[МУЗЫКА] [ЗВУК] Теперь у нас есть два слагаемых, представленных в виде простых дробей: 2 / 1 − z в −1-й степени и −1 / 1 − 0.5z в −1-й степени. Но мы только что видели, что такое z-преобразование может соответствовать двум вариантам сигнала, в зависимости от области определения. Это может быть либо сигнал бесконечно тянущийся направо — правосторонний экспоненциальный импульс, либо сигнал бесконечно тянущийся налево — левосторонний экспоненциальный импульс. Таким образом, каждому из этих слагаемых соответствует два варианта последовательности отсчетов. Для первого слагаемого это либо удвоенный по амплитуде единичный скачок, тянущийся направо — эта формула соответствует умноженному на 2 z-преобразованию экспоненциального сигнала с параметром A, равным 1. Для тянущегося направо сигнала область определения |z| > |A|, A в данном случае это 1. И область определения |z| > 1. Второй вариант — это тянущийся налево сигнал вида −A в степени k. A в данном случае = 1, то есть просто −1 × 2, так у нас множество 2 в числителе. Сигнал, равный −2 при отрицательных номерах отсчетов. Ему, как мы видели соответствует область определения |z| < |A|, в данном случае |z| < 1. Для второго слагаемого параметр A = 0.5, и мы получаем тоже два экспоненциальных сигнала с множителем −1, согласно свойству линейности z-преобразования. Это будет для правостороннего сигнала. −0.5 в степени k при неотрицательных номерах отсчетов. Область определения при этом |z| > |A|, то есть > 0.5. Левосторонняя последовательность — у нее меняется знак, минус исчезает: 0.5 в степени k для отрицательных номеров k. Область определения |z| < |A|, то есть меньше, чем 0.5 в данном случае. Все эти варианты могут комбинироваться друг с другом. Таким образом мы могли бы получить четыре комбинации: два вариант сигнала для первого слагаемого, два варианта сигнала для второго слагаемого. Но при этом область определения для получающегося z-преобразования будет представлять собой пересечение областей определения для отдельных слагаемых. И поэтому существуют только три варианта, так как четвертый дает пересечение областей определения в виде пустого множителя. Мы не можем выбрать верхний вариант для первого слагаемого и нижний вариант для второго слагаемого, так как пересечения областей определения |z| > 1 и |z| < 0.5 дает пустое множество. Такого сигнала не существует, а три остальных комбинации дают три варианта сигнала, на которые мы сейчас посмотрим. Если мы для обоих слагаемых выберем вариант сигнала, которые тянутся направо, пересечение областей определения для них даст итоговую область определения |z| > 1. На комплексной плоскости это вся плоскость с вырезанным круговым отверстием единичного радиуса и центром в начале координат. Сигнал при этом описывается формулой 2 − 0.5 в степени k для неотрицательных номеров отсчетов. И он равен 0 для отрицательных номеров. В итоге мы получаем такой сглаженный единичный скачок — не единичный, с амплитудой 2 скачок. Сигнал экспоненциально приближается к установившемуся значению, равному 2 в бесконечности. Если мы выберем для обоих слагаемых варианты сигнала, тянущиеся налево, левосторонние. Пересечение областей определения даст нам итоговую область определения вида |z| < 0.5. На комплексной плоскости это круг, радиусом 0.5 с центром в начале координат — это область определения для данного случая. Сигнал при этом описывается формулой −2 + 0.5 в степени k для отрицательных номеров отсчетов, и он равен 0 для неотрицательных номеров. Этот сигнал уходит в бесконечность, в степень k возводится число меньше 1 — 0.5, — но используются отрицательные степени, он принимает ненулевые значения для отрицательных номеров отсчетов, поэтому этот сигнал не ограниченно экспоненциально нарастает в направлении отрицательной временной полуоси. Наконец, третий вариант, когда для одного сигнала выбирается правосторонний вариант, для другого — левосторонний. Чтобы область определения в итоге оказалась не пустым множеством, мы должны выбрать левосторонний вариант для первого слагаемого — это даст нам для него область определения |z| < 1. И правосторонний вариант для второго слагаемого — для него это будет область определения |z| > 0.5, > 0.5. И пересечение этих областей дает нам кольцевую область определения: |z| < 1, но > 0.5. Кольцо на комплексной плоскости с радиусами 0.5 и 1. В этом случае сигнал = −2 при отрицательных номерах отсчетов. и −0.5 в степени k при неотрицательных номерах отсчетов. И представляет собой вот такую комбинацию постоянного значения слева от начала отсчета времени и экспоненциально затухающего сигнала справа от начала отсчета времени. Три таких варианта сигнала мы получили. На что здесь еще нужно обратить внимание? Мы видим, что границы областей определения определяются полюсами функции x(z), которые мы нашли. Эти два полюса — те значения переменной z, при которых x(z) стремится к бесконечности, были равны 1 и 1 / 2. В общем случае эти полюсы могут быть комплексными и имеют значение их модулей. Их модули определяют границы между возможными областями определения z-преобразования. В нашем случае эти полюсы вещественные и равны 1 и 1 / 2, как я сказал. Если мы нанесем их на рисунки наших областей определения, то увидим, что во всех случаях один полюс или оба, как в случае кольцевой области определения, находятся на границе этой области определений. В общем случае это свойство сохраняется, и если z-преобразование, формула z-преобразования, имеет N полюсов и все они имеют разный модуль, то мы получим N + 1 вариантов области определения. Один вариант сигнала, тянущийся направо, один вариант сигнала, тянущийся полубесконечный налево. И оставшиеся варианты — это двухсторонние сигналы. Вторая вещь, на которую здесь нужно обратить внимание — это то, что из всех вариантов обратного z-преобразования максимум у одного сигнала может существовать Фурье-спектр — преобразование Фурье в дискретном времени. Потому что преобразование Фурье в дискретном времени мы можем получить, рассчитав z-преобразование на контуре в виде единичной окружности. Но для этого единичная окружность должна входить в область определения соответствующего z-преобразования. Поэтому только тот вариант обратного z-преобразования, для которого единичная окружность входит в область определения, только он будет иметь Фурье-спектр. В нашем примере ни один из трех вариантов сигнала Фурье-спектра не имеет, так как модуль одного из полюсов был равен 1, и единичная окружность оказывается границей двух вариантов области определения z-преобразования, а границы в область определения не входят, так как все неравенства являются строгими. То есть ни один из трех вариантов сигнала не имеет Фурье-спектра. Это произошло, потому что ни один из этих трех сигналов не удовлетворяет условию абсолютной суммируемости. Сумма модулей его отсчетов в бесконечных пределах во всех трех случаях стремится к бесконечности. А в общем случае, повторяю, тот сигнал, для которого область определения z-преобразования будет содержать единичную окружность, та версия обратного z-преобразования этот сигнал будет иметь Фурье-спектр.
