Рассмотрим такую задачу. Нас интересует, сколько есть целых чисел от нуля до 9999 таких, что их цифры не возрастают при чтении слева направо, то есть каждая следующая цифра не больше предыдущей (нельзя, чтобы следующая цифра была больше). Мы видели очень похожую задачу не так давно, в которой цифры убывали, то есть мы хотели посчитать, сколько есть чисел, в которых цифры убывают при чтении слева направо. Теперь рассмотрим задачу, где они не возрастают. Опять же, если мы попробуем посчитать варианты для каждой позиции и воспользоваться правилом произведения, то будет не очень хорошо. Действительно, на первую позицию из четырех мы можем поставить любую цифру от нуля до девяти, но на вторую уже не очень понятно, что можно поставить, потому что зависит от первой позиции — если на первой позиции стояла девять, то можно поставить все, что угодно, а если там стоял ноль, то мы можем поставить только ноль. Так что здесь возникают сложности, и поэтому мы попробуем с другой стороны, посмотрим, как можно еще эту задачу решать. И мы сделаем так: мы выберем, какие цифры от нуля до девяти войдут в наше число. То есть у нас есть четыре разряда, и теперь нужно выбрать цифры, которые мы здесь расставим. Как только мы выбрали четыре цифры, то число оказывается определяется однозначно. Скажем, мы могли выбрать такие цифры — три, четыре, три и семь. Если такие цифры выбраны, то число определяется теперь уже однозначно, мы можем расставить их только в одном порядке, чтобы эти цифры не возрастали, в таком — семь, четыре, три и три. Порядок при этом не важен. Порядок, в котором мы выбрали цифры, не имеет значения, мы выбираем, по сути, подмножество из четырех цифр, а дальше они расставляются однозначно, и повторение разрешается. Это то, что отличает нас от предыдущей задачи, которую мы разбирали раньше. Там у нас цифры должны были убывать, и поэтому нам не разрешалось выбирать одну и ту же цифру дважды, потому что тогда мы никак бы не смогли их расставить так, чтобы они строго убывали. А здесь у нас уже цифры не возрастают, поэтому мы можем расставить цифры так, чтобы они не возрастали даже, если среди них есть одинаковые. Итак, что изменилось по сравнению с предыдущей задачей? Мы теперь выбираем сочетания с повторениями размера четыре из 10 вариантов. В тот раз мы выбирали сочетания без повторений, и на самом деле, когда мы разбирали ту задачу, мы про сочетания с повторениями еще не знали, а теперь мы знаем и поэтому можем решить такую более сложную задачу. Получается, что количество вариантов здесь: c из (4 плюс 10 минус 1 по 10 минус 1); это c из 13 по девять — 715 вариантов выбора. То есть всего 715 таких чисел, в которых цифры не возрастают.