[МУЗЫКА] [ЗВУК] Мы рассмотрим пример расчета дискретного фильтра с использованием метода билинейного преобразования. В качестве аналогового прототипа используем одиночный колебательный контур — аналоговую цепь, состоящую из последовательно включенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора. Выходной сигнал в данном примере снимается с конденсатора. Выход, здесь вход. Коэффициент передачи данной цепи описывается дробно-рациональной функцией вида K(ω) = 1 / 1 + j × множитель, равный 1 / Q. Параметр Q называется добротностью колебательного контура. Для данной схемы он равен — это не имеет особого значения для рассматриваемой задачи, но тем не менее он рассчитывается как отношение так называемого характеристического сопротивления контура: корня квадратного из отношения индуктивности к емкости к сопротивлению r. И этот множитель умножается но отношение частоты к резонансной частоте контура ω0. Это слагаемое первого порядка в знаменателе, и вычитается отношение квадрата частоты к квадрату резонансной частоты колебательного контура: ω0 — резонансная частота, которая равна 1 / √LC. Нам нужна для синтеза нечастотная характеристика, а функция передачи аналогового прототипа, которую мы получаем, заменив произведение jω на лапласовскую частоту p. В результате получится: H(p) = 1 / 1 + p с коэффициентом 1 / Qω0 + p² с коэффициентом 1 / ω0². Это функция передачи аналогового прототипа, с которой мы дальше будем работать. И предискажения частот в данном примере не производится. Посмотрим, что произойдет при замене переменной. Для того чтобы произвести билинейное преобразование, мы в аналоговой функции передачи производим замену переменной p на выражение 2 / интервал дискретизации T × 1 − z в −1-й степени / 1 + z в −1-й степени. Если мы просто на первом этапе подставим это вместо переменной p, получится вот такая конструкция, которая представляет собой функцию передачи дискретного фильтра, но она пока не приведена к стандартному виду, который должен представлять собой отношения полиномов по отрицательным степеням переменной z, причем полином знаменателя должен иметь свободный член, равный 1. После выполнения очевидных преобразований — умножения числителя и знаменателя этой формулы на 1 + z в −1-й в квадрате и вынесения разных множителей за скобки — мы получаем формулу, которая в общем виде выглядит весьма громоздко. Она приведена внизу. Это функция передачи, приведенная к стандартному виду — отношению полиномов по отрицательным степеням переменной z. В знаменателе свободный член сделан равным 1, только еще дополнительно из числителя вынесен общий множитель, чтобы нагляднее было видно соотношение коэффициентов полинома числителя друг с другом — они соотносятся как 1, 2, 1. Формула громоздкая, она зависит от двух безразмерных параметров. Один — это добротность исходного колебательного контура, она исходно бывает безразмерной. Второй безразмерный параметр — это произведение ω0T. ω0 — это резонансная частота колебательного контура, использованного в качестве аналогового прототипа в рад/с. T — интервал дискретизации, произведение этих двух параметров дает безразмерный результат, который равен нормированной частоте в радианах на отсчет, которой была бы равна резонансная частота этого контура для дискретной системы, если бы при синтезе не происходило трансформации дискретной оси, частотной оси разумеется. Но такая трансформация происходит, и мы посмотрим на этот процесс количественно, подставив конкретные значения в качестве параметров в эту формулу. На этом слайде приведен график амплитудно-частотной характеристики дискретного фильтра, который получился в результате синтеза при использовании следующих количественных параметров. Произведение ω0T = π / 2, а добротность колебательного конутра, использованного в качестве прототипа была равна 10. Функция передачи с конкретными значениями коэффициентов показана справа вверху. Что мы видим на этом графике? Он показывает, что у нас, действительно сохранились вертикальные параметры частотной характеристики исходного аналогового прототипа. Я напомню здесь, как выглядела эта схема. Какие это характерные вертикальные параметры? Коэффициент передачи на нулевой частоте у этой схемы равен 1, так как на нулевой частоте конденсатор представляет собой обрыв, катушка представляет собой короткое замыкание. И, таким образом, получается, что вход и выход связаны друг с другом просто через резистор. Поэтому так как выходная цепь считается не потребляющей тока, коэффициент передачи по напряжению у такой структуры будет равен 1. Мы видим, что на нулевой частоте мы, действительно получили единичный коэффициент передачи, это значение сохранилось. На частотах, стремящихся к бесконечности, сопротивление конденсатора стремится к 0, то есть он представляет собой короткое замыкание, а сопротивление катушки индуктивности, наоборот, стремится к бесконечности. То есть она постепенно превращается на бесконечной частоте в обрыв. Что приводит к нулевому коэффициенту передачи для аналогового прототипа при частотах, стремящихся к бесконечности? Бесконечная частота трансформируется согласно закону преобразования частотной оси в частоту Найквиста у дискретной системы. И мы видим, что на частоте Найквиста коэффициент передачи, действительно, равен 0. Частотная ось здесь традиционно, как на этих графиках, проградуирована в единицах, нормированный в частоте Найквиста, то есть ω с тильдой / π. Частота Найквиста соответствует единичному значению. На резонансной частоте, как известно, коэффициент передачи такого колебательного контура равен его добротности, то есть в нашем случае это значение было равно 10. И мы видим, что, действительно, здесь пик наблюдаемый равен, коэффициент передачи в этом пике равен 10. Значит, вертикальные параметры и частотные характеристики сохранились. Что касается горизонтальных характеристик, то есть частотной оси. Если бы искажение частотной оси не происходило, то максимум частотной характеристики должен был получиться при нормированной частоте π / радиан на отсчет, то есть 0.5 в тех единицах, которые использованы на горизонтальной оси графика. Иными словами, без искажений частотной оси частотная характеристика должна была бы выглядеть вот каким-то вот таким образов с пиком в точке 0.5. Но в соответствии с законом, по которому происходит трансформация частотной оси при билинейном преобразовании, частота резонансная для дискретного фильтра оказалась ниже. И все прочие характерные точки частотной характеристики — они тоже смещаются вниз. Если бы мы хотели получить дискретный фильтр, у которого максимум, значит, пик частотной характеристики был на частоте π / радиан на отсчет, нам нужно было бы скорректировать резонансную частоту для аналогового прототипа, пересчитав ее по закону трансформации частотной оси. Данный метод, как я уже сказал, является, наверное, основным методом, который используется на практике для расчета фильтров, которые аппроксимируют прямоугольные частотные характеристики. Связано это с тем, что методика расчета дробно-рациональных функций передачи аналоговых, которые аппроксимируют прямоугольные частотные характеристики — она хорошо разработана, и мы получаем в результате такого синтеза устойчивые дискретные фильтры. То есть если аналоговый прототип был устойчивым, дискретный фильтр тоже останется устойчивым. Порядок фильтра при таком метода синтеза не меняется. И аналоговые прототипы на основе фильтров Баттерворта, Чебышева первого рода, Чебышева второго рода, эллиптических фильтров, которые дают аппроксимации прямоугольных частотных характеристик — они широко используются на практике. Так что этот метод является крайне практически востребован. [БЕЗ_ЗВУКА]
