Após esse vídeo, você será capaz de definir a posição do 0 e do polo do controlador de atraso de fase e verificaremos também a contribuição angular do controlador de atraso de fase na posição dos polos malha fechada. A relação entre o polo e 0 do controlador de atraso de fase é determinada pelo aumento necessário na constante de erro. Por exemplo, se precisarmos aumentar a constante de erro 10 vezes, o 0 do controlador de atraso de fase deverá estar 10 vezes mais afastado da origem que o seu polo. Para os que gostam de fórmulas, vamos lá. Seja k e a constante de erro original do sistema e k e desejado a constante de erro desejada. A razão entre o erro e o polo do controlador de atraso de fase será: menos a sobre menos b que é igual a a sobre b que é igual k e desejado sobre k e. Então, uma vez determinada a posição do 0 do controlador de atraso de fase, calculamos o polo como menos b igual a menos a k e sobre k e desejado, ou b igual a a vezes k e sobre k e desejado. É fácil lembrar, queremos aumento na constante de erro, então a precisa ser maior do que b. Muito bem, já sabemos qual é a relação entre a e b e podemos já transcrever o controlador de atraso de fase, como k s mais a sobre s mais a vezes k e sobre k e desejado. Note que a contribuição do 0 e do polo do controlador para a constante de erro será k e desejado sobre k e. Mas como determinamos a posição do 0 do controlador de avanço de fase? A posição ideal do 0 do controlador de atraso de fase pode depender de vários fatores, mas podemos usar uma regra prática, que nos dará bom compromisso entre manter os polos malha fechada no mesmo lugar, e fazer com que o erro diminua mais rápido. Posicionamos o 0 do controlador de atraso de fase 1 décimo da parte real dos polos desejados, ou seja, a vai ser igual a menos a parte real do quadradinho sobre 10. Assim, o nosso controlador de atraso de fase fica C de s é igual a k s menos a parte real do polo desejado sobre 10 sobre s menos a parte real do polo desejado sobre 10 vezes k e sobre k e desejado. Vamos ver exemplo numérico, vamos continuar contribuindo com o nosso meio ambiente e vamos reciclar o nosso exemplo. Os polos malha fechada são: menos 1,6 mais ou menos 2,2 j e o controlador de atraso de fase fica: C de s igual a k s mais 0,16 sobre s mais 0,16 vezes k e sobre k e desejado. Considerando que queremos dobrar a constante de erro, temos C de s igual s mais 0,16 sobre s mais 0,08. Vamos agora verificar qual é a contribuição de fase desse controlador na posição dos polos deixados malha fechada. A fase do C do quadradinho vai ser a fase de menos 1,6 mais 2,2 j mais 0,16 menos a fase de menos 1,6 mais 2,2 j mais 0,08. Fazendo os cálculos chegamos à fase de C de quadradinho igual a menos 1,23 graus. Esses menos 1,23 graus farão com que a resposta do grau de sistema seja menos amortecida aumentado o overshoot. Se o aumento da constante de erro fosse fator de 10 ou fator de 2 teríamos uma contribuição de fase de menos 2,54 graus e o efeito do controlador de atraso de fase seria maior. Se a resposta do sistema ficar muito oscilatória, você pode diminuir ainda mais a posição do 0. Por outro lado, se você estiver satisfeito com o amortecimento da resposta, você pode aumentar o valor do 0. Polo e 0 mais afastados da origem farão com que o regime permanente diminua mais rapidamente. A melhor maneira de decidir é realmente simular o sistema, de qualquer forma, posicionar o 0 do controlador de atraso de fase 1 décimo da parte real dos polos desejados é bom chute inicial. Vamos fazer algumas simulações usando tanto a linha de comando do Matlab quanto Simulink, vamos simular a resposta ao degrau na linha de comando e verificar o erro regime permanente no Simulink. Na linha de comando digite: T igual a tf 7.4 1 3.2 7.4 e G igual a zpk nada 0 menos 3.2 1 e o C1 vai ser zpk de menos 0.16 menos 0.08 e 7.4. C2 é zpk menos 0.16 menos 0.016 7.4. T1 feedback C1 vezes G,1 e o T2 feedback de C2 vezes G,1. E agora dê step de T T1 e T2. Note que o overshoot do sistema sem o atraso de fase é de 10%, com o controlador com o fator 2 é de 14% e com o controlador com o fator 10 é 17%. Vamos simular os mesmos sistemas no Simulink, mas vamos observar o E regime permanente para uma entrada rampa, New, Simulink Model, controlita mf. Altere o zero pole para nada 0 menos 3.2 1, altere o ganho k para 7.4. Apague o step e a transfer function e as ligações da transfer function para o Scope, apague também a ligação entre a saída do zero pole e o Scope. Copie e cole o sistema malha fechada, clique e arraste torno do somador do ganho e do sistema e depois copie e cole e posicione ele a baixo do original. Apague o Gain da cópia, copie e cole o zero pole e coloque no lugar do ganho. Edite novo zero pole para menos 0.016 menos 0.08 e 7.4. Copie e cole esse novo sistema malha fechada e edite o polo de controlador de atraso de fase para menos 0.016. View, Library Browser, Sources arraste ramp para a esquerda do modelo. Ligue a saída das rampas às entradas dos 3 somadores. Abra o Scope, File, Number of Inputs Ports 3, ligue as saídas dos somadores ao Scope. A saída do somador é o erro. Agora rode a simulação, aumente o tempo de simulação para 50 e rode de novo. Note o erro convergindo para valor cada vez menor, mas essa convergência não é muito rápida. Na linha de comando, altere o controlador C1 para C1 igual a zpk menos 0.8 menos 0.08 e 7.4. Temos fator de 10, mas o 0 e o polo são maiores. Obtenha nova função de transferência malha fechada e rode a simulação novamente. T igual a feedback t1 igual a feedback C1 vezes G,1 step T T1 T2. Note que o overshoot aumentou muito, faça a mesma alteração no modelo Simulink e rode a simulação. Note que o erro foi para o seu valor final consideravelmente mais rápido. Então, quanto mais próximo da origem o polo e o 0 estiverem, menor o seu efeito no overshoot. Mas o erro converge lentamente. Se o polo e o 0 estiverem mais afastados da origem, o erro converge mais rápido, mas o efeito no overshoot é maior. É preciso chegar a uma solução de compromisso, ou às vezes projetar ou reprojetar controlador de avanço de fase para trabalhar conjunto com o atraso de fase. Agora você já é capaz de definir a posição do 0 e do polo do controlador de atraso de fase. No próximo vídeo, você conhecerá o controlador PI, de proporcional e integral.
