[МУЗЫКА] [ЗВУК] В данном фрагменте лекции мы обсудим обратное z-преобразование и поговорим о том, как производится его вычисление в практических задачах. Формальное определение обратного z-преобразования предполагает выполнение контурного интегрирования по некоему произвольному замкнутому контуру на плоскости комплексной переменной z, этот контур должен быть расположен в области определения функции X(z) и охватывать начало координат. Ну, например, если область определения, как это было в рассмотренном нами примере с двусторонним экспоненциальным импульсом, представляла собой кольцо на плоскости переменной z, то контур, по которому должно здесь выполняться интегрирование, должен лежать в пределах этого кольца. Может быть, каким-то вот таким. Однако на практике эта формула практически не используется. Дело в том, что в задачах обработки сигналов z-преобразования, которые возникают, они обычно имеют вид дробно-рациональной функции. И вычисление обратного z-преобразования в таком случае может производиться путём разложения функции X(z) на простые дроби. При этом однако возникают некоторые проблемы, которые мы сейчас подробнее рассмотрим. Прежде всего необходимо разобраться со взаимной однозначностью z-преобразования. Вспомним сигнал, вычисление z-преобразования для которого мы рассматривали в качестве примера. Односторонний экспоненциальный импульс вида X(k) равняется a в степени k при неотрицательных значениях k и нулю в противном случае. Односторонний экспоненциальный импульс, который тянется направо, начиная с нулевого номера отсчёта k. Мы получили, рассматривая вычисление z-преобразования в качестве примера, что оно равняется дробно-рациональной функции 1/(1 − a * z в −1-й степени). Но можем ли мы утверждать, что если X(z) равняется этой рациональной дроби 1/(1 − a * z в −1-й степени), что из этого будет следовать, что исходная временная последовательность имеет именно такой вид: a в степени k для неотрицательных значений k. Давайте разберёмся с этим подробнее. Рассмотрим теперь другой сигнал. Тоже экспоненциальный односторонний сигнал, но тянущийся в отрицательном направлении временной оси и равный −a в степени k для отрицательных номеров отсчётов и 0 для неотрицательных. Если считать, что в этом сигнале используется то же самое значение параметра a, что и в предыдущем, то он будет иметь какой-то вот такой вид: начинается с минус первого номера отсчёта, и его значения экспоненциально возрастают по модулю, оставаясь при этом отрицательными. При нулевом номере отсчёта значение этого сигнала равняется нулю. Вычислим его z-преобразование. Для этого мы должны вычислить сумму по отрицательным номерам k от −∞ до −1, под суммой у нас стоит значение отсчёта сигнала −(a в степени k) * (z в степени −k), согласно определению z-преобразования. Сделаем замену переменной, чтобы диапазон суммируемых номеров отсчётов стал положительным. m = −k. Вынесем также общий минус из-под суммы. Диапазон суммирования теперь будет по m от 1 до +∞. Под суммой слагаемые вида (a в степени −m) * (z в степени m). Это тоже сумма бесконечной геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии равен q = то, что возводится здесь в степень m, то есть (a в −1-й степени) * z. Небольшие дополнительные сложности создаёт то, что диапазон номеров суммирования начинается не с нуля. Это приводит только к тому, что в числителе получающегося результата должна стоять не единица, а первое слагаемое этой суммы при m = 1 равное (a в −1-й степени) * z. Знаменатель остаётся равен 1 − q как обычно в формуле для суммы бесконечной геометрической прогрессии, то есть в данном случае 1 − (a в −1-й степени) * z. И общий минус перед всем этим, так как z-преобразование является линейным. Данная формула выражена сейчас через положительные степени z, здесь присутствует плюс первая степень. Но в z-преобразовании принято использовать отрицательные степени z, в частности поскольку, как мы видели, умножению на z в −1-й степени соответствует элементарная операция задержки сигнала на один отсчёт. Чтобы перейти к отрицательным степеням, умножим числитель и знаменатель на (a * z) в −1-й степени. Тогда у нас получится в числителе 1, в знаменателе a * (z в −1-й степени) − 1. И перед всем этим ещё стоит общий знак минус из формулировки нашего сигнала сохранившийся. Изменим знак в знаменателе, чтобы убрать этот общий минус. И у нас получится формула, которая является идентичной формуле z-преобразования для предыдущего сигнала, который представлял собой правосторонний экспоненциальный импульс. Таким образом, для двух разных сигналов мы получили одну и ту же формулу z-преобразования. Значит ли это, что z-преобразование не является взаимно однозначным? Разумеется, нет. Ведь не нужно забывать, что для каждого z-преобразования существует его область определения — та область значений переменной z, при которой ряд суммируемый сходится. В случае первого сигнала, рассматриваемого в качестве примера, мы получили, что область определения имеет вид |z| > |a|. Это вся комплексная плоскость с круглой дыркой вокруг начала координат. Дырка радиуса |a|. В данном случае, в случае второго сигнала, чтобы ряд сходился, знаменатель геометрической прогрессии должен быть по модулю меньше 1, то есть (a в −1-й степени) * z по модулю должно быть меньше 1. Что означает: z по модулю меньше, чем |a|. И область определения в данном случае представляет собой круг радиусом |a| и с центром в начале координат. Граница областей ни в том, ни в другом случае в область определения не входит. Какой отсюда следует главный вывод? Он состоит в том, что z-преобразование — это не только математическая формула, которая даёт зависимость от значения переменной z, но и прилагающаяся к этой формуле область определения, так как мы сейчас видели, что разным сигналам соответствует одна и та же формула z-преобразования, но с разными и дополняющими друг друга до почти полной плоскости, минус, собственно, окружность радиусом |a|, с дополняющими друг друга областями определения. [БЕЗ_ЗВУКА]
