Após esse video,
você será capaz de explicar a aproximação da resposta de sistemas de
terceira ordem pela resposta de sistemas de segunda ou até de primeira ordem.
Esta aproximação é muita parecida com a aproximação de sistemas de segunda
ordem para os sistemas de primeira ordem.
Se o polo mais afastado da origem estiver razoavelmente afastado, ou seja
se seu módulo for suficientemente grande, ele alterará pouco os outros resíduos.
Terá resíduo pequeno associado e tenderá rápido para 0.
Se tivermos 2 polos bem afastados com relação à terceiro mais próximo da origem,
podemos fazer uma aproximação de primeira ordem.
Vamos ver alguns exemplos com Simulink.
Execute o MATLAB, na aba home clique Open.
Aqui está o controlita.
Se tiver salvado uma pasta diferente,
encontre o controlita.slx selecione o arquivo e clique abrir.
Para facilitar a nossa vida daqui diante, vamos fazer uma pequena
alteração neste modelo e salvá-lo como template.
View, library browser, continuous.
Arraste uma transfer function para o modelo.
Substitua o segundo Zero Pole pela função de trasnferência.
Clique no segundo Zero Pole e tecle DEL.
E arraste a função de transferência para o lugar onde o Zero Pole estava.
Agora clique File, export model to template.
Se quiser, pode alterar o nome e acrescentar uma descrição.
Clique export.
Agora pode fechar esse modelo.
Se quiser pode salvar mas não é necessário.
A partir de agora,
vamos criar novos modelos com base no template que acabamos de criar.
Clique new Simulink model e escolha o template que você acabou de criar.
Pronto, com isso você já começa o novo diagrama com degrau,
uma função de transferência e scope.
E não precisa achar e arrastar esses blocos do library browser.
Modifique o Zero Pole para 20 sobre s mais 1, s mais 2,
s mais 10, isso é, deixe só os colchetes nos zeros menos
1 menos 2 e 10 Poles, a ordem não importa, e 20 Gain.
Para ver o denominador, basta aumentar o tamanho do bloco,
clicando e arrastando uma das extremidades.
Na função de transferência, use 2 no numerador e 1, 3 e 2 no denominador.
Essa função de transferência, 2 sobre S ao quadrado mais 3 S mais 2,
equivale a 2 sobre S mais 1, S mais 2.
Salve e rode a simulação.
A resposta do sistema de terceira ordem pode ser aproximada pela
resposta do sistema de segunda ordem.
Vamos mudar o polo menos 2 para menos 20.
Altere o polo e o ganho do Zero Pole.
O ganho agora deve ser 200,
e altere a função de transferência para 1 sobre S mais 1.
E rode a simulação novamente, mas mais interessante do que simplesmente
fazer a aproximação de terceira para segunda ou primeira ordem, é saber qual o
efeito de terceiro polo sobre a resposta subamortecida de segunda ordem.
Vamos criar novo modelo.
File, new model, controlita.
Edite a transfer function para 1 e 1 1 1 e
o Zero Pole para nada, menos 2.5 e 2.5.
Estique novamente a ligação entre o Zero Pole e o Scope, movendo o scope.
Copie e cole a transfer function e arraste ela para depois do Zero Pole.
Temos sistema de terceira ordem com polos menos
0,5 mais ou menos 0,87 j e menos 2,5 e sistema
de segunda ordem com polos menos 0,5 mais ou menos 0,87 j.
Rode a simulação e abra o scope.
As respostas não são idênticas,
mas o overshooting é bem parecido, sendo que o overshooting do sistema com
terceiro polo é menor que o overshooting do sistema de segunda ordem.
Note também, que a resposta do sistema com o terceiro polo
é mais lenta que a resposta do sistema de segunda ordem.
Isto acontece porque podemos aproximar o efeito do terceiro polo como uma
suavização do degrau, então, a resposta fica mais lenta e mais amortecida.
Podemos fazer uma análise teórica dos resíduos, como no caso anterior,
mas creio que isso não seja necessário.
Como regra prática, podemos fazer uma aproximação,
se o polo mais afastado tiver módulo pelo menos,
5 vezes maior que o módulo da parte real dos polos complexos conjugados.
Quanto mais afastado estiver o terceiro polo, melhor é a aproximação.
Mas se o terceiro polo não estiver suficientemente afastado,
a aproximação não é válida.
Vamos mudar o terceiro polo para menos 1 e depois para menos 0,5 e ver o que
acontece.
A diferença entre as respostas agora, é bem maior,
e com o polo menos 0,5 nem chegamos a ter overshooting na resposta ao degrau,
mesmo com csi de 0,5.
Você pode alterar a simulação e verificar que essa aproximação,
é válida também de sistemas de quarta para terceira ordem,
de quarta para segunda e até de quarta para primeira ordem.
Os polos mais distantes da origem, correspondem a modos mais rápidos,
e se esses polos estiverem suficientemente afastados,
podemos considerar a dinâmica apenas dos polos ou do polo mais próximo da origem,
que corresponde ao modo mais lento.
Agora, você já é capaz de explicar a aproximação da resposta de sistemas de
terceira ordem pela resposta de sistemas de segunda, ou até de primeira ordem.
E lembre, o terceiro polo deixa o sistema mais lento e mais amortecido.
No próximo video, você verá que alguns casos, a resposta ao degrau de sistema com
zeros pode ser aproximada pela resposta ao degrau de sistema sem zeros.