Após esse vídeo, você será capaz de definir a posição do 0 e do polo do
controlador de atraso de fase e verificaremos também a contribuição
angular do controlador de atraso de fase na posição dos polos malha fechada.
A relação entre o polo e 0 do controlador de atraso
de fase é determinada pelo aumento necessário na constante de erro.
Por exemplo, se precisarmos aumentar a constante de erro 10 vezes,
o 0 do controlador de atraso de fase deverá estar 10 vezes mais afastado da
origem que o seu polo.
Para os que gostam de fórmulas, vamos lá.
Seja k e a constante de erro original do sistema e k e desejado a constante de erro
desejada.
A razão entre o erro e o polo do controlador de atraso de fase será: menos
a sobre menos b que é igual a a sobre b que é igual k e desejado sobre k e.
Então, uma vez determinada a posição do 0 do controlador de atraso de fase,
calculamos o polo como menos b igual a menos a k e sobre k e desejado,
ou b igual a a vezes k e sobre k e desejado.
É fácil lembrar, queremos aumento na constante de erro,
então a precisa ser maior do que b.
Muito bem, já sabemos qual é a relação entre a e b e podemos já transcrever o
controlador de atraso de fase,
como k s mais a sobre s mais a vezes k e sobre k e desejado.
Note que a contribuição do 0 e do polo do controlador para a constante de erro será
k e desejado sobre k e.
Mas como determinamos a posição do 0 do controlador de avanço de fase?
A posição ideal do 0 do controlador de atraso de fase pode depender
de vários fatores, mas podemos usar uma regra prática,
que nos dará bom compromisso entre manter os polos malha fechada no mesmo lugar,
e fazer com que o erro diminua mais rápido.
Posicionamos o 0 do controlador de atraso de fase
1 décimo da parte real dos polos desejados, ou seja,
a vai ser igual a menos a parte real do quadradinho sobre 10.
Assim, o nosso controlador de atraso de fase fica C de s é
igual a k s menos a parte real do polo desejado sobre 10 sobre s menos
a parte real do polo desejado sobre 10 vezes k e sobre k e desejado.
Vamos ver exemplo numérico, vamos continuar contribuindo com o nosso meio
ambiente e vamos reciclar o nosso exemplo.
Os polos malha fechada são: menos 1,6 mais ou menos 2,2 j e o
controlador de atraso de fase fica: C de s igual a k s mais
0,16 sobre s mais 0,16 vezes k e sobre k e desejado.
Considerando que queremos dobrar a constante de erro,
temos C de s igual s mais 0,16 sobre s mais 0,08.
Vamos agora verificar qual é a contribuição de fase desse controlador na
posição dos polos deixados malha fechada.
A fase do C do quadradinho vai ser a fase de menos 1,6 mais 2,2 j mais
0,16 menos a fase de menos 1,6 mais 2,2 j mais 0,08.
Fazendo os cálculos chegamos à fase de C de quadradinho igual a menos 1,23 graus.
Esses menos 1,23 graus farão com que a resposta do grau de sistema seja menos
amortecida aumentado o overshoot.
Se o aumento da constante de erro fosse fator de 10 ou
fator de 2 teríamos uma contribuição de fase de menos 2,54
graus e o efeito do controlador de atraso de fase seria maior.
Se a resposta do sistema ficar muito oscilatória,
você pode diminuir ainda mais a posição do 0.
Por outro lado, se você estiver satisfeito com o amortecimento da resposta,
você pode aumentar o valor do 0.
Polo e 0 mais afastados da origem farão com que o regime permanente
diminua mais rapidamente.
A melhor maneira de decidir é realmente simular o sistema,
de qualquer forma, posicionar o 0 do controlador de atraso de fase
1 décimo da parte real dos polos desejados é bom chute inicial.
Vamos fazer algumas simulações usando tanto a linha de comando do Matlab quanto
Simulink, vamos simular a resposta ao degrau na linha de comando
e verificar o erro regime permanente no Simulink.
Na linha de comando digite: T igual a tf 7.4 1
3.2 7.4 e G igual a zpk nada
0 menos 3.2 1 e o C1 vai ser zpk de menos
0.16 menos 0.08 e 7.4.
C2 é zpk menos 0.16 menos 0.016 7.4.
T1 feedback C1 vezes G,1 e o T2 feedback de C2 vezes G,1.
E agora dê step de T T1 e T2.
Note que o overshoot do sistema sem o atraso de fase é de 10%,
com o controlador com o fator 2 é de 14% e com o controlador com o fator 10 é 17%.
Vamos simular os mesmos sistemas no Simulink, mas vamos observar o E
regime permanente para uma entrada rampa, New, Simulink Model, controlita mf.
Altere o zero pole para nada 0 menos 3.2 1, altere o ganho k para 7.4.
Apague o step e a transfer function e as ligações da transfer function para o
Scope, apague também a ligação entre a saída do zero pole e o Scope.
Copie e cole o sistema malha fechada, clique e arraste torno do somador
do ganho e do sistema e depois copie e cole e posicione ele a baixo do original.
Apague o Gain da cópia, copie e cole o zero pole e coloque no lugar do ganho.
Edite novo zero pole para menos 0.016 menos 0.08 e 7.4.
Copie e cole esse novo sistema malha fechada e edite o
polo de controlador de atraso de fase para menos 0.016.
View, Library Browser, Sources arraste ramp para a esquerda do modelo.
Ligue a saída das rampas às entradas dos 3 somadores.
Abra o Scope, File, Number of Inputs Ports 3, ligue as saídas dos somadores ao Scope.
A saída do somador é o erro.
Agora rode a simulação, aumente o tempo de simulação para 50 e rode de novo.
Note o erro convergindo para valor cada vez menor,
mas essa convergência não é muito rápida.
Na linha de comando, altere o controlador C1 para C1
igual a zpk menos 0.8 menos 0.08 e 7.4.
Temos fator de 10, mas o 0 e o polo são maiores.
Obtenha nova função de transferência malha fechada e rode a simulação novamente.
T igual a feedback t1 igual a feedback C1 vezes G,1 step T T1 T2.
Note que o overshoot aumentou muito,
faça a mesma alteração no modelo Simulink e rode a simulação.
Note que o erro foi para o seu valor final consideravelmente mais rápido.
Então, quanto mais próximo da origem o polo e o 0 estiverem,
menor o seu efeito no overshoot.
Mas o erro converge lentamente.
Se o polo e o 0 estiverem mais afastados da origem, o erro converge mais rápido,
mas o efeito no overshoot é maior.
É preciso chegar a uma solução de compromisso,
ou às vezes projetar ou reprojetar controlador de avanço de
fase para trabalhar conjunto com o atraso de fase.
Agora você já é capaz de definir a posição do 0 e do polo do controlador de atraso
de fase.
No próximo vídeo, você conhecerá o controlador PI,
de proporcional e integral.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
