[МУЗЫКА] Давайте формализуем наше понятие вероятности. Мы будем рассматривать случайные события с конечным множеством возможных исходов — это называется дискретной вероятностной моделью, например, это может быть подбрасывание монетки или бросание кубика. Давайте разберем эти два примера чуть подробнее. В случае подбрасывания монетки у нас два возможных исхода: выпадет либо орел, либо решка. Каждый из них происходит с вероятностью 1/2, они равноправны. В случае бросания кубика у нас шесть возможных исходов (у кубика шесть граней, на них написаны числа от 1 до 6), и каждый происходит, опять же, с вероятностью 1/6, они равноправны. В общем случае у нас есть произвольное конечное множество исходов, оно обычно обозначается Ω. Вот они здесь перечислены: u1,..., un. В равновероятной модели, которую мы сейчас определим, все исходы равноправны. Равновероятная модель — это вот самая простая постановка, мы чуть позже ее обобщим. Все исходы здесь равноправны, и вероятность каждого исхода равняется 1/n, они все равны. Множество Ω с заданными вероятностями исходов называется вероятностным пространством. Давайте рассмотрим такую задачу. Пусть мы бросаем кубик, и нам надо найти вероятность того, что выпадет четное число. Здесь у нас шесть исходов, как мы только что обсудили. Половина из них годится: 2, 4 и 6, то есть три исхода годятся. Разумно считать, что вероятность будет 1/2: из шести исходов годится половина. Хорошо. Теперь пусть мы бросаем кубик, но нас интересует вероятность того, что выпадет число, делящееся на 3. Тогда исходов у нас по-прежнему шесть, и треть из них годится: 3 и 6. И тут разумно считать, что вероятность 1/3. Давайте теперь это формализуем. Пусть у нас задано некоторое вероятностное пространство с равновероятными исходами. Событием называется подмножество множества исходов, то есть произвольное подмножество множества исходов — это событие. Интуиция тут такая: событие — это то, что может произойти или не произойти в результате случайного эксперимента. Пример события, ну какие у нас были примеры события? Выпадает число, делящееся на 3 при бросании кубика, или четное число. Какая связь между событием, которое может произойти или не произойти, и множеством A? Через A мы обозначаем множество тех исходов, при которых событие происходит. В примере с числом, делящимся на 3, A будет множеством исходов 3 и 6. Хорошо, пусть задано вероятностное пространство, и пусть есть событие A. Как определяется вероятность события A в общем случае? Вероятность A — это просто количество исходов в множестве A, деленное на общее количество исходов, то есть размер A, деленный на размер Ω. Или, другими словами, вероятность события A — это доля исходов, лежащих в событии. Давайте заметим такую вещь: вероятность события, на самом деле, равна сумме вероятностей исходов в нем. Действительно, вот пусть у нас есть пять исходов всего, и A состоит из трех исходов, тогда, с одной стороны, вероятность A — это количество исходов A, деленное на количество исходов Ω, то есть 3/5, а с другой стороны, можем попробовать сложить вероятности всех исходов в A. Это 1/5, прибавленная сама к себе три раза, то есть тоже 3/5. Так что видно, что это вот действительно так. Еще одно удобное соглашение: если у нас A — это одноэлементное множество, оно состоит только из одного исхода, то то формально мы должны были бы написать вероятность A как вероятность [{a}]. Но вот стандартное соглашение — здесь сокращать эту запись и просто писать вероятность [a] без фигурных скобок. Хорошо. Давайте рассмотрим еще один пример. Пусть мы подбрасываем монетку три раза подряд. Какова вероятность, что орел выпадет ровно один раз? Для того чтобы решить такую задачу, нужно сначала формализовать задачу и указать, что же все-таки за вероятностное распределение у нас здесь описано. При каждом подбрасывании выпадает либо орел, либо решка. Давайте для удобства будем обозначать выпадение орла цифрой 1, а выпадение решки — цифрой 0. Тогда у нас элементы в нашем вероятностном пространстве — это последовательности длины три из нулей и единиц, то есть множество из нуля и единицы в степени 3. Мы можем просто перечислить все исходы, их всего восемь, вот они здесь перечислены. Нас интересует событие «выпал ровно один орел». Какие же исходы попадают в это событие? Вот такие: 001, 010 и 100. Их всего три, поэтому вероятность мы теперь можем посчитать: это 3, деленное на 8. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]