Рассмотрим пример вычисления обратного преобразования путём разложения дробно-рациональной функции на простые дроби с учетом всего того, что только что было сказано про области определения z-преобразования. Пусть нам дана функция x от z в виде дробно-рациональной функции, единица, деления на единице минус полтора z минус первой степени плюс 0,5 z минус второй степени, и про область ее определения нам ничего не сказано, получим все варианты обратного z-преобразования, которые в данном случае можно вычислить. Прежде всего нам нужно разложить эту функцию на простые дроби, и для этого для начала нужно найти корни ее знаменателя, ведь полюсу этой функции те значения z, при которых она стремится к бесконечности. Это означает, что нам нужно решить уравнение, единица минус полтора z минус первой степени плюс 0,5 z минус второй степени равняется нулю. Можно его решать непосредственно относительно z минус первой степени, не забыв потом вычислить обратное значение, можно перейти к положительным степенями z, умножив это уравнение на z в квадрате. Получится z в квадрате минус полтора z плюс 0,5 равняется нулю. Дискриминант этого квадратного уравнения равен полтора в квадрате минус 4 умножить на 0,5, 2, 25 минус 2, 0,25, а его корни будут равны полтора плюс минус корень из 0,25 разделить на удвоенный коэффициент при квадратичном слагаемом, то есть на два. Получается полтора плюс минус корень из 0,25, это 0,5, разделить это пополам. Получаем два корня знаменателя, в случае знака плюс 2 разделить на 2, это единица, в случае знака минус полтора минус 0,5 даёт единицу, деление на два дает 0,5. Это корни знаменателя, полюсы этой функции x от z. Дальше нам нужно разложить знаменатель на множители. Мы можем воспользоваться стандартной записью для разложения полинома на множители через его корни, представленные в следующем виде, версию с положительными степенями z мы можем записать как z минус один корень, который равен единицы, умножить на z минус другой корень, который равен 0,5, но у нас исходная и знаменатель содержала отрицательный степень z, поэтому нам, чтобы получить то, что было, нужно это еще умножить на z в минус второй степени, чтобы компенсировать умножение, которое мы произвели, и вот здесь я хочу заметить, что существенно удобнее записывать множители, на которые мы раскладываем знаменатели дробно-рациональных функций в виде единица минус комбинация постоянного множителя и переменные z в минус впервой степени. Для этого множитель z минус второй, который здесь есть, я раскидаю на два множителя по z минус первой степени и на этот минус первой степени умножу каждую из этих скобок. У меня получится, в первой скобке, это будет единица минус единица умноженая на z минус первой степени, то есть просто z минус первой степени, во второй скобке получится единица минус 0,5 на z минус первой степени. Можно легко убедиться, раскрыв скобки, что мы действительно получили исходный знаменатель. Таким образом мы разложили знаменатель нашей функции на множители и теперь нужно представить эту формулу в виде суммы простых дробей, то есть в виде дробей, у которых знаменатели равны множителям, единица минус z минус первой, и единица минус 0,5 на z минус первой, а в числителе стоят некие константы. Находить их можно по разному, можно техникой вычетов воспользоваться, либо привести то, что сейчас записано в конце строки к общему знаменателю и найти те значения коэффициентов a и b, при которых мы получим единицу, которая должно получиться. Приведем к общему знаменателю. Тогда числитель будет равен а умножить на единица минус 0,5 z минус первой плюс b умножить на единицу минус z минус первой степени, и это должно оказаться равно единице, которая у нас в числителе была. Это должно выполняться при любых значениях z, поэтому данные уравнение распадаются на систему из двух уравнений: одно для констант не зависящих от z, а умножить на единицу плюс b умножить на единицу должно давать единицу, и второе уравнение для z минус первой степени, минус 0,5a минус b, все это умножить на z минус первой степени должно быть равно нулю, так как это равенство должно выполняться при любых значениях z. Отсюда следует, что 0,5a плюс b должно быть равно нулю, и дальше мы легко получаем путем вычитания этих двух формул друг из друга, что 0,5a равняется единице, отсюда a равняется двум, и b, это единица минус a из первого уравнения, т.е. минус один. Теперь можно стереть переменные a и b и записать здесь полученные нами значения. Первый этап выполнен, теперь нужно разобраться, какие последовательности отчетов этим двум слагаемым могут соответствовать.