В предыдущих фрагментах лекции мы увидели как простейшие дискретные фильтры могут использовать для расчётов выходного сигнала предыдущее значение входного либо выходного сигнала. Если мы объединим эти идеи, то придем к выводу, что в общем случае, дискретная система линейная, стационарная и удовлетворяющая принципу причинности, может использовать для вычисления выходного сигнала лишь текущий входной отсчёт, некоторое количество, конечной естественно, предыдущих входных значений, а также некоторое количество уже рассчитанных предыдущих выходных значений и из-за свойств линейности и стационарности всё, что она может делать с этими доступными для расчётов данными, это суммировать их с какими-то фиксированными весовыми коэффициентами. Отсюда мы получаем формулу, которая называется алгоритмом дискретной фильтрации и которая описывает работу произвольного дискретного линейного стационарного причинного фильтра. Выходной отсчёт ykt рассчитывается как линейная комбинация текущего входного отсчёта x от k, с коэффициентом до 0, какого-то количества предыдущих входных значений, в данной формуле их число обозначено маленькой буквой m, предыдущие входные отсчёты от x1 до x от k-m, которые суммируются с весовыми коэффициентами b1, b2 и так далее, и bm последний номер коэффициента. Также мы используем для расчетов предыдущие, уже рассчитанные выходные отсчеты y от k-1, y от k-2 и так далее, какое-то их количество, обозначено оно в этой формуле маленькой буквой n, последний используемый выходной отсчёт y от k-n, и суммируем мы их с весовыми коэффициентами, которые здесь обозначены как -а1, -а2, -аn. Почему минус? Это вопрос соглашения, как мы дальше увидим, здесь получается, что либо в одной формуле все знаки плюс, либо в другой формуле все знаки плюс, никак из этого не выкрутиться, пока что я хочу заметить только следующее. Во-первых, в разных литературных источниках есть разные версии, есть версии, где эта формула алгоритма средних фильтрации записывается с использованием при всех слагаемых знака плюс, поэтому нужно внимательно следить за тем, как в литературе это форма трактуется. В буквы для обозначения коэффициентов тоже могут использоваться разные, какая буква используются для обозначения коэффициентов при входных счетах, какая при выходных, их в литературе тоже нет полной однозначности. Коэффициенты, эти наборы коэффициентов b и t, которые применяются к входному сигналу и набор коэффициентов a и t, которые применяются к отчетам выходного сигнала. Совокупность этих наборов называется коэффициентами дискретного фильтра. Если мы в предыдущей формуле, формуле алгоритма дискретной фильтрации перенесём все отсчёт выходного сигнала на левую сторону равенства, то получим такую симметричную формулу, в которой с одной стороны от знака равенства содержится линейная комбинация отсчёта выходного сигнала, а с другой стороны от знака равенства, линейная комбинация отсчёта входного сигнала. Это формула в таком виде называется разностным уравнением, описывающим дискретную линейную стационарную систему. Роль этого уравнения для дискретных систем аналогична той роли, которую играет дифференциальные уравнения, описывающие линейные стационарные системы непрерывного времени. Введем важное понятие, которое называется порядком дискретного фильтра. Порядок фильтра это максимальная, используемая при расчетах, задержка, то есть в наших обозначениях, это максимум из максимальных задержек, используемых для входного и выходного сигнала. Для входного сигнала мы обозначили её как m отсчётов, для выходного сигнала как n отсчетов. То есть порядок фильтра, это максимум из этих двух чисел, m и n. Из формул, описывающих дискретный фильтр, видно, что нам ничто не мешает использовать любое соотношение между m и n, любой из них может быть больше другого, но наиболее распространены в реальных системах, реальных фильтрах, используемых для обработки сигналов, три варианта. Вариант первый, m больше нуля, n равняется нулю, то есть для расчета выходного сигнала используются какое-то количество задержанных входных отсчетов, m больше нуля, а предыдущие и выходные значения для расчётов не используются вообще. То есть в таком фильтре будут отсутствовать обратные связи и такие фильтры называются нерекурсивными, как раз из-за отсутствия обратной связи. Второй вариант, наоборот всё, m равняется нулю, то есть не используются задержанные отсчёты входного сигнала, используется только текущий входной отсчёт xkt, потому что без входного сигнала совсем мы обойтись не можем. В то же время количество используемых выходных отсчетов, оно отличается от нуля. Это так называемый полюсный фильтр или авторегрессионный фильтр, в котором не используются задержанные отсчеты входного сигнала. Такие фильтры тоже встречаются в целом ряде практических задач. И наконец, третий вариант, когда используются фильтры для расчётов и задержанные входные отчёты, и предыдущие выходные отчёты, причём в одинаковом количестве, то есть m=n. Именно такой вариант дают широко распространённые методы расчёта рекурсивных фильтров, о которых мы будем говорить в теме номер четыре.