Давайте посмотрим, как комбинаторика помогает в подсчете вероятностей. Давайте рассмотрим такую задачку: пусть мы бросаем кубик два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших чисел равна пяти? Множество исходов здесь определяется понятно как — это множество пар, где каждая координата — от одного до шести; эти пары упорядоченные и исходы равновероятны, и тут уже нам придется подсчитывать количество исходов в этом множестве. Но, в принципе, их уже довольно много; и явно их выписать, как в прошлый раз, мы можем, но это не очень приятно делать. Но их можно просто посчитать, и тут нам поможет комбинаторика: каждая координата в этой паре выбирается одним из шести способов, и, по правилу произведения, количество исходов тут шесть умножить на шесть — 36. Дальше. Какие исходы нас интересуют, какие исходы попадают в событие? Событие состоит из тех пар (i, j), у которых сумма i плюс j — это пять. Тут мы можем тоже использовать наши стандартные методы, сколько же исходов попадает в множество A; и мы можем просто идти последовательно по координатам. В качестве i подойдет любое число от одного до четырех; больше уже нельзя. То есть если мы возьмем в качестве i пять или шесть, то сумма уже будет больше пяти; таких исходов нет, поэтому i может быть любое число от одного до четырех, а j уже дальше определяется однозначно. Как только i зафиксировано, j должно быть равно пять минус i — определяется однозначно. Поэтому исхода всего четыре, размер A получается четыре и вероятность — это размер A делить на размер Омега: одна девятая. Давайте рассмотрим более сложную задачку. Пусть мы теперь подбрасываем монетку шесть раз подряд. Какова вероятность, что орел выпадет ровно три раза — ровно половину? Хорошо. Множество исходов здесь — последовательность из нулей и единиц длины шесть. Исходы равновероятны, и опять же мы можем посчитать количество исходов: общая — это два в шестой, то есть каждую координату мы выбираем одним из двух способов, перемножаем это, получается два в шестой — 64 исхода всего. Хорошо. Что же попадает в наше множество А? Туда попадают такие последовательности, у которых сумма координат равна ровно трем. И сколько же исходов попадает в множество А? Перебирать тут уже сложно: у нас 64 исхода суммарно, выписывать их все и смотреть, какие попадают в А, это уже довольно затруднительно. Но мы можем просто посчитать их, пользуясь нашими знаниями комбинаторики. И что мы хотим сделать? Мы хотим из шести позиций в этой последовательности выбрать три позиции, в которых мы поставим единичку. И по сути, мы выбираем подмножество размера три в шестиэлементном множестве. Это сочетания, и мы знаем сколько их — их C из шести по три, то есть их 20; и вероятность получается 20 делить на 64, то есть 5/16. Заметим, что, в принципе, мы могли бы ожидать, что выпадет: если мы шесть раз подбросим монетку, то половина из них будет орел и решка равноправно, половина должна быть более-менее орлами. Но видно, что на самом деле прямо в точности половину мы получим с не очень большой вероятностью — меньше одной трети. Хорошо, рассмотрим следующую задачку: мы подбрасываем монетку теперь уже n раз подряд (n — какое-то неизвестное число). Какова вероятность, что в i-том подбрасывании выпадет орел? Интуитивно тут кажется, что все совсем просто: важно только i-тое подбрасывание, все остальные подбрасывания несущественны; и вероятность будет одна вторая — там выпадет либо орел, либо решка, и они равноправные; понятно, что должна быть вероятность одна вторая — такая у нас интуиция. С другой стороны, мы должны действовать формально: мы должны действовать аккуратно и разобраться во всем, что происходит. Если говорить формально, то нам придется рассматривать общее множество исходов, а множество исходов здесь — последовательности из нулей и единиц длины n. Они все равновероятны, и количество их — два в степени n; на каждую позицию мы выбираем число ноль или один, одним из двух способов перемножаем n раз — получается два в степени n, так что такое у нас вероятностное пространство. И какие же исходы нам подходят? Нам подходят все те исходы, у которых xi равняется единице, а таких исходов два в степени (n минус один); i-тая координата зафиксирована, а любую из остальных мы выбираем одним из двух способов: получается два в степени (n минус один) способ выбрать оставшиеся координаты. Теперь мы можем посчитать вероятности — это два в степени (n минус один) делить на два в степени n, то есть действительно одна вторая. Наша интуиция была правильной, теперь мы в этом формально убедились: расписали нашу модель и убедились, что действительно все так и работает. Хорошо. Давайте рассмотрим еще одну задачку. Пусть у нас есть колода карт из 36 карт (стандартная колода), и на стол случайно выкладывается последовательность из четырех карт. Какова вероятность, что две из них будут красные, а две — черные? Давайте посмотрим, какое у нас здесь вероятностное пространство, какие у нас возможные исходы (исходы — это последовательность из четырех карт: всевозможные последовательности из четырех карт) и сколько их. Первую карту мы можем выбрать 36-ю способами, дальше — 35-ю, потому что одна уже занята, 34 на 33 — перемножаем все это (это, по сути, четыре перестановки), и получается вот такое количество исходов. А интересует нас событие, состоящее из последовательностей: из двух черных и двух красных карт. Давайте посчитаем, сколько их. Нам нужно выбрать позиции. У нас есть четыре позиции; и нам нужно выбрать позиции, куда мы поставим красные карты, а на оставшиеся мы поставим черные; и выбрать две позиции из четырех. Это сочетание у нас C из четырех по два способов. А дальше надо выбрать, какие именно карты мы поставим на эти позиции. Для двух красных карт у нас сколько есть вариантов? Первую из них мы можем выбрать 18-ю способами — у нас половина карт красные, а вторую — 17-ю способами, потому что одна уже занята. Аналогично для черных карт: их мы можем выбрать (18 умножить на 17) 17-ю различными способами. Теперь надо все это перемножить по правилу произведения, и получается вот такое выражение: если мы посчитаем вероятность А (это размер А делить на размер Омега) и сократим тут все, то получится 153 делить на 385 — это примерно 0.4, то есть примерно с вероятностью около 40 процентов мы получим ситуацию, в которой у нас две красные карты и две черные.
