X рублей в месяц, а средние расходы на питание в той же стране — это Y рублей в месяц. Нужно найти средние доходы населения, остающиеся после трат на питание. Что мы будем делать? Мы будем брать случайно и равновероятно жителя страны. И тогда пусть у нас f — случайная величина, равная его доходам. И пусть g — случайная величина, равная его расходам на питание. Тогда видно, что матожидание f — это просто в точности тот X, который у нас дан в задаче, то есть это просто средний доход на душу населения. Матожидание g — это Y, который нам дан в задаче. А f − g — это случайная величина, равная доходам, остающимся после трат на питание. И тогда матожидание (f − g) по линейности — это X − Y. А это как раз то, что от нас просили. То есть ответ в задаче — это X − Y. [МУЗЫКА]
