Após esse vídeo você será capaz de explicar a relação entre os polos
da função de transferência e os autovalores da matriz de sistema.
Vamos listar algumas coisas que já sabemos,
dada a representação no espaço do status de sistema como posta pela equação de
estado x .= A + Bu e pela equação de saída Y = C x já sabemos que a função
de transferência correspondente é G (s) = C (s 1- A)-1 B.
Sabemos também que a inversa de uma matriz é a matriz dos cofatores transposta divida
pelo determinante.
Sabemos o que é polinômio característico de uma matriz A,
o que é a equação característica de uma matriz A e sabemos também que os
autovalores de uma matriz A são as raízes de sua equação característica ou os
valores que zeram a equação característica.
E sabemos também que os polos de uma função de transferência são os valores que
zeram o denominador da função de transferência.
Preciso falar mais alguma coisa?
Tá, preciso sim.
A rigor nem todos os autovalores são polos da função de transferência.
Dependendo das matrizes B e C podemos ter fatores comuns no numerador e no
denominador da função de transferência que serão cancelados e o fator cancelado não é
polo da função de transferência,
mas por abuso de linguagem acabamos chamando-o de polo também.
Já sei, já sei, é exemplo numérico, né?
Vamos lá!
As matrizes A, B e C do nosso modelo no espaço do estado são [
0 -2 1 -3 ] [ 2 1 ] e [ 0 1 ].
Dessa vez não deu para reciclar nosso exemplo.
Note que o modelo está na forma de Jackman e poderíamos escrever a função de
transferência diretamente a partir dos elementos de B e da última coluna de A,
mas vamos usar a fórmula geral da função de transferência para obtê-la: s I- A =
[ s 2 /- 1 s+3 ] Atenção, não esqueça de que é- A e não + A.
E temos G (s) = [ 0 1 ] x [S+3 -2/1
s] / s² + 3 s + 2 x [ 2 / 1 ].
Fazendo as multiplicações matriciais chegamos a s + 2 / s² + 3 s + 2
Mas note que podemos fatorar o denominador s + 1, s + 2.
E podemos simplicar G(s) para 1/s+1 Desse modo s = -2
era raiz do denominador e raiz do numerador da função de transferência.
Mas como o fator comum foi cancelado s =- 2 não é nem polo
nem zero da função de transferência.
Do lado dos autovalores temos basicamente a mesma coisa, mas como os autovalores
dependem apenas da matriz A, e não de B e C, não temos cancelamento nenhum,
e portanto λ = -1 e λ =- 2 são autovalores da matriz A.
Mas tudo bem se você disser que s = -2 também é
polo da função de transferência e que o polo foi cancelado com o zero.
Então de forma geral,
os polos da função de transferência são os autovalores da matriz do sistema A.
Não importando a representação,
já que uma mudança de representação não altera os autovalores da matriz.
E os autovalores da matriz do sistema A, são os polos da função de transferência,
a menos que haja cancelamento de polos de zeros,
ou melhor, de raízes do numerador com raízes do denominador.
Mas como eu falei, por mim tudo bem chamar essas raízes canceladas de polos de zeros
também, mas se estiver fazendo uma disciplina com outro professor,
pode ser que ele seja mais rigoroso que eu no uso correto da nomenclatura.
Bem, e sabemos de mais alguma coisa?
Acho que sim.
Vou reciclar a matriz A que usamos nos exemplos anteriores.
Temos A = [0 1 2 -1] já sabemos que os alto valores dessa matriz são -2 e 1.
Mas podemos conferir s I- A = [ s- 1- 2 s + 1 ] E determinante de
s- A = s + 2 s- 1, ou seja, temos λ1= -2 e λ2=
1 Já temos também a matriz de transição de estado desse sistema [INCOMPREENSÍVEL].
Peguei do vídeo que mostra como obter a exponencial usando a transformada de
Laplace.
Vamos agora considerar matrizes B e C bem simples.
B será [ 0 1 ] e C será [ 1 0 ] Com isso temos G (s) = 1/ s² + s- 2 que
é igual a 1 / (s + 2) (s- 1) e vemos que os polos, como já sabíamos, são -2 e 1.
Vamos focar nossa atenção por alguns momentos na função de transferência.
Na verdade, na resposta do sistema para uma entrada U (s).
A não ser casos muto específicos,
onde o numerador de uso é U (s) tiver fator s + 2 ou fator s- 1,
teremos uma fração parcial com denominador s + 2 e outra fração parcial com
denominador s- 1, e ao aplicarmos a transformada inversa, veremos que o sinal
y de t possui termo com a exponencial de -2 T e outro termo com a exponencial de T.
Chamamos esses termos que normalmente estarão presentes na saída do sistema
de modos do sistema.
E note agora que estes modos estão presentes também na matriz
de transição de estado.
Então quando estamos falando de autovalores, polos, modos,
raízes ou denominador da função de transferência,
raízes da equação característica ou raízes do polinômio característico,
e até de frações parciais, na verdade estamos falando da mesma coisa.
Então se ouvir alguém falando modo da matriz de sistema ou polo da matriz de
sistema, essa pessoa está falando dos modos da resposta do sistema,
ou dos polos da função de transferência do sistema.
Que também são os autovalores da matriz de sistema.
Agora você já é capaz de explicar a relação entre os polos da função de
transferência e os autovalores da matriz de sistema,
e de quebra já sabe que eles também são os modos do sistema e as raízes do
denominador da função de transferência e da equação característica.
No próximo vídeo vamos fazer uma breve revisão das características e das fórmulas
da resposta degrau de sistema de segunda ordem.
